数论课程标准

《数论基础》课程标准英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：405021070适用专业：数学与应用数学学分数：2一、课程性质《数论基础》属于数学一级学科下基础数学二级学科的一门课程，在数学与应用数学专业的培养计划中属于专业模块课程，是专业方向系列课程之一。

二、课程理念1、课程所属学科分析数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

《数论基础》是数学专业基础数学学科必修的专业基础课程，是为了使学生掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力而开设的课程。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。

数论与数学其它分支相结合产生了代数数论、几何数论、解析数论、完备的数论理论。

2、课程授课对象分析《数论基础》课程是高等师范数学系本科生必修的专业主干课程。

邯郸学院数学系从2007年开始正式给数学与应用数学专业本科四年级学生开设初等数论课程。

学生已经有了《高等代数》、《近世代数》等专业理论基础，而《数论基础》对于理解和掌握近代数学思想是必不可少的，对于深入学习现代数学等后续课程起着承上启下的作用。

通过本课程的学习，使学生掌握数论的基础知识和基本方法，培养学生的数学素养和加强学生对数学本质的认识；并为将来进一步学习《解析数论》、《代数数论》、《密码学》等课程打下坚实的基础，并进一步提高学生的数学修养，培养他们的抽象思维能力和不断创新的能力。

3、课程内容选择分析本课程的教学内容基本上是该书的前四章。

整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础，也是将来从事数论理论研究的基础。

本课程在课堂教学、师资队伍建设、教材建设等方面下了很大的功夫，同时结合师范性的特点，在保持数论课程传统精髓思想的基础上，不断的加强实践教学环节，注重理论与实践相结合，提高学生综合运用和解决问题的能力，不断创新的能力。

4、课程学习要求的分析整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，但这部分内容，学生较为熟悉，因此除个别地方外，学生可以自学。

课堂教学主要是通过大量例题的讲解，使学生加深对定义和定理的理解，学会解题和制设新题的基本技巧，注意对逻辑推理的严密性，数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。

同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础，也是将来从事数论理论研究的基础。

对这一部分的教学，要着重使学生充分理解概念、定义的内涵、掌握基本方法、了解重要结论以及应用这些知识去解决问题，因此，在以上知识的课堂教学中以教师讲解为主，辅以学生自学。

对数论的应用，以及超越数和代数数的基本知识，除个别内容外，自学较为困难，因此应以课堂教学为主。

5、课程考核目标和方法分析本课程通过课堂讲授、课堂讨论、课内外结合的学习方式，使学生掌握数论基础的基本思想，加深对数论知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识，达到学生能力培养的目标，同时为今后学习提供必要的理论基础。

因此，本课程的考核目标是要求学生掌握初等数论的基本理论和方法，用更高的观点去理解和掌握与中学数学有关的内容；为学习后继课程和现代数学打下基础；并进一步提高学生的数学修养，培养他们的抽象思维和逻辑思维能力。

主要包括三部分内容，一是要考核学生对基本概念、基本理论的掌握程度；二是考核学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力；三是结合平时考核，通过课堂讨论、学期小论文、校园网络提供授课教案等形式来指导、考核学生，让学生根据不同需要进一步拓展有关知识，以此调动学生主动参与的积极性，发挥学生学习的自主性。

三、课程目标（一）课程总目标掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。

培养学生思维的灵活性，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力。

（二）课程分目标1、知识目标（1）掌握辗转相除法及其应用。

（2）掌握二元一次不定方程的解法。

（3）掌握并会用费尔马小定理。

（4）掌握一元一次同余式解法。

（5）了解数论与其它相关学科的关系。

（6）了解国内外数论的新进展。

（7）了解数论中一些没有解决的世界著名难题2、能力目标（1）利用数论知识解决数学竞赛中的问题。

（2）会解多元一次不定方程。

（3）讨论循环小数的性质和证明某些同余问题。

（4）应用孙子定理求解简单同余式组。

3、情感态度与价值观目标通过数论基础的知识结构、知识内容及其蕴含的丰富多彩的内涵美培养学生科学素养、数学素养和审美观念；在教学中辅以有关专题，调动学生的学习兴趣，努力做到科学素质教育与人文素质教育的融通，促进学生综合素质的均衡发展；在学习数论基础知识的过程中，培养他们在深层次上钻研数学教材的能力，使他们在今后的数学教学工作中能驾驭教材，做好教学工作。

四、课程内容根据教材特点，本课程内容划分为三个单元，每单元根据章节内容进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分，基础性内容为教师讲授中的基本知识点同时也是学生必须掌握的内容。

提高性内容是在基础性内容的基础上对基本问题的探讨和梳理，拓展性内容是对所学知识的延伸性学习，是课程内容的前瞻性分析和理论延展。

五、课程实施（一）课时安排本课程教学总共36学时（二）教学建议1、教学组织与形式为达到数论基础课程的总目标，建议课程采取理论教学与实践相结合的教学形式进行组织教学。

理论教学采用课堂教学、课堂讨论与实践等多种形式教学，其中课堂讲授24课时，课堂讨论6学时，习题课6课时。

各教学环节的重点都是在于通过学生积极主动参与课堂教学，培养学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性，提高学生综合运用和解决问题的能力。

2、教学方法与手段在教学内容上加强与实际相联系，介绍简单密码的编制，连分数的有理近似值，日历的推算，排比赛日程表等，既增加学生对本门课程在应用方面的了解又提高他们运用数论知识解决实际问题的能力。

在教学方法上改变传统的单一灌输方式为培养创造力的启发式，开展研究性学习，运用历史法教学等，让学生将所学知识升华到数学思想方法和数学科研方法的高度，从而学会发现问题，进而解决问题。

3、教学环境与策略（1）教学环境理论教学环境，采用多媒体、录像等电子化设备教学，并结合课堂讲授的重点内容，提供课外扩展学习的科研文献资料。

提供网络教学环境，建设课程网站，提供竞赛试题、视频、PPT、网站、科技进展新闻等补充资料，供课外扩展学习。

（2）教学策略教学过程一定要根据学生的具体情况、教学的内容、教学的条件综合考虑进行。

每节课的教学策略都应不同，充分利用学生已经掌握的前置课程的知识和技能，结合多种方式（讲授、自学、讨论等）组织教学。

4、能力培养方案及相应说明（1）给学生自学的机会，培养学生自学的能力。

教师以学生为主体，扮演研究者，组织者，指导者，帮助者的角色，改变教师传统教的方式和学生传统学的方式，学生通过自己探索，研究，构建，然后转化为自己的行动，变为自己的知识，同时能唤起学生的学习兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到充分发展。

（2）运用历史法教学。

教材采用的格式基本上是定义―定理―证明―举例“四步曲”，让初学者抓不住要领，难以激发学生学习和钻研的热情，使得大多数学生对教学内容没有很好地理解和掌握，没有领悟知识的内涵以及数学内部各分支之间，数学与其他学科之间的紧密联系，而仅仅是学了一些表面的知识。

引入历史法教学，这样，就能使学生真正理解课本上形式化推理体系背后所包含的实际内涵。

（3）改变传统的单一灌输方式为培养创造力的启发式，营造环境以灵活运用所学知识。

在课堂教学过程中，有意识地在例题中设置“陷阱”，这样不仅能让学生看清数学思维不是一蹶而就的，而是有一个渐进的过程；还能培养学生独立思考问题的能力，做到“举一反三”，对教材上的知识“不盲从”。

此外，在教学中，在解决问题后，总是引导学生进行“回头看”，即认真进行反思；这样的方法是否最优？这个问题的条件或结论能否做一些修改，进而改进结论？这个问题与我们以前所学或与其它课程是否有某种联系？然后经过寥寥数语的点拨，让学生将所学知识升华到数学思想方法和数学科研方法的高度，从而学会发现问题，进而解决问题。

（4）改变传统的考试模式。

注重考查能力，激励研究型学习，做到规范化，多元化，互动化。

为通才定规则，为天才留空间。

（三）学业考核与评定1、考核内容（1）知识（2）能力掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。

2、考核方法（1）成绩评定方式的主要构成及比例：采用百分制评分，期末成绩由平时成绩20%、考试成绩80%组成。

其中，平时成绩由出勤、课堂表现、回答问题情况、作业、学期小论文的成绩组成，考试成绩为试卷成绩。

（2）内容分布、分值分布比例基础知识一般要占50%左右，稍难的题目要占35%左右，较难的题目占15%左右。

（3）题型分布、分值分布比例填空题20％；选择题 20％；计算题40％；证明20％.（4）考试形式与时间：闭卷、笔试，120分钟。

六、教材建设、选用及参考书1、建议教材本课程以国家规划教材——闵嗣鹤严士健编的《初等数论》蓝本，以《初等数论》潘承洞潘承彪；《数论导引》华罗庚；《初等数论》乐华茂；《ELEMENTARY NUMBER THEORY and its applications》Kenneth H.Rosen；《Elementary Methods in Number Theory》Melvyn B.Nathanson 为补充资料，分散教材难点，使教学过程更适合地方院校，并配套习题课教材，习题集。

2、教学参考书(1)《初等数论》潘承洞潘承彪北京大学出版社；(2)《数论导引》华罗庚科学出版社(3)《Elementary Methods in Number Theory》 Melvyn B.Nathanson Springer-Verlag；(4)《ELEMENTARY NUMBER THEORY and its applications》KennethH.Rosen 机械工业出版社。