第十讲整除与有余数的除法

例子
9除以4，商为2，余数为1，即9 = 4 × 2 + 1。
有余数除法的性质
01
02
03
04
余数非负性
在有余数的除法中，余数总是 非负的。
余数小于除数
余数总是小于除数的绝对值。
商的唯一性
对于给定的被除数和除数，商 是唯一的。
余数的周期性
当被除数连续增加除数的倍数 时，余数呈现周期性变化。
与其他数学概念的联系
在线学习资源 推荐学生利用在线学习资源，如数学课程网站、 教学视频等，进行自主学习和巩固提高。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，以锻炼数学应用 能力和团队协作能力。
THANKS
感谢观看
同余式求解
利用有余数的除法可以求 解同余式，这在密码学、 计算机科学和数学竞赛等 领域有广泛应用。
素数检验
通过有余数的除法可以判 断一个数是否为素数，这 对于数学研究和实际应用 具有重要意义。
05
有余数除法在实际问题中的应用
在日常生活中的应用
分配问题
在分配物品时，如果物品数量不 能被平均分配，就需要使用有余 数的除法来确定每个人应得的物
数。
周期性现象
许多自然现象和工程问题都呈现 出周期性变化。使用有余数的除 法可以确定某个时刻在周期中的
位置以及剩余的时间或数量。
数据处理
在处理大量数据时，有时需要将 数据按照某个标准进行分组或分 类。使用有余数的除法可以确定 每个组或类别中的数据数量和剩
余的数据数量。
在经济学和金融学中的应用
01
货币计算
在几何中的应用
图形分割
在几何图形中，有余数的除法可用于 将图形进行等分或不等分分割，例如 将一个圆等分为若干份。

（精品教案）有余数的除法讲课稿范文（通用5篇）有余数的除法讲课稿范文（通用5篇）作为一名优秀的教育工作者，常常要依照教学需要编写讲课稿，编写讲课稿助于积存教学经验，别断提高教学质量。

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本节课的教学内容是人教版小学二年级下册第六单元中有余数除法的内容。

这节课是在研究了正好分完的事情后，再研究分后还余的事情。

《有余数的除法》是《表内除法》知识的延伸和扩展。

也是今后接着学习除法的基础，具有承上启下的作用。

在教学本课时，我着重抓住余数的认识及其含义和余数要比除数小这两个大知识点举行教学。

本节课的教学目标是：1、经过创设情境和动手操作，让学生感知有余数除法的意义。

2、能在有余数的除法算式中表示商和余数。

3、经过自主探索明确余数一定要比除数小。

4、会用有余数除法的知识解决日子实际咨询题。

本课的重、难点是：感知有余数除法的意义和明白余数要比除数小的特点。

为突出重点，突破难点，在设计本节课时，我要紧采纳的教学办法是：自主操作、体验感悟，为了让学生在活动中运用多种感官去探究新知，我设计了摆小棒的活动，让学生在摆的过程中体味余数的产生，以及余数的意义。

为了能好地降实教学目标，有效地突破重、难点，我设计了复习旧知，引入新课、实践操作，自主探索、巩固新知，体验开心三个教学环节。

（一）、导入新课在这一环节我要紧经过谈话和让学生动手操作，让学生初步感觉余数。

1、谈话：同学们，你们还记得啥叫平均分吗？把一些物品平均分成几份，每份是多少？我们能够用啥办法来计算？2、让学生来分一分小棒。

６根小棒平均分成３份，７根小棒平均分成３份。

在分好后讲一讲，两次分有啥别同？学生会讲出第一次分分完了，第二次如何分都有一具剩下。

然后告诉学生像这种有剩余的事情，也能够用除法来计算，我们就把这种事情叫做有余数的除法。

继续板书课题：有余数的除法。

（精品教案）《有余数的除法》讲课稿（精选5篇）《有余数的除法》讲课稿（精选5篇）作为一名教职工，总归要编写讲课稿，编写讲课稿助于积存教学经验，别断提高教学质量。

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本班共有学生11人，其中有9人为往常县残联语训部学生，一人为原普校学生，还有一人从未上过一天学，除存在语言障碍外，还存在一定的智力障碍。

本班学生有9人为聋哑学生，剩下两人为腿部有残疾。

学生整体学习水平较差，尤其是针对数学学科，学生普遍缺乏抽象思维能力，关于那些逻辑性和概括性强且又抽象的数学语言文字，在明白上存在着困难，所以在数学教学上存在非常大的难度。

另外学生学习能力存在非常大的差异，为方便教学，我将他们分为了三层：A层：（有一定的明白能力和数学基础，但抽象思维能力较差） B层：（数学基础较差，但有一定的明白力）C层：（基础差，明白能力差，学习适应差）1、教学内容：全日制聋校实验教材人教版第九册第一单元中的《除法的意义》中《有余数的除法》第一课时。

2、教材的明白：日子中，我们在平均分一些物品时常常会浮现两种别同的事情，一种是“正好分完”，另一种是“分后还有剩余”，这两种事情是在实践中自然产生的。

《有余数的除法》要紧是研究“分后还有剩余”的事情。

《有余数的除法》这部分学习内容是《表内除法》知识的延伸和扩展。

也是今后接着学习除法的基础，具有承上启下的作用，必须切实学好。

本节课的教学内容是有余数除法的意义和用竖式举行除法的计算。

1、在平均分若干物体的活动中认识余数，感知、明白有余数除法的意义。

2、能依照平均分有剩余的事情写出除法算式，正确表达商和余数，正确读出有余数的除法算式，并学会除法的笔算。

3、经过操作、思维、语言的有机结合，培养观看、分析、比较、综合、概括能力，感觉数学与日子的紧密联系，体味数学的意义和作用。

1、重点：懂啥是“余数”。

有余数除法与整除关系教案导入：我们知道什么是除法？除法是数学中的一种基本运算，它是通过寻找除数在被除数中出现的次数来计算商的过程。

在我们的平常计算中，除数、被除数、商、余数都是比较常见的概念。

今天，我们来学习一下“有余数除法与整除关系”。

你们知道它们之间有什么区别吗？一、有余数除法（一）概念有余数除法是指在行除法运算过程中，除不尽，所剩余下的数就是余数。

也就是说，除数不能够整除被除数，那么最终结果会得到商和余数。

例如：5 ÷ 3 = 1......2 商为1，余数为2（二）说明1.在有余数除法中，余数通常为除数和被除数的差2.商可以是任意整数，因为被除数加余数除以除数任意整数都是合法结果3.在我们进行有余数除法运算的时候，经常会使用到最大公约数和最小公倍数的概念。

4.另外，有余数除法还是计算机领域中一个非常重要的概念，对于程序员来说也是一个必须掌握的基本知识点。

二、整除（一）概念整除是指被除数刚好能被除数整除，所得结果为整数的一种除法。

也就是说，当被除数恰好被除数整除，那么最终的结果就是整数，没有余数。

例如：18÷6=3，这个过程中并没有余数，所以我们说18可以整除6。

（二）说明1.整除是最基本的除法运算概念，也是最为简单的运算方式之一。

2.整除通常会使用到分解质因数、约数、倍数等数学知识。

3.整除常见的运用：判断一个数是否是另一个数的因数，例如2是10的因数，就是因为10÷2=5，没有余数。

三、联系巩固（一）联系1小明有6次机会抽奖，每次抽奖的结果都是个位数，分别为3、6、8、5、2、9。

问小明一共获得了多少奖金？解答：我们可以使用有余数除法进行求解：3+6+8+5+2+9 = 33由于每个奖金都是个位数，所以最终的余数为3。

所以小明一共获得了33元奖金。

（二）联系2判断下列各式是否为整除式：a.24÷6=4b.22÷4=6c.45÷15=4d.28÷2=14解答：a.可以整除，因为24÷6=4b.不能整除，因为22÷4=5......2，最后的余数为2c.不能整除，因为45÷15=3......0，最后的余数为0d.可以整除，因为28÷2=14结论：通过讲解与联系的方式，我们初步掌握了有余数除法和整除的基本概念，并通过计算练习，更加深入地理解了它们之间的联系与区别。

除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况除法是数学中一种常见的运算方法，它可以将一个数平均地分成若干个相等的部分。

在进行除法运算时，我们需要掌握除法的整除和有余数的情况，以便准确地得出计算结果。

一、整除的情况整除是指被除数可以被除数整除，没有余数。

在这种情况下，除法的结果是一个整数。

下面是一个例子：例：36 ÷ 6 = 6在这个例子中，被除数36可以被除数6整除，没有余数，所以结果为6。

当进行整除的除法运算时，除数可以直接整除被除数，得到一个整数结果。

这种情况下，我们不需要进行进一步的计算，直接将商作为最终结果。

二、有余数的情况有余数的情况下，被除数无法完全被除数整除，会有一个余数留下。

在这种情况下，除法的结果是一个带余数的分数或小数。

下面是一个例子：例：17 ÷ 5 = 3 余 2在这个例子中，被除数17除以除数5所得的商是3，余数是2。

这意味着17除以5等于3又2/5。

当进行有余数的除法运算时，我们需要先计算商，并将余数写在分数线上方，除数写在分数线下方，得到一个带余数的分数。

如果需要，我们还可以将这个分数化为小数，得到一个更准确的结果。

无论是整除还是有余数的除法运算，我们都应该遵守一些基本的运算法则。

1. 除法的运算法则（1）左除原则：先除大的数，再除小的数。

例如，16 ÷ 8 与 8 ÷ 16的结果是不一样的。

（2）逐位相除：从高位向低位依次进行相除操作。

例如，124 ÷ 4可以先将百位数除以4，然后再将十位数除以4，最后将个位数除以4。

（3）末尾补零：当除数无法整除被除数时，可以向被除数的末尾补零，使得被除数能够被除数整除。

例如，15 ÷ 4 可以先将15末尾补零变为150，再进行运算。

2. 检验除法运算的结果为了确保除法运算的结果准确无误，我们可以通过乘法来检验结果。

方法是将除数乘以商，再加上余数，得到的结果应该等于被除数。

有余数的除法关于《有余数的除法》说课稿（优秀6篇）作为一位无私奉献的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？又该怎么写呢？书痴者文必工，艺痴者技必良，下面是作者爱岗的小编帮家人们找到的6篇关于《有余数的除法》说课稿，欢迎借鉴，希望大家能够喜欢。

有余数的除法教案详案有余数的除法数学教案篇一您现在正在阅读的三年级上册《有余数除法》教学设计文章内容由收集！本站将为您提供更多的精品教学资源！三年级上册《有余数除法》教学设计教学目标（一）使学生初步理解有余数除法的意义，掌握有余数除法的计算方法。

（二）使学生掌握试商的方法，懂得余数要比除数小的道理。

（三）培养学生初步的观察、概括能力。

教学重点和难点重点：初步建立余数概念及掌握有余数除法的计算方法。

难点：有余数除法的试商。

教具：实物图及投影片。

学具：11根小棒。

教学过程设计（一）复习准备1．用竖式计算（两人板演）84＝369＝订正时，由学生说一说计算过程。

2．卡片口算（与板演同时进行）（）里较大能填几？3（）＜22 4（）＜37（）2＜11（）5＜38（二）学习新课教师谈话：大家学会了除法竖式的写法，今天我们继续学习笔算除法。

同学们看一看，今天学的笔算除法与以前有什么不同。

1．教学例1出示例1的一幅图提问：这幅图是什么意思？（把6个梨平均放在3个盘里，每盘放几个？）学生动手操作。

（用6个圆片代替梨，平均分成3份，每份是多少？）再把横式和竖式写在练习本上，并指名板演。

63＝2订正时，提问：（1）在被除数下面写6，表示什么？（表示分掉6个梨）（2）在横线下面为什么写0？（表示分完了，没有剩余）出示第二幅图。

提问：如果有7个梨，平均放在3个盘里，怎样分？分分看。

学生动手操作，用圆片代替梨。

（教师行间指导）提问：（1）出现了什么情况？（每盘放2个，还剩1个）（2）剩下的1个梨，还能再继续分吗？（剩下的1个梨，不能再分）教师说明：7个梨，平均放在3个盘里，分的结果是每盘2个，还剩1个。

第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的§1整除的概念及带余数除法一、整除的概念定义1 设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。

定理1 下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。

2) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q。

中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111nn -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 …….解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。

m N +∈3某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t k k k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质在小学数学学习中，除法是一个重要的概念。

除法涉及到数的整除性质和余数的概念。

本文将对除法的余数与整除性质进行归纳总结。

一、整除性质整除性质是除法中最基本的概念之一。

当两个数a和b满足$a\bmod b=0$时，我们可以说b整除a，记作$b|a$。

整除性质具有以下几个特点：1. 自反性：对于任意的正整数a，有$a|a$；2. 传递性：对于任意的正整数a、b和c，如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$；3. 反对称性：对于任意的正整数a和b，如果$a|b$且$b|a$，则a=b。

二、余数的概念当两个数a和b满足$a\bmod b=r$，其中r为一个非负整数，我们将r称为a除以b的余数。

余数的性质如下：1. 常见余数：对于除数为10的整数，其余数范围一定是0~9之间的数字；2. 零除法无意义：任何数除以0都没有意义，因为不存在一个数乘以0能得到非零的结果；3. 余数的唯一性：当a和b固定时，a除以b的余数是唯一确定的；4. 余数和商的关系：对于任意的正整数a、b和c，有$a=b\timesc+r$，其中r为a除以b的余数；5. 余数的性质综合：对于正整数a、b和c，如果$a\bmod b=0$且$b\bmod c=0$，则$a\bmod c=0$。

三、应用举例除法的余数与整除性质在实际问题中有广泛的应用。

下面通过一些例子来说明其应用：1. 求整数的奇偶性：当一个整数a除以2的余数为0时，可以判断a为偶数；当a除以2的余数为1时，可以判断a为奇数；2. 商数的应用：有时候除法的商数也会被运用，比如计算某个物品的平均分配数量等；3. 寻找规律：通过观察除数和余数之间的关系，可以寻找数列的规律或者解决一些数学问题。

综上所述，除法的余数与整除性质是小学数学中的基础知识之一。

它们在数学运算以及实际问题中都扮演着重要的角色。

通过了解和掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学运算能力。

育苗杯辅导资料（整数和有余数的除法）整数除法有两种情况：1.甲数除以乙数，商是整数，没有余数，叫做甲数能被乙数整除；2.甲数除以乙数得到整数的商后，还余下一个比乙数小的整数，叫做有余数的除法。

整除也可以看做是余数为0的有余数的除法。

围绕整除和有余数的除法，可以提出和解答许多有趣的问题。

例1 在四位数中，能同时被3、5、7整除的数一共有多少个？解：能同时被3、5、7整除的最小的数是3、5、7的最小公倍数104，1000除105=9……55，10000除105=95……25，那么105的10～95倍的数都是四位数中能同时被3、5、7整除的数，共有95-10+1=86（个）。

例2 一个四位数是它去掉首位数字得到的三位数的9倍，有哪几个这样的四位数？解：四位数的首位数字的值是这个数字的1000倍，例如首位数字是5，它就表示5000，四位数是去掉首位数字得到的三位数的9倍，就是把所得到的三位数作为1份，原来的四位数是这样的9倍，那么首位数字表示的这个整千数是这样的8份，整千数都能被8整除，当整千数除以8所得的商是三位数时，这个整千数与它除以8所得的商的和是符合提意的一个四位数。

1000除8=125，1125符合题意；2000除8=250，2250符合题意；3000除8=375，3375符合题意；4000除8=500，4500符合题意；5000除8=625，5625符合题意；6000除8=750，6750符合题意；7000除8=875，7875符合题意。

共有7个这样的四位数。

答：这样的四位数有1125，2250，3375，4500，5625，6750，7875共7个。

例3 一个自然数恰好有8个因数，把这8个因数按从小到大的顺序排列，第1个因数与第2个因数的和是4，第4个因数与第5个因数的和是28，这个自然数是几？解：自然数最小的因数是1，所求的自然数的第2个以因数是4-1=3，这个自然数没有因数2，它的第4个因数和第5个因数也不会是偶数。

有余数的除法重点知识有余数的除法是数学中的一个重要概念，在我们的日常生活中也有很多应用。

本文将重点介绍有余数的除法的相关知识和应用。

一、基本概念有余数的除法是指除数不能整除被除数的情况。

在有余数的除法中，被除数可以写成除数乘以商加上余数的形式。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即10 = 3 × 3 + 1。

二、整数除法与余数在整数除法中，当被除数不是除数的整数倍时，会产生余数。

余数是除法运算中不能整除的部分。

例如，当被除数为15，除数为4时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为3，即15 = 4 × 3 + 3。

三、余数的意义和应用1. 剩余问题：有余数的除法可以用来解决一些剩余问题。

例如，一共有27个苹果，每个篮子最多可以装6个苹果，问最后剩下几个苹果？可以通过27除以6进行运算，得到商为4，余数为3，即最后剩下4个篮子，每个篮子装满，还剩下3个苹果。

2. 时钟问题：有余数的除法也可以用来解决时钟问题。

例如，现在是晚上8点，过了13个小时后，现在几点钟？可以通过8加上13除以12进行运算，得到商为1，余数为9，即过了13个小时后，现在是凌晨1点，再加上余数9分钟，即凌晨1点9分。

3. 年龄问题：有余数的除法也可以用来解决年龄问题。

例如，父亲今年38岁，儿子今年8岁，问几年后，父亲的年龄是儿子的3倍？可以通过38加上x除以3等于8加上x进行运算，解得x为6，即6年后，父亲的年龄是儿子的3倍。

四、有余数的除法的性质1. 余数小于除数：在有余数的除法中，余数的绝对值一定小于除数的绝对值。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即1 < 3。

2. 余数不为负数：在有余数的除法中，余数不可能为负数。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即余数为正数。

3. 除数为1时余数为0：当除数为1时，无论被除数是多少，结果的余数都为0。

有余数的除法课件除法是数学中的基本运算之一，它是指将一个数（被除数）分成若干份，每份的大小相等（除数），求出有多少份（商）以及剩下多少（余数）。

一般来说，我们所学习的除法都是不带余数的，即被除数可以整除除数，商是一个整数，余数为零。

但是，在实际生活中，有时候我们会遇到一些除法问题，其中被除数不能整除除数，商是一个非整数，余数不为零。

这种情况下，就需要用到有余数的除法。

有余数的除法是什么？有余数的除法是指，在进行除法运算时，被除数不能整除除数，商是一个非整数，余数不为零的情况下，所采用的一种除法方法。

这种除法方法在数学中也被称为带余除法。

有余数的除法的步骤有余数的除法的步骤包括以下几个方面：1. 确定被除数和除数，将它们写在除法框内。

2. 用除数去除被除数，看商是否为整数，如果是整数，则计算结束，商就是除法的结果。

3. 如果商不是整数，则将商分成整数部分和小数部分，整数部分是商的整数部分，小数部分是商的小数部分。

4. 将整数部分乘以除数，得到一个整数，将这个整数减去被除数，得到一个新的被除数。

5. 将新的被除数和除数再次进行除法运算，得到一个新的商。

6. 重复第3-5步，直到商的小数部分达到给定的精度要求为止。

7. 最后，商的整数部分和余数就是除法的结果。

例如，我们要计算19÷6的结果，按照上述步骤进行有余数的除法运算，具体过程如下：1. 确定被除数和除数，将它们写在除法框内：2. 用除数6去除被除数19，得到商3余1，看商是否为整数，因为商不是整数，所以继续进行下一步计算。

3. 将商3分成整数部分和小数部分，整数部分是3，小数部分是0.5。

4. 将整数部分3乘以除数6，得到18，将这个整数减去被除数19，得到新的被除数1。

5. 将新的被除数1和除数6再次进行除法运算，得到商0余1。

6. 重复第3-5步，直到商的小数部分达到给定的精度要求为止。

在这个例子中，我们可以计算到小数点后一位，即商3.1。

第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念，整除理论是初等数论的基础•本章从整除这个基本概念出发，引进带余数除法和辗转相除法，然后建立最大公因数和最小公倍数理论，并进一步证明算术基本定理，所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数［X］及；、X,并利用［x］来说明如何把n!表示成质数幕的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用N +表示全体正整数的集合，用N 表示全体自然数的集合，用Z表示全体整数的集合;并且约定，如果没有特别声明，以后我们用小写的拉丁字母a,b,c,|||或希腊字母川|等表示整数.我们还知道，任意两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整数.那么，什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢？这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设a,b均为整数且b = 0.如果存在整数q使得a二bq ,则称b整除a，或a 能被b整除,记作b a .此时我们也把b叫做a的因数（或约数）,a叫做b的倍数.如果不存在整数q使得a =bq ,则称b不整除a或a不能被b整除,记作b ?a .例如，2 4,（—巧15, 13 182; 5 寣9, 6 44, （ _4）?（—7 ）.应当注意的是,符号ba本身包含了条件a,b^ z,b^0.根据整除的定义及整数的性质，我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立(i) b a= b (-a 启(-b )a= |b a(ii) 若b a, cb,则c a;n,故b L k i a i .id因由b a i 推出存在q (1剟in(iii) b q (1剟i n 戶b 迟k i a i ,其中k 1,k 2^|, k n 是任意整数;i £(iv) ba 二 kb ka ,其中 k^O ;(v) 若 b a,则当 a^O 时 b , a ,当 acb 时 a=0;(vi) 若 a b, b a ,则 a = ±b .证 只证(iii)及(v),其它性质请读者自证.(iii)必要性n n n ,使得 a i=bq i ,于是ka i 二 b^ kq i iA i 4 充分性对每一个i ,取K =1,匕=0 j=i ,得到充分性证明.(v)若b a,则由(i)知 a = b||q .当a 式0时有q T,得b , a .而当a c b 时，有a — b| =|b (|q -1 0 ,此时因b > 0从而必有q = 0,得a = 0.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明：(1) 若 3 a, 5a,则 15a.(2) 设a,b 为非零整数，且存在整数x, y 使得ax + by = 1.则当an, bn 时有ab n.证 不难发现,(1)是⑵ 的特例.(1)由3a 知存在整数q 使a=3q ,所以5 3q .又因5 5q ,依定理1 (iii )得5 2 3q-5q ,即5q .因而依定理1 iv 有15a.(2) 由条件有 n = n ax by [= nax nby ,而 ab na, ab nb ,依定理 1 (iii)得 ab n .根据整除的定义，若整数b = 0,则b的所有倍数的集合是「kb k Z 〉这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素，因而零是所有非零整数的倍数，或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数a的因数.显然_1,_a都是a的因数，a的这些因数称为a 的平凡因数，a的其它因数(如果存在的话)称为a的非平凡因数(或真因数).由定理 1 (v )可知,如果b是a的非平凡因数,则1cbv|a.于是非零整数a的所有因数的集合是一个非空有限集，其元素个数是确定的.例如对于a =12,它的全体因数是：_1,二2, _3, _4, _6, _12,12共有12个因数,其中_2, _3,_4, _6是它的真因数.而对于a =11,它的全体因数是：_1,-11,11共有4个因数,它没有真因数.例2设A二⑹^,川,dj是非零整数n的所有因数的集合，B=卫，卫，川，丄. g d2 dk j 则 A 二B .证对每一个d i E A ,因为d i n ,所以存在整数q使得n = d i q i ,于是—=q是整数,d i且q n,故每一个-都是n的因数.d i又当d i =d j时，---,因此卫二，川，丄是n的k个不同的因数.由于非零整数j d i d j d1 d2 d kn的因数个数是确定的，所以B也是n的所有因数的集合，因此有A二B .例3设n为正整数，求证：23(52^ +2n* +尹).证用数学归纳法证.当n =1时，因为52n 1 ' 2n 4 - 2n J =161 =23 7 ,所以结论成立.假设n二k时，结论成立，即则当n =k 1时,2耳23 52k 1- 2 52k 1- 2k 42k -1=23汇52宀+ 2"52k41 +2kj4+2宀).因为23 23汉5心，23 (5心+2心+2宀),所以这就是说，n二k 1时结论也成立.根据归纳原理,当n为正整数时,23(52n*+2n" +2n* ).例 4 设m,n, p,q 均为整数,证明：若m - p ' mn • pq ,贝U m - p ' mq • np .证注意至卩mq np = m - p q _ n r i mn pq , 由条件(m - p j( mn十pq )及定理1 (iii )即知m 一p " mq np .二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论•对于一般情形，我们有下面的重要定理.定理2设a, b (b = 0)是任意两个整数,则存在唯一的一对整数q,r,使得a =bq +r, 0, r 引耳•(1)证存在性当b 0时，作整数列则a必介于上述数列某相邻两项之间，即存在整数q使得qb, a ■： (q 1)b.令r = a - qb ,则0, r :: b.于是存在整数q,r ,使得a 二bq r, 0, r ：b 二b当b :: 0时，-b 0,由前一情形可知，存在整数q , r,使得a 二_bq r, 0, r 「b 二a=bq+r,O, rc|b|.存在性得证.唯一性若q i,r i也是使得(1)式成立的两个整数,即a =bq g 0, * ：：|b|,贝U bq r = bq r i,因而A—rNq—qjb, |r|—r|c|b|,这就是说b|(r i -r )且|* -r| c|b|.由定理1 (v)知A = r,从而q^ q .唯一性得证.定理2中的q, r分别称为被除数a除以除数b的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知，如果a =bq +r, 0, r c|b|,那么b|a的充要条件是r = 0.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数.根据带余数除法定理，我们常将偶数表示成2k(k • Z)的形式，将奇数表示成2k 1或2k -1(k・Z)的形式.例5 证明：当n为整数且n^9q r(0, r :: 9)时,r只可能是0,1,8.证设n = 3q1 r1(0, r1 ::: 3),则n3=(3q rj3=9(3q； 3q：r1 qf) f.根据条件及定理2得q =3q；3q2n qrj, r *.若* =0,则r =0;若「1=1,则r =1;若r^ 2,则r =8.故r只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数，任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数a=2k 1,^2^ 1,则a与b的积仍是奇数.同理可证另一结论例7已知a, b是整数,且a?「4b =1.讨论a, b的奇偶性.解由条件可得a^4b 1,故a必是奇数.设a = 2k T,则a2 -1 b k(k 1).4所以b是偶数.例8以.(n)表示正整数n的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数n,如果d是它的一个正因数，则-也是n的正因数；当且仅当d d 即n二d2时，d与-是同一个数.因此,当n不是完全平方数时n的正因数是成 d d 对出现的，此时，•(n)是偶数；当n是完全平方数时，.(n)是奇数.因为442：：： 2014 ：：： 452,所以在(1 ) , (2D「，( 2中恰有44个奇数，故•⑴• .(2) • |]| (2014)是偶数.例9设f (x^ax2bx c的系数都是整数，且有某一奇数：•，使f G )是奇数.求证：f (x) =0无奇数根.证对任意奇数2k • ：•有f(2k ：)=(a：2 b：c) 2(2k2a 2ka：kb).由于fC 2c为奇数,而上式第二项是偶数,所以f(2k「)是奇数,即f (2k *) = 0.故f (x) =0无奇数根.三能被某些数整除的数的特征a能被b整除的特征就是a能被b整除的充要条件.________________ n为叙述方便,我们引进记号a n a n4H!a1a^ ' a i 10',其中厲(0剟i n)为0,1,1|1,9i =0中的某个数字，且a n = 0.定理3设N =a n a n二川3^0,则（i）N能被2（或5）整除的特征是a。

除法整除和余数的概念除法是数学中常见的运算之一，用于计算一个数能被另一个数整除的次数以及剩余的部分。

在学习除法的过程中，我们常常会遇到两个概念，即整除和余数。

本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。

一、整除的概念在进行除法运算时，如果被除数恰好被除数整除，即没有余数，我们就称之为整除。

简而言之，整除就是没有余数的除法运算。

例如，如果我们用8除以2，那么8被2整除，结果为4，没有余数。

在数学符号中，如果a能被b整除，我们可以用a被b整除的形式表示为：a÷b。

在这个表示法中，a是被除数，b是除数，÷表示除法运算，称为除号。

举例来说，8被2整除可以表示为8÷2=4。

除法运算中的整除概念在实际生活中应用广泛。

比如，在分糖果的时候，如果有8个糖果要平均分给2个小朋友，每个小朋友就可以得到4个糖果，没有多余的糖果。

二、余数的概念余数是指在除法运算中，被除数不能整除时所剩下的部分。

简单来说，余数就是除法运算中的剩余部分。

例如，如果我们用9除以4，商为2余1，其中1就是余数。

在数学符号中，我们用r表示余数。

对于除法运算a÷b来说，r表示a÷b的余数。

举例来说，9÷4=2余1，其中2是商，1是余数。

余数在实际生活中也有很多应用。

比如，我们要将13本书平均分给4个人时，每个人能分到3本书，但还剩下1本书无法平分。

三、除法整除和余数的关系在除法运算中，整除和余数是密切相关的。

我们可以通过整除和余数的关系，来描述除法运算的结果。

对于除法运算a÷b来说，可以表示为：a =b ×商 + 余数其中，a表示被除数，b表示除数，商表示整除的结果，余数表示除法运算的剩余部分。

以之前的例子来解释，8÷2=4，其中8是被除数，2是除数，4是商。

根据上述关系式，我们可以得到：8 = 2 × 4 + 0再以9÷4=2余1为例，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

除法的整除与余数除法是数学中的一种基本运算，用于求解两个数之间的商和余数。

在数学中，我们把被除数除以除数的商称为整除，而被除数除以除数的余数称为余数。

本文将详细介绍除法的整除和余数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用。

一、整除的概念与计算方法在数学中，整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。

例如，当8被2整除时，商为4，没有余数。

我们可以用符号“÷”表示除法运算，用符号“=”表示整除。

即8 ÷ 2 = 4，表示8被2整除，商为4。

在进行除法运算时，被除数除以除数，如果能够整除，则商为整数，没有余数；如果不能整除，则商为带小数的小数部分，余数为被除数减去整数部分的乘积。

例如，15 ÷ 4 = 3 余 3，表示15被4整除，商为3，余数为3。

除法的计算方法主要有两种：长除法和短除法。

长除法适用于整除或带余数的情况，相对繁琐；而短除法适用于整除的情况，计算简便快速。

二、余数的概念与计算方法余数是指在除法运算中，被除数除以除数后剩下的不完全除尽的部分。

余数总是小于除数的，它是除法运算中商的整数部分无法包含的部分。

余数可以用符号“mod”来表示，例如15 mod 4 = 3，表示15除以4的余数是3。

在数学中，余数在代数、数论、计算机算法等领域都有广泛应用。

计算余数的方法与整除类似，即被除数减去整除的部分得到余数。

例如，15除以4，商为3，整数部分为12，余数为15减去12的乘积，即3。

三、除法的应用举例除法的整除和余数在实际问题中有广泛的应用，例如：1.商场促销：商场举办促销活动，商品价格为15元，如果每人只能购买4件商品，那么可以整分给几个人？答案是3人，因为15÷4=3，余数为3，所以可以给3人每人4件商品，余下3件商品无法整分。

2.糖果分配：小明有15颗糖果，要平均分给4位同学，每位同学能分得几颗糖果？答案是3颗，因为15÷4=3，没有余数，所以每位同学能分得3颗糖果，不会有剩余。

除法的整除与余数除法是数学中常见的运算方式，它可以通过整除和余数两种方式进行计算。

在进行除法运算时，我们经常会遇到需要求整除和余数的情况。

下面将详细介绍除法的整除与余数的概念、计算方法以及应用。

1. 除法的整除概念除法的整除是指在计算中，被除数能够被除数整除的情况。

当两个整数a和b满足条件a = b ×c（其中c为整数）时，称a能够被b整除，b为a的因数，a为b的倍数。

例如，当计算12 ÷3时，12能够被3整除，因为12 = 3 ×4。

因此，12是3的倍数，3是12的因数。

2. 除法的余数概念除法的余数是指在进行除法运算时，被除数不能被除数整除所剩下的不足一除的数。

余数始终小于除数。

例如，计算13 ÷ 5时，由于5不能整除13，我们需要找到一个最大的整数n，使得13 - 5 × n仍然大于等于5，但小于除数5的值。

而在这个例子中，最大的n为2，即13 - 5 × 2 = 3，因此3是13除以5的余数。

3. 除法的整除与余数的计算方法（1）整除的计算方法：当进行除法运算时，可以直接计算出被除数除以除数的商。

这里以10 ÷ 2为例，可以得出10 ÷ 2 = 5。

（2）余数的计算方法：在进行除法运算时，可以使用带余除法的方法计算余数。

具体步骤如下：- 首先，将被除数除以除数得到商数，记作q。

- 接下来，将商数q乘以除数得到一个中间结果，记作m。

- 然后，用被除数减去中间结果m，得到的结果就是余数r。

例如，计算17 ÷ 3的余数，首先将17 ÷ 3得到商数q = 5，然后计算m = 5 × 3 = 15，最后用17减去15，得到r = 2，因此17除以3的余数为2。

4. 除法的整除与余数的应用（1）在编程中，除法的整除与余数经常被用于判断某个数的特性。

例如，判断一个数是否为偶数，可以使用除以2的余数是0的方式进行判断。

除法的余数与整除余数是数学中除法运算中常常出现的一个概念，它是指在进行除法运算时，除数不能完全整除被除数时所剩下的部分。

而整除则是指除法运算中被除数能够被除数整除，没有余数的情况。

余数和整除在数学中有着重要的意义，不仅在数论中有广泛应用，也在实际生活中起着重要的作用。

一、余数的概念及性质在进行除法运算时，被除数除以除数所得到的余数是被除数不能被除数整除的部分。

例如，当7除以3时，商是2，余数是1。

其中，商指的是除法运算所得的整数部分，余数指的是被除数除以除数所剩下的部分。

余数有一些重要的性质：1. 余数总是非负整数。

因为余数是被除数除以除数所剩下的部分，所以它必然是一个非负整数。

例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1是一个非负整数。

2. 余数的大小一定小于除数。

这是因为余数是被除数除以除数所得的剩下的部分，而这个剩下的部分一定小于除数。

例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1小于除数3。

3. 当两个整数除以同一个正整数时，它们的余数是相等的。

例如，当7除以3时，商是2，余数是1；当10除以3时，商是3，余数是1。

这是因为两个整数除以同一个正整数所得的余数是由除数来决定的。

二、整除的概念及性质整除是指在进行除法运算时，被除数能够被除数整除，没有余数的情况。

当被除数能够被除数整除时，我们称被除数是除数的倍数。

例如，当12除以3时，商是4，没有余数，所以12能够被3整除，3是12的倍数。

整除也有一些重要的性质：1. 如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被除数的倍数整除。

例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的倍数（如6、9）整除。

2. 如果一个整数能够被除数整除，那么它一定也能够被除数的因子整除。

例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的因子（如1、3）整除。

三、余数与整除在实际生活中的应用余数和整除在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们以一些实例来说明：1. 日历中的星期几：我们经常使用日历来查看某一天是星期几，这涉及到日期的整除运算。