第二章 解析函数
1. 复变函数：
()wfz
w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)，从而对复变函数f(z)的讨论可相应地 转化为对两个实函数u(x,y)和v(x,y)的讨论.
2.复变函数的极限与连续：
定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|
()fzA,
则称函数f(z)当0zz时的极限存在，常数A为其极限值.记作
0lim()zzfzA
或 0()()fzAzz.
定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，则
000(,)(,)lim()lim(,),zzxyxyfzAuxya (2.1)
00(,)(,)lim(,).xyxyvxyb (2.2)
定义2.3 若00lim()()zzfzfz，则我们就说函数 f(z) 在点 z0 处连续. 如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函数f(z)在区域D内连续.
定理2.5 设函数000()(,)(,),fzuxyivxyzxiy,则f(z)在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y) 均在点(x0,y0)连续.
3.复变函数的导数
定义2.4 （导数的定义）设函数w=f(z)定义在z平面上区域D内，点z0、z0+ΔzD,
00Δ(Δ)()wfzzfz,若极限
00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔzzfzzfzwzz
存在,则称函数f(z) 在 z0可导,这个极限值称为f(z)在z0的导数,记作
00000Δ0(Δ)()d()dlim().ddΔzzzzzfzzfzfzwfzzzz (2.3)
由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致，并且复变函数中的极限运算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加更改地推广到复变函数中来.
大一复变函数一知识点总结
1.复数的引入和初步运算：
复数可以表示为实部和虚部的和，记作z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i²=-1、复数有加法、减法、乘法和除法等运算规则。复数的共轭是实部不变、虚部变号的复数。
2.复变函数的极限和连续性：
设f(z)在z₀附近有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当z≠z₀且，z-z₀，<δ时，有，f(z)-f(z₀)，<ε，则称f(z)在z₀处有极限，记作lim┬(z→z₀)f(z)=A。复变函数的极限和连续性的性质与实函数类似，可以通过极限的性质推导出复变函数的运算和连续性。
3.复变函数的导数与导函数：
复变函数f(z)在z₀处可导的充要条件是它在z₀处连续，且存在有限的复数A，使得lim┬(Δz→0)(f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz=A。复变函数的导数有和实函数类似的性质，例如导数是唯一的、导数存在的条件等。
4.全纯函数和调和函数：
在学习复变函数的过程中，还需要掌握一些基本的技巧和方法，例如利用导数和积分求解特定的问题、使用柯西-黎曼方程证明全纯函数的性质、使用拉普拉斯方程解决实际问题等等。在实际应用中，复变函数在物理、工程、经济等领域发挥着重要作用，因此对复变函数的理解和掌握是十分必要的。 综上所述，大一复变函数一主要学习了复数的引入和初步运算、复变函数的极限和连续性、导数与导函数、全纯函数和调和函数等知识点，掌握了这些知识点可以帮助我们理解和运用复变函数在实际中的应用。
复变函数求极限的方法
摘 要 本文对复变函数求极限问题作了较系统的归纳和总结,并通过例题解析了这些方法。
关键词 复变函数 极限 方法
在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。
1 转化为两个二元实变函数求极限
设 , , ,
则
。
2 利用复变函数的连续性
利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。
例1 求 。
解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以
在点 z=0连续,从而 。
3 利用等价无穷小求极限
利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,
(1);
(2) ;
(3) ;
其中(3)式中的只取主值分支。
这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。
例2 求 。
解。
注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。
4 利用洛必达法则求未定式的极限
复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别
例3 求 。
解 显然当z→0 时,是未定式。所以
例4 求
解
我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。
例5 求 。
解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式
关于复变函数求极限的方法浅谈
复变函数是指在复平面上定义的函数。复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法，下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。
对于复变函数f(z)而言，极限的概念与实变函数有所不同。在复平面上，点z趋于复数a时，函数f(z)的极限L存在的充要条件是，对于给定的ε>0，存在某个δ>0，使得当0<|z-a|
对于复变函数f(z)而言，求极限时可以利用以下几种方法：
1. 直接代入法：对于一些简单的复变函数，可以直接代入极限点计算得到极限值。当z→0时，f(z)=sin(z)/z，可以直接代入得到f(0)=1。
2. 利用实部和虚部的性质：复变函数可以表示为实部和虚部的和或积，因此可以利用实部和虚部的性质来求解极限。当z→0时，f(z)=Re(z)+Im(z)，可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。
3. 利用极坐标表示法：复数可以用极坐标表示：z=ρ eiθ，其中ρ为模，θ为幅角。当z→a时，可以将z和a都表示为极坐标形式，即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ'，然后进行化简。当z→0时，f(z)=|z|·e iarg(z)，可以将z表示为z=ρ eiθ，然后进行化简计算。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。如果f(z)和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处，都有定义且连续，且g(z)≠0，当z→a时均趋于0，且f(a)=g(a)=0，那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。
5. 利用级数展开：复变函数可以用级数展开的形式来表示。当z→a时，可以利用级数展开来计算函数的极限值。当z→1时，f(z)=1/(1-z)，可以利用泰勒展开将f(z)展开成无穷级数形式，然后进行计算。
复变函数求极限的方法有很多种。不同的函数形式和求解目标，可能需要采用不同的方法进行求解。在实际应用中，根据具体情况选择合适的求极限方法是非常重要的。
