定弦定角

第九章.圆模型（三十七）——定弦定角模型模型讲解定弦定角：线段定，角度大小定一、【结论1】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝，则点P在AB所对的圆弧上运动二、90º【结论2】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝90º，则点P在以AB为直径的圆弧上运动（不包含A、B两点）三、30º、150º【结论3】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝30º（或∠APB ＝150º），则点P在以AB为边构造的等边△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）【结论4】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝45º（或∠APB ＝135º），则点P在以AB为底，AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）【结论5】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝60º（或∠APB ＝120º），则点P在以AB为底，AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为( ).A. B.2-2C.2-2D.4【答案】B【解析】∵AE⊥BE，点E在以 AB 为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点E´，如图.当点 E 位于点 E´位置时，线段CE取得最小值.∵AB=4, ∴OA=OB=OE´=2.∵BC=6,∴OC=＝＝2，∴CE´=OC－OE´=2-2.故选 B.典例2 ☆☆☆☆☆如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点 P 为任意一点，已知 PA⊥PB，则线段 PC的最大值为( )A.3B.5C.8D.10【答案】C【解析】如图所示，连接 OC，OP，PC.∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∴点 P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，∵CP＜OP＋OC,∴当点 P，O，C在同一直线上，且点P在 CO 延长线上时， CP最大，其最大值为 OP＋OC的长.又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6,OC=5,OP=AB=3.∴线段 PC的最大值为 OP＋OC＝3+5=8. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=10，BC=12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP长的最小值为（）.A.7B.8C.D.【答案】B【解析】∵∠ABC=90°，∴∠ABP＋∠PBC=90°,∵PAB=∠PBC, ∴∠BAP＋∠ABP=90°, ∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的⊙O上，如图，连接 OC交⊙O于点 P，此时 PC最小.在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=12，OB=5，∴OC==13，∴PC＝OC－OP=13－5＝8,∴PC 的最小值为 8.故选 B.小试牛刀1.（★★★☆☆）在平面直角坐标系中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上,当AB=4 时，△OAB面积的最大值为( )A.8B.4＋4C.4+4D.82.（★★★☆☆）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC 内一个动点，∠PAB=∠PBC，则 CP 的最小值为__________.直击中考1.如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=2，D点是△ABC所在平面内的一个动点，且∠BDC= 60°，则△DBC面积的最大值是( )A.3B.3C.D.22.在△ABC中，若 AB=6，∠ACB=45°，则△ABC 的面积的最大值为_______. 中考中有一类题是求最值，点运动的轨迹不是很明显.此时要看以这个点为顶点的角是不是一个定值，如果是，就是定弦定角模型，找到圆心和半径，作出辅助圆，得到最大值或最小值. 此类型的题目往往作为选择或者填空压轴题出现。

线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为“定弦定角”问题。

该线段称“定弦”，该运动的定值角称“定角”。

先复习两个基础知识点知识点1、如下图，（1）以AB为直径的⊙O上有一动点，则∠APB恒为90°，反之，当∠APB=90°时，点P一定在以AB为直径的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点C，则点C到⊙O上点的最小距离和最大距离的确定：过点C与圆心O的线与圆的两个交点，如图，即CP长为最小值，CE长为最大值。

知识点2、如下图，（1）在⊙O中，弦CD一定时，则该弦所对劣弧（或优弧）上的圆周角∠CTD就一定；反之，当∠CTD为一定值时，点T一定在以CD为弦的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点A，射线AO与圆的交点分别为点T和点E，则点A到圆的最小距离是AT的长，最大距离是AE的长。

下面，以两道典型例题来说明定弦定角在解一类线段最值题目中的应用。

例1：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4, BC=6 ,P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC , 则线段CP的长度的最小值是 .(您的点赞，就是给予作者一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)下面还有，继续……变式练习：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4,BC=6, P是△ABC所在平面上的一个动点，且满足∠APB=90° , 则线段CP长度的取值范围是 .例2：如图，已知点E , F为等边△ABC边AB 、AC上的两动点，且AF=BE ,:连接CE , BF交于点T, 若等边△ABC的边长为6 ，则AT的长度的最小值是 .。

定弦定角解题技巧定弦定角问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到在给定条件下找出满足特定条件的弦和角。

这类问题通常需要运用几何和代数知识来解决。

解决定弦定角问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，要明确题目给出的条件和要求，理解弦和角之间的关系。

2. 作图：根据题目的描述，画出相应的几何图形。

作图要准确，标出必要的角度和长度。

3. 应用定理：根据题目要求，选择适当的定理或公式来解决问题。

可能用到的定理包括弦长公式、角度和差公式、余弦定理等。

4. 计算：进行必要的代数运算，求解方程或不等式。

5. 验证答案：最后，要验证所得答案是否符合题目的条件和要求，确保解题过程无误。

下面是一个具体的例子：题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = 2, AC = 4, \angle BAC =120^{\circ}$，点D是边BC上的一个动点，求$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}$的最大值。

解法：1. 作图：在$\bigtriangleup ABC$中，作$AD$垂直于$BC$于点D。

2. 应用定理：由于$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据余弦定理有$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(120^{\circ})$。

解得$BC = 2\sqrt{7}$。

3. 计算面积比：由于$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(B) / (1/2 \times AC \times AD \times \sin(C))$，化简得$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{AB}{AC} \times \frac{\sinB}{\sin C} = \frac{1}{2} \times \frac{\sin B}{\sin C}$。

定弦定角最值问题类型一、定弦定角【基本原理】如图1\⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则∠ACB 的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）图1 图2例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤1、___________________________________________________步骤2、___________________________________________________练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=90度，请在图中画出点C的运动轨迹.2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,3、思考：AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，时如何画出点C的运动轨迹。

【实战应用】 一、90°应用例1、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ） A ．213- B ．213+C ．5D ．9162、如图，已知在RT △ABC 中,∠ACB=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上的动点，连结AD ，以CD 为直径的圆交AD 于点E ，则BE 的最小值为 。

3、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．P 是BC 边上一动点，以PC 为直径作⊙O ，连结AP 交⊙O 于点Q ，连结BQ ，点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，点P 停止运动．在整个运动过程中，线段BQ 的大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大4、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠BAC=90º，AB=AC ，BC=42，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于E ，连接CE ，则线段CE 长的最小值为 .例5、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________6、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________7、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ， 连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________第2题图 第3题图 第6题图 第5题图 第4题图 第7题图8、如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，BE ⊥AD 于E ，则CE 的最小值为___________9、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为_________二、60°、30°应用例1、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________2、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ） A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+3、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．434、如图，在⊙O 中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC 的底边BC 所在直线经过点D ，若⊙O 的半径为1，则OC 的长不可能为（ ） A. 2－3 B.3－1 C.2 D. 3＋1第9题图第8题图第2题图第1题图第3题图三、45°应用例1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．324-3、如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________4、 如图,边长为2的正方形ABCD 中,F 为CD 上一动点,E 为AF 上一点,且BE=BA, ∠CBE 的角平分线交AF 的延长线于点G ,则G 到CD 距离的最大值为 .5、如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22DE =AB ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ .AC例1、如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将△ABC固定，将∠XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。

定弦定角定理证明哎呀，定弦定角定理啊，这个数学玩意儿听起来就挺让人头疼的，对吧？不过别担心，咱们今天就用大白话聊聊这事儿，不整那些高深莫测的，就说说这定理怎么证明的，还有我自己的一点小体验。

首先，这定理是说，如果你有一个圆，然后从圆上任意一点引一条弦，再从这点引一条切线，那么这条切线和这条弦的夹角，是固定的，不会变的。

听起来是不是有点绕？别急，我慢慢跟你说。

记得我上高中那会儿，数学老师在黑板上画了一个圆，然后随手一画，就画出了这么一条弦和一条切线。

我当时就心想，这有啥了不起的，不就是两条线嘛。

然后老师就开始讲这个定理，说这个角度是固定的。

我当时就懵了，心想这怎么可能呢？角度还能固定？老师看我一脸疑惑，就让我上去试试。

我上去随便画了一条弦，然后又画了一条切线。

嘿，你别说，这角度还真的没变。

我当时就震惊了，这玩意儿怎么这么神奇？后来，老师就给我们讲了证明过程。

他说，你看，这个圆心到弦的垂线，会平分弦，对吧？然后，这个垂线和切线是垂直的，这也是个基本的几何知识。

所以，你只要证明这个垂线和弦的夹角，等于弦和切线的夹角，就行了。

我当时就想，这怎么证明啊？老师就说，你看，这个垂线和弦的夹角，其实就是圆心角的一半，对吧？因为垂线平分弦嘛。

然后，这个圆心角，又等于弧所对的圆周角，这也是个基本的几何知识。

所以，这个圆周角，也就是弦和切线的夹角，不就固定了吗？我当时就觉得，哇，这数学真是太神奇了，就这么几条线，几个角，就能证明出这么个定理来。

而且，这个定理在实际生活中也有用，比如在测量的时候，就可以用这个定理来确定角度。

所以，你看，这个定弦定角定理，虽然听起来挺复杂的，但其实只要你理解了它的证明过程，就会发现它其实挺简单的。

而且，这个定理也告诉我们，有时候，看似复杂的东西，其实背后都有简单的规律。

好了，说了这么多，咱们今天就聊到这儿吧。

下次再有什么数学问题，咱们再一起聊聊。

别忘了，数学其实也挺有趣的，只要你用心去发现。

定弦定角初中数学教案1. 理解定弦定角的概念，掌握定弦定角的基本性质和运用。

2. 学会运用定弦定角解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对几何图形的观察和分析能力。

二、教学内容1. 定弦定角的定义和性质2. 定弦定角在实际问题中的应用3. 定弦定角的证明和推导三、教学过程1. 导入：通过复习相关基础知识，如圆的性质、圆周角定理等，为学生学习定弦定角奠定基础。

2. 新课讲解：（1）介绍定弦定角的定义：一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是动角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为定弦定角。

（2）讲解定弦定角的基本性质：定弦定角的度数恒定不变，与动点的位置无关。

（3）演示定弦定角的运用：通过实例讲解定弦定角在解决实际问题中的应用，如求最短距离和最长距离等。

3. 练习与讨论：（1）让学生独立完成一些定弦定角的练习题，巩固所学知识。

（2）分组讨论，让学生相互交流解题方法，培养学生的合作意识。

4. 拓展与应用：（1）引导学生运用定弦定角解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

（2）引导学生思考定弦定角在其他几何问题中的应用，拓宽学生的知识视野。

5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调定弦定角的定义、性质和应用，鼓励学生在日常生活中发现和运用定弦定角。

四、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的学习状态，观察学生对定弦定角的掌握程度。

2. 练习题：通过学生的练习成果，评估学生对定弦定角的运用能力。

3. 课后反馈：收集学生对定弦定角的学习意见和建议，为下一步教学提供参考。

五、教学资源1. 教材：初中数学教材，相关章节。

2. 课件：定弦定角的教学课件。

3. 练习题：定弦定角的相关练习题。

4. 几何画板：用于展示几何图形和动态变化。

六、教学建议1. 注重基础知识的学习，为学生学习定弦定角奠定基础。

2. 加强课堂互动，引导学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣。

一、模型引入（特殊情况）符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

虽然初中数学中没有系统学习轨迹知识，但我们在学习圆的知识过程中，常碰到这样一个基本图形：即已知AB为定线段，C为动点，且∠ACB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们能推出：动点C的运动轨迹为以AB为直径的圆上的任意一点（除点A和点B）。

如下图示：（图1）二、模型拓展（一般情况）若AB为一定线段，点C为动点，且∠ACB大小为一固定值，则A、B、C三点是否一定共圆？或称为点C一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上？（图2）（图3）三、定弦定角模型之”前世今生”（模型证明）同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆。

线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

称其为定弦定角问题。

（图4）（图5）四、定弦定角模型总结（1）定弦定角问题的三个条件：①平面内有定线段BC；②BC 所对的角是定角；③定角的顶点A 时动点。

（2）辅助线做法做△ABC 的外接圆并作其关于BC 的对称圆。

（如图6）（图6）（3）弦长计算（4）弧长计算（0（五、模型应用及解题步骤：（1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧摩天轮最值面积最值周长最值线段最值角度最值尺规作图模型应用（2）解题步骤：a、寻找不变张角（一般找出张角补角，这个补角一般为特殊角）；b、找张角所对的定弦；（可以确定轨迹圆）c、确定半径和圆心；d、求得圆心到所求线段定点的距离；e、计算最值。

六、例题展示例1、（尺规作图）如图，已知线段AB.（1）请在图1中画出使得︒=∠90APB 的所有点P；（2）请在图1中画出使得︒=∠60APB 的所有点P；（3）请在图1中画出使得︒=∠45APB 的所有点P；已知△ABC 外接圆圆o 半径为r ，∠A 为定角，BC 为定线段。

专题19.定弦定角一．知识点:1.利用定弦定角构造辅助圆：已知定弦定角，可以构造辅助圆解决几何最值。

结论1：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a为定值，则点p 在弦AB所对的圆弧上运动。

结论2：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=90°，则点p在以AB为直径的圆上运动。

结论3：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，0°<a<90°,则点p在以AB为弦，圆心和点P在AB同侧，2a°为圆心角的圆上运动。

结论4：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，90°<a<180°,则点p在以AB为弦，，圆心和点P在两侧，360°-2a为圆心角的圆上运动。

特殊情况：1.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=30°（或∠APB=150°），则点p在以AB为边构造的等边△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

2.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=45°（或∠APB=135°），则点p在以AB为底，以22AB为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

3.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=60°（或∠APB=120°），则点p在以AB为底，3为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

二．典型例题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为（）A ．B．2﹣2B．C．2﹣2D．42．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（）A．3 B．5C．8 D．103．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝10，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．7B．8C ．D ．【自我修炼- -绝世武功】4．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E ，若＝，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2﹣6D ．﹣3【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝2，再由当A、D、M三点共线时，AD 最小，求出此时AD的长即可．【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝30°，∴∠CDP＝30°，∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC 上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠BMC＝60°，∵BM＝CM，∴△BMC为等边三角形，∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ACM＝90°，∴AM ＝＝＝2，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．三．变式练习1.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是边AD,CD上的动点，且AE=DF,AF和BE相交于点H，若正方形的边长为4，那么HD的最小值是_____________________.2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（）A．8B ．C ．D ．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D 点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC ＝60°，则△DBC面积的最大值是（）A．3B．3C ．D．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP 的最小值为．5.在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为__________.6．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB 边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．。

定弦定角原理证明
嘿，朋友们！今天咱们要来聊聊超有趣的定弦定角原理啦！
你们想想看，一根弦被固定在两点之间，那角度是不是就被限定住啦？比如说，就像你的滑板被放在特定的位置，你只能在那个范围内活动一样。

定弦定角原理说的就是这么回事！
咱来具体说说哈，当一个动点在一个定圆上运动，而这个动点与圆上某个固定点的连线所形成的角度是一定的，嘿嘿，这不就很神奇嘛！这就好像你每天上学都走同一条路，路线基本是固定的。

那怎么证明呢？我们可以通过一些巧妙的方法呀！比如说，我们可以通过圆心角和圆周角的关系来证明呀！就像在玩拼图游戏，找到关键的那块，整个画面就清晰啦！比如在一个圆里，有个动点总是和圆心形成一个固定的角度，那我们不就能确定它的运动轨迹了嘛，是不是超级酷呀！
哇塞，你们不觉得这个原理超有意思吗？简直让人惊叹不已呀！大家赶紧自己去感受感受吧，相信你们一定会被它深深吸引的！。

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．43 【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。