2019年高考数学(理)精品资料：3.9 客观“瓶颈”题突破—冲刺高分(测)含解析

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）1.已知集合M= {x|−4<x<2}，N= {x|x2−x−6<0}，则M ∩N=（）A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.己知a=log20.2，b= 20.2，c= 0.20.3,则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是√5−12。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)= sinx+xcosx+x2在[- π，π]。

的图像大致为（）A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A. 516B. 1132C. 2132D. 11167.已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=2| b ⃗⃗ |，且 (a ⃗−b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗ ，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为（ ） A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π68.下图是求 12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. A= 12+A B. A=2+ 1AC. A= 11+2AD. A=1+ 12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。

2019届全国新高考原创精准冲刺试卷（四）数学理科★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}()(){}2,1,0,1,|130A B x x x =--=+-<，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}0 D. {}2,1--2．若i 为虚数单位，()()13i a i i +-=+，则实数a =（ ） A. 2 B. -2 C. 3D. -33．下列函数既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 （ ） A. 3y x = B. 14y x = C. y x = D. tan y x =4．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是（ ） A. 0.20 B. 0.22C. 0.25 D. 0.425．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（） A ． 192 B ． 186 C ． 180 D ． 1986.在等差数列错误！未找到引用源。

2019届全国高考原创精准冲刺试卷（七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分1.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，再根据充分不必要条件的判定方法，即可作出判定.【详解】由不等式可知，解得，又集合，则，所以不等式“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分不必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A. 分层抽样法，系统抽样法B. 分层抽样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 简单随机抽样法，分层抽样【答案】B【解析】试题分析：根据定义可得①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是分层抽样法，简单随机抽样法，故选B.考点：随机抽样.【方法点晴】随机抽样法就是调查对象总体中每个部分都有同等被抽中的可能，是一种完全依照机会均等的原则进行的抽样调查，被称为是一种“等概率”．随机抽样有四种基本形式，即简单随机抽样(抽签法、随机数表法)、系统抽样（有时需要剔除个别个体）、分层抽样（按抽样比/各层之比来计算）和整群抽样（高中不做要求）．3.从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．【答案】0.79【解析】分析：由频率分布直方图求出这种指标值在内的频率，由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率．详解：这种指标值在内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为，所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.4.考察下列命题：其中正确的命题有（）（1）掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种结果；（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（3）从中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；（4）分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；（5）5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率计算公式，分别求解相应的概率，即可作出判断.【详解】由题意，（1）中，掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”、“一反一正”，共4种结果，所以不正确；（2）中，因为某袋中装由大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，红球出现的概率是，黑球出现的概率为，白球出现的概率为，所以每种颜色的球被摸到的概率不相同，所以不正确；（3）中，从中任取一数，取到的数小于0的概率为；不小于0的概率为，所以不相同，故不正确；（4）分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么男同学被选中的概率为，每位女同学被选中的概率为，所以每个同学当选的可能性不相同，所以是不正确的；（5）5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性是相同的，所以不正确，故选A．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法，理解每个命题所涉及的事件，以概率为背景考查命题的真假,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】又由事件“甲胜”即为事件“乙不胜”，根据对立事件的概率公式，即可求出甲不胜的概率. 【详解】因为甲胜的概率就是乙不胜，即两个人和棋或乙获胜，故甲胜的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查了概率的求法及其应用，属于基础题，解答此题的关键是首项判断出此事件的类型，然后选择合适的方法求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.把11化为二进制数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故11(10)=1011(2)故选A.7. 从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个黑球”与“都是黑球B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】C 【解析】试题分析：A 中两事件不是互斥事件；B 中两事件不是互斥事件；C 中两事件是互斥事件但不是对立事件；D 中两事件既是互斥事件又是对立事件 考点：互斥事件与对立事件8. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）A. B. C. 3 D.【答案】B 【解析】本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算．，．选B ． 9.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间对应线段的长，然后代入几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为以线段为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长度介于与之间，满足条件的点对应的线段长，而线段总长为，故正方形的面积介于与之间之间的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对于几何概型及其概率的计算中，注意几何度量，可以是线段的长度、面积、体积等，而这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关,着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.将数字1、2、3填入标号为1，2，3的三个方格里，每格填上一个数字，则方格的标号与所填的数字有相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件的总数，利用列举法求出所填的数字没有相同的情况有两种，由此能求出方格与所填数字有相同的概率.【详解】将数字填入标号为的三个方格里，每格填上一个数字，基本事件总数为，方格的标号与所填的数字没有相同的情况有两种：即的三个方格里的数字分别为或，所以方格的标号与所填的数字有相同的概率是，故选D.【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式.12.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据框图，i-1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次， i-1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i>10”故选A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从这16个数中取的数是35，则在第1小组中随机抽到的数是________．【答案】【解析】分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．详解：由题意，样本间隔为，因为在这16个数字中取到的数字为，设从第一小组中随机抽取的数字为，则，解得．点睛：本题主要考查了系统抽样的应用，其中熟记系统抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题．14.将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为 ______________.【答案】【解析】【分析】现求出基本事件的总数，再求出向上的点数之和为8包含的基本事件的个数，由此能求出向上的点数之和为8的概率.【详解】将一颗骰子连续抛掷2次，基本事件的总数，向上的点数之和为8的包含的基本事件有：，共个，所以向上的点数之和为8的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的求解问题，解答中认真审题，根据题意求得基本事件的总数，进而得到所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.15.如图所示，边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为__________．【答案】【解析】分析：直接利用几何概型求解.详解：由几何概型公式得故阴影部分的面积为故答案为：点睛：(1)本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.16.下列说法错误．．的是_____________.①．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.②.命题：,则③．命题“若，则”的否命题是：“若，则”④．特称命题“，使”是真命题.【答案】④【解析】【分析】由题意，①中，根据复合命题之间的关系进行判断；②中，根据全称命题与存在性命题的关系判定；③中，根据四种命题的关系可判定；④中，根据含由量词的命题的定义进行判定. 【详解】由题意，①中，如果命题“”与命题“或”都是真命题，则是假命题，为真命题，所以是正确的；②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题的否性为，所以是正确的；③中，根据四种命题的概念，可知命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以是正确的；④中，因为判别式，所以方程无解，所以不正确，故答案选④.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到复合命题的真假关系、四种命题的关系、含有量词的命题的否定等知识的综合考查，综合性较强，属于中档试题,着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题：本大题共6个小题,共70分, 解答应写出文字说明或演算步骤17.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.（1）问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.【答案】（1）8, （红，红，红）,（红，红，黑）,（红，黑，黑）,（红，黑，红）,（黑，红，红）,（黑，红，黑）,（黑，黑，红）,（黑，黑，黑）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，按照一定的顺序列举出所有事件的基本事件，顺序可以是按照红球的个数由多到少的变化，即可得到答案.（2）由（1）得出3次摸球所得总分为5的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】（1）一共有8种不同的结果：（红，红，红）（红，红，黑）（红，黑，黑）（红，黑，红）（黑，红，红）（黑，红，黑）（黑，黑，红）（黑，黑，黑）.（2）3次摸球所得总分为5的基本事件有3个：（红，红，黑）（红，黑，红）（黑，红，红）∴3次摸球所得总分为5的概率P = 3/8 .【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的求解问题，解答中认真审题，根据题意求得基本事件的总数，进而得到所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.18.在2008奥运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；用茎叶图表示甲，乙两个成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.【答案】茎叶图见解析【解析】【分析】根据题意，作出数据的茎叶图，根据茎叶图中的数据求得数据的平均数，以及熟记的击中与分散情况，即可得到结论.【详解】（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字,甲的平均数是9.11，乙的平均数是9.14，两人平均成绩很接近，但乙的成绩大致对称，可看出乙发挥稳定性好，甲波动性大.【点睛】本题主要考查了茎叶图的制作与应用，其中解答的关键是根据数据作出茎叶图，难点在于根据营业图分析出数据的集中与分散情况和求解数据的平均数，得到甲乙成绩的发挥的稳定性,着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：，.参考数据：.【答案】（1）；（2）49.【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知，，∴，，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.（1）求质量落在，两组内的蜜柚的抽取个数，（2）从质量落在，内的蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；【答案】（1）2，3；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得到蜜柚质量在和的比例为，得到应在质量为和的蜜柚中个抽取2个和3个.（2）记抽取质量在的密柚为质量在的密柚为,列举得到基本事件的总数，和小于2000克的仅有，利用公式即可求解概率.【详解】（1）由题意得密柚质量在和的比例为，应分别在质量的密柚中各抽取2个和3个，(2)记抽取质量在的密柚为质量在的密柚为则从这5个密柚中随机抽取2个的情况共有以下10种，其中质量均小于2000克的仅有这一种情况，故所求概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，其中认真审题，通过列举得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21.已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。

数学试卷第1页（共50页）数学试卷第2页（共50页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合}242{60{}Mx x N x x x =-<<=--<，，则M N =()A .}{43x x -<< B.}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为()x y ，，则()A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则()A .a b c<<B .a c b<<C .c a b <<D .b c a<<4之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A .165cmB .175cmC .185cmD .190cm5.函数()2sin cos x xf x x x +=+在[,]-ππ的图象大致为()A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为()A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入()A .12A A =+B .12A A =+C .112A A =+D .112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==，，则()A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n=-D .2122n S n n =-毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共50页）数学试卷第4页（共50页）10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为()A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：()①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为()A.B.C.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若214613a a a ==，，则5S =.15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是.16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为.三、解答题：共70分。

立体几何【重点内容】1、空间几何体的性质及应用：长方体 (正方体)、棱柱、棱锥2、复杂三视图识别3、球体的性质及应用4、空间位置关系：平行、垂直5、空间数量关系：夹角 (线与线、线与面) ；距离(点到平面距离)6、展开、裁切、折叠、拼接等7、动点、动线的最值与范围问题一、空间关系的判断与计算(1) 异面直线夹角：平移是要点(2) 直线与平面所成的角：定义：直线与直线在平面内的射影所成的角性质：① 平移不改变角 (线平移；面平移)② 线面角是线与平面内的线的夹角的最小值 { <l ，ɑ>=min{<l ，m > | m ⊆ɑ}}cos θcos ɑ=cos β(3) 点到平面距离 (棱柱棱锥的高)：垂线长性质：平移不改变距离 (若ɑ∥β，A 、B 在β内，则A 、B 到ɑ的距离相等内)(4) 体积计算： ① 高的计算② 等体积法 (三棱锥)③ 分割(5) 射影关系：① 线面垂直② 面面垂直【典型例题】例1.1直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )．A ．110 B ．25 C．10 D．2例1.2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =，当动点E 、F 从B 1端向D 1端运动时，三棱锥A —BEF 的体积( )A.先变大后变小B.先变小后变大C. 为定值D.为定值 22121122为.例1.4 已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为.例1.5 (2016全国1卷文科) 已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为E，设E在平面P AC内的正投影为F(1) 在图中作出F(说明作法及理由)(2) 求四面体PDEF的体积．例1.6 如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，AB=2，AC＝BC＝23，PC＝4，则三棱锥P—ABC 的体积为.例1.7 (综合能力提升) 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2. 若AD＝6，且AB＋BD＝AC＋CD＝8，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．32二、长方体(正方体)的研究与应用1、长方体(正方体) 的基本要素与性质：棱(12条)；面(6个)；面对角线(6条)、体对角线(4条)；对角面(2个)；三角截面(8个)(1) 长度：设棱长为a、b、c，面对角线为x、y、z，体对角线为l则：l2=a2+b2+c2=(2) 垂直与投影：(3) 平行与夹角：3条棱、3个面常用结论：(1) 设体对角线与三条棱所成角分别为ɑ、β、γ，则cos2ɑ+cos2β+cos2γ= 对正方体：ɑ=β=γ，(2) 设体对角线与3个面所成角分别为ɑ、β、γ，则cos2ɑ+cos2β+cos2γ=对正方体：ɑ=β=γ，(4) 正方体的三角截面：(8个)(1) 两两平行的正三角形(2) 2个相互平行的三角截面与1条体对角线垂直，三等分体对角线(3) 与三条棱所成角相等；(与所有棱所成夹角相等)与三个面所成二面角(锐角)相等；(与所有面所成二面角相等或互补) 2、长方体(正方体) 的应用：(1) 三视图的恢复(2) 补全法：外接球、体积等(3) 平移法：夹角的计算、距离的计算【典型例题】例2.1 设长方体ABCD-A1B1C1D1，(1) 若AC1 与BC、DD1所成的角分别为60°、45°，则AC1 与A1B1所成的角为(2) 若AC1 与平面ABCD和平面ABB1A1所成的角为30°、45°，则AC1 与平面ADD1A1所成的角为(3) 设AC=6，AB1=8，AD1=10，则长方体外接球的面积为.(4) 设AC=6，AB1=8，AD1=10，甲球与长方体各个面都相切，乙球长方体的各条棱都相切，丙球过长方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____(5) 若AB=AD=4，AA1=2，则点A1到平面AB1D1的距离为.(6) AB=AD=4，AA1=2，四面体ACD1B1的外接球与内切球的半径之比为例2.2 几何体甲的三视图如图所示，几何体乙的三视图除了侧视图比甲的侧视图少一条虚线外，其他都与甲的三视图完全一样，则甲与乙的体积的比值为.例2.3 (2014全国新课标1卷理12题) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有棱中，最长的棱长为．例2.4 (2008全国新课标12题) ，在该几何体的正视图、俯视图和侧视图，该棱的投影是长度为a、b的线段，则a+b的最大值为.例2.5 (2016全国新课标1卷理科11题)平面ɑ过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，ɑ∥平面CB1D1，ɑ∩ 平面ABCD=m，ɑ∩ 平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为.例2.6 (2017全国新课标3卷理科12题) a，b为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以AC为轴旋转，有以下结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°④直线AB与a所成角的最大值为60°例2.7 (2018全国新课标1卷理科12题) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ( )ABCD例2.8 (综合能力提升) 已知正方体的棱长为1，则该正方体的正视图的面积的取值范围是例2.9 (综合能力提升) 已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，则以下命题正确的有 . ① 该三棱锥的两条棱长为1的棱所在直线的夹角为30°② 该三棱锥的体积为 ③ 该三棱锥的外接球的表面积为6π④ 该三棱锥的内切球的半径为例2.10 (综合能力提升) 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，设P 为BC 中点，Q 为线段CC 1上的动点，CQ =t (0<t ≤2)，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得截面记为S . 以下结论正确的有 .①S 不可能是菱形； ②S 可能是五边形； ③0<t <1时，S 为梯形；④t =1时，S 的面积为 ⑤t =时，S 将棱C 1D 1截成长度比为2:1的两部分2923三、球体的相关计算【基本方法】1、球的定义：(1) 球面上的点到球心距离相等(2) 球的直径所对球面上的点所成角为直角2、截面：(1) 垂径定理 (2) R 2=r 2+d 23、多面体外接球：所有顶点都在球面上(1) 内接直棱柱：R 2=r 2+41h 2；斜棱柱没有外接球 (2) 内接棱锥：A.一条侧棱垂直底面的棱锥：R 2=r 2+41h 2； B.正棱锥：R =22l h(推导过程) C.其他棱锥：① 球心在直线l 上：② 球心到顶点与到底面顶点的距离相等4、多面体的内切球：和所有面都相切(1) 直棱柱：(2) 棱锥： A. 等体积法B. 构造三角形【典型例题】例3.1 已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，垂足为H ；若平面α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为 .例3.2 正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为S 的球面上，过线段AB 、AC 、AD 中点的平面截球所得的圆的面积为S ’，则'S S= .例3.3 (1) 设正六棱柱的所有棱长都为1，所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 .(2) 体积为3的直四棱柱的ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为等腰梯形，底边AB =2，BC=CD=DA =1；四棱柱的8个顶点都在一个球面上，则该球的体积为 .3(3) 三棱锥P-ABC 的各顶点都在同一球面上，若P A 垂直于底面ABC ，AB=AC=P A =2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于____________.(4) 正四棱锥S －ABCD 的所有棱长为2，所有顶点都在一个球面上，则该球的体积为 .例3.4 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．【解法一】 【解法二】例3.5 (2012全国新课标11题) 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC =2，则该棱锥的体积是 .【解法一】 【解法二】例3.6 高为 的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 .32例3.7 (1) 设A、B是球O的球面上两点，∠BOA=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为.(2) 正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球O的球面上，O到平面ABC的距离为1，设线段BC的中点为D，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为.、例3.8 现有一个直三棱柱ABC−A1B1C1形的石材，已知AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，将该石材打磨成一个球体，则球体体积的最大值是A. 4πB. 9π2C. 6πD.32π3例3.9 在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球) 球心O，且与BC、DC分别截于E、F. 如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别为S1、S2，则必有( )A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1、S2的大小关系不能确定例3.10 (综合能力提升) 设A、B、C、D是半径为2的球面上的不共面四点，AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值是四、多面体的展开、折叠、裁切、拼接【典型例题】例4.1一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底边长与各侧棱长都相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1:h2:h3= .例4.2 三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．平面BDC1分此棱柱为两部分，则这两部分体积的比值为( )A．3 B．2 C．32D．1例4.3某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2例4.4 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点．将△ADE沿DE翻折，得到四棱锥A1-DEBC．设线段A1C的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题，其中正确的命题是____．(写出所有．．正确命题的序号)①总有BM∥平面A1DE；②三棱锥C-A1DE体积的最大值为42；③存在某个位置，使ED⊥A1C．1217252天麟教育—王老师数学工作室 总复习重难点突破(四） 立体几何内部资料，版权所有 11 例4.5 给出一个边长为4的正三角形纸片，通过剪裁、拼接的方式得到一个正三棱柱模型，要求正三棱柱模型的全面积与正三角形纸片的面积相同，则拼接成的正三棱柱模型的体积为 .例4.6某正三棱锥P-ABC 的表面为纸片，沿线段P A ，PB ，PC 裁开，并将三角形P AB 、PBC 和PCA 分别沿AB ，BC ，CA 展开成一个平面图形(保持底面ABC 不变)，若 P点在平面的三个不同位置构成一个边长为的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积最大可能是 .例4.7 (综合能力提升) 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .例4.8 (综合能力提升) 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，则a 的取值范围是( )A ．(0B ．(21+1) C ．(0，226+) D ．(21，226+)。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12A F n =，在1A FB △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()s i n s i n s i n s i n ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2A B B C A C ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

=A B P A P B)()()A在一次试验中发生的概率是k，，2)n}{}0．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶看作时间t的函数，其图像可能是（中，AB =c ，AC =b ．若点满足2BD DC =，则AD =（ B ．33-c b 3-b cD ．33+b 0)(1)+∞， 1)(01)，1)(1)-+∞，，0)(01)，，1x yb+=通过点)α，则（ 1≤1+45，求二面角OA AB OB、、成等差数列，且BF与FA同向．被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．像可知；由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，12AD c b =+； ()()()21210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；另解：设,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，,,AB AC AA 的两两间的夹角为a ，平面ABC 的法向量为1133OA AA AB AC =--,1AB AB AA =+ 226,,3OA AB a OA AB ⋅=== 则AB 与底面ABC 所成角的正弦值为1123OA AB AO AB ⋅=种种法；种三种花有42A11(),AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=1故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则3121321(,,),(,,),,3AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=. 中，由正弦定理及a AB 90，90∴∠，即CE CE AD ⊥CG ∠zx233AC CD AD =CG GE =，即二面角C AD -2142315325C C =2112)()555P B =+⨯4 31 53,( 5PC=13 ),(5B P= 212。