2020高考数学最后冲刺 复数

最后冲刺

【高考预测】

1.复数的概念

2.复数的代数形式及运算

3.复数概念的应用

4.复数的代数形式及运算

易错点 1 复数的概念

1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴.25

462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵21

z z 为纯虚数。

∴,02583=-a ∴a=38.∴填38。

【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽

【错误解答】 选C ∵z=i -11

=1+i.∴z 为纯虚数为1-i

【错解分析】z=i -11

=1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1

【正确解答】 选B ∵z=i -11=.212121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+

∴z=i -11的共轭复数是21-21

i 。

3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z •是实数，则实数t= （ ）

A ．43

B ．34

C ．-34

D ．-43

【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ⇔2121z z z z +=0。即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0

⇒t=-34.

【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i

由题意得 y=-2.

∵51222=--=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i.

由题意得x=4,∴z=4-2i.

∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=(12+4a-a 2

)+8(a-2)i

∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限，

∴,.0)2(8,04122⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。

【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0.

∵a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a ≠2，b ≠6。

【正确解答】 设z=x+yi(x 、y ∈R).

∵z+2i=x+(y+2)i

由题意得，y=-2. 又∵51)2)(2()2(2=+-+=-i i i z i z (2x+2)+51(x-4)i.

由题意得：x=4,z=4-2i.

∵(z+ai)2=(12+4a-a 2

)+8(a-2)i

根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧>->-+0)2(804122a a a 解得2

【特别提醒】

1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b ∈R)与复平面内的点（a 、b ）及向量OP 是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。

2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b ∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。

【变式训练】

1 若复数i i

a 213++(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）

A ．-2

B ．4

C ．-6

D ．6

3 设复数z 满足i z z =+-11，则|1+z|= （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

答案： C 解析：由.2)1(11,112

i i i i z i z z -=-=+-=∴=+-

∴|1+z|=|1-i|=..21122C 选=+

4 已知复数z 1满足（1+i ）z 1=-1+5i ，a 2=a-2-i.其中i 为虚数单位，a ∈R 。若|z1-2z |<|z 1|，求a 的取值范围。 答案：解：由题意得于是,321511i i i z +=++=.13||,4)4(|24|||1221=+-=+-=-z a i a z z 由.078,134)4(22<+-<+-a a a 得

∴1

易错点 2复数的代数形式及运算

1．复数i i 2123

--= （ ）

A ．i

B ．-i

C ．-22-i

D ．-22+i

【错误解答】 选C ∵.2212221)21)(2(2122123

i i i i i i

i i --=-+=-+-=--=--

【错解分析】 上面解答错误认为i 2=1.导致结果错误。

【错解分析】

上面解答似乎很有“道理”，但（-21+i 23）5=[（-21+i 23）3]35是错误的∵z mn =(z m )n 在数

范围内，必须是m 、n 均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。

【正确解答】 选A 。原式=).2321(16222)2()2321(2)232

1(255555i w w w w w w w i i +-=-=•-=-=+•+-令

3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．圆

D ．椭圆