高中数学(苏教版必修三)教师用书：第3章 3.2 古典概型

苏教版高中高二数学必修3《古典概型》评课稿引言本文是对苏教版高中高二数学必修3《古典概型》教材内容的评课稿。

通过对教材的细致分析和评估，本文将对教材的优点、不足之处以及改进建议进行全面的探讨。

目的是为了提高教材的质量，使其更适合学生学习和理解。

1. 教材概述苏教版高中高二数学必修3《古典概型》是高中数学教学中一本重要的教材。

该教材主要分为以下几个部分：•第一章：概率初步•第二章：古典概型•第三章：概率的计算方法•第四章：事件间的运算•第五章：条件概率与事件的独立性•第六章：随机事件的概率本文主要评估第二章的《古典概型》部分。

2. 教材优点2.1 知识体系清晰教材中的《古典概型》部分在知识体系上架构合理，内容安排有序，循序渐进。

教材首先介绍了基本概念，并通过大量的例题帮助学生理解和掌握古典概型。

接着，教材逐一介绍了古典概型的计数方法、排列组合和二项式定理等知识点，使学生能够更深入地理解该概念。

最后，教材通过习题部分进一步巩固和扩展学生的知识。

2.2 实用性强古典概型作为一种常见的概率计算方法，在实际生活中具有广泛的应用。

教材中的例题和习题结合了现实生活中的场景，如抽奖、扑克牌游戏等，使学生能够将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

2.3 精炼的语言表达教材中的语言表达简练明了，干扰因素少，使学生能够更好地理解和掌握知识点。

教材中的定义、定理和推论以及相应的证明过程都给出了清晰的解释，帮助学生理解知识的起源和逻辑。

3. 教材不足之处3.1 缺乏足够的拓展内容虽然教材在古典概型的基本概念和计数方法方面有很好的叙述，但在相关知识的拓展方面较为欠缺。

对于一些学生而言，他们可能需要更多的挑战和扩展。

因此，教材可以在习题的设计上更加富有创意，引导学生进行拓展性的思考和实践。

3.2 缺少实例分析教材在介绍概念和理论时，缺少具体的实例分析。

实例分析可以帮助学生更好地理解概念和理论，并将其应用于实际问题。

3.2 古典概型（一） 学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件；2.理解古典概型的概念及特点；3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．知识点一 基本事件思考 一枚硬币抛一次，可能出现的基本结果都有哪些？它们发生的可能性相同吗？梳理 (1)在1次试验中可能出现的____________________称为基本事件．(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的________________，则称这些基本事件为等可能基本事件．知识点二 古典概型思考 一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？梳理 古典概型的定义：如果某概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件______________；(2)每个基本事件的发生都是__________的；那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型．一般地，对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为__________．类型一 基本事件的罗列方法例1 从字母a 、b 、c 、d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和？反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．类型二古典概型的判定例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．跟踪训练2 下列说法不是古典概型的是________．①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④6个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．类型三古典概型概率的计算例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？反思与感悟解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．跟踪训练3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．1．某高二年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有______个．2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为________．3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是____________．4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________．5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丙丁被选中的概率．1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的个数÷等可能基本事件的总数，只对古典概型适用．3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是枚举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．答案精析问题导学知识点一思考 正面向上，反面向上，它们发生的可能性相同．梳理 (1)每一个基本结果 (2)可能性都相同知识点二思考 因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能．梳理 (1)只有有限个 (2)等可能 P (A )＝m n题型探究例1 解 所求的基本事件有6个， A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }， D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d };“取到字母a ”是基本事件A 、B 、C 的和，即A ＋B ＋C .跟踪训练1 解 (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)．例2 解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.跟踪训练2 ③解析 ①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性．而③不适合等可能性，故不是古典概型．例3 解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A ，B ，C ，D 哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A ，由于正确答案是唯一的，所以事件A 只包含一个基本事件，所以P (A )＝14. 跟踪训练3 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)和(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝[(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)]，事件A 由4个基本事件组成，因而P (A )＝46＝23. 当堂训练1．3解析 基本事件有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个． 2.38解析 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38. 3.13解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P ＝26＝13. 4.13解析 用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为13. 5．解 (1)记甲被选中为事件A ，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个，事件A 包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3个，则P (A )＝36＝12. (2)记丙丁被选中为事件B ，由(1)知，基本事件共6个，又因丙丁被选中只有1种情况，所以P (B )＝16.。

高中数学第三章概率3.2 古典概型（1）教案苏教版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章概率3.2 古典概型（1）教案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章概率3.2 古典概型（1）教案苏教版必修3的全部内容。

3.2 古典概型（1)教学目标：1。

掌握基本事件的概念；2。

正确理解古典概型的两大特点:有限性、等可能性；3. 掌握古典概型的概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率．教学重点：掌握古典概型这一模型．教学难点：如何判断一个实验是否为古典概型，如何将实际问题转化为古典概型问题.教学方法:问题教学、合作学习、讲解法、多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境1。

有红心1，2,3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，则抽到的牌为红心的概率有多大?2.猜想两个实验的结果：（1）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌,将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，该实验的所有可能结果是什么?（2)抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么？二、学生活动1．进行大量重复试验,用“抽到红心”这一事件的频率估计概率，发现工作量较大且不够准确；2．（1）共有“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心3”“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”5种情况,由于是任意抽取的，可以认为出现这5种情况的可能性都相等；(2）6个;即“1点"、“2点"、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，这6种情况的可能性都相等；三、建构数学1．介绍基本事件的概念，等可能基本事件的概念；2．让学生自己总结归纳古典概型的两个特点(有限性)、(等可能性）；3．得出随机事件发生的概率公式：四、数学运用1．例题。

古典概型[新知初探]1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．[点睛](1)基本事件是试验中不能再分的简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示．(2)任何两个基本事件是不会同时发生的．(3)任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A) ＝mn.即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.[点睛]古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝mn 是一个定值，且对同一试验的同一事件m ，n 均为定值，而频率中的m ，n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[小试身手]1．一个家庭中有两个小孩，则所有等可能的基本事件是________．(列举出来) 答案：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)2．从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？这些基本事件是等可能基本事件吗？解：共有6个基本事件：A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }，D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d }．每个基本事件取到的概率都为16，属于等可能基本事件．[典例] 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． [解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．古典概型的判定下列随机事件：①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；③一只使用中的灯泡寿命长短；④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．这些事件中，属于古典概型的有________．解析：放回”与“不放回”问题[典例]从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.从1,2,3,4,5五个数字中任意有放回地连续抽取两个数字，求下列事件的概率： (1)两个数字不同；(2)两个数字中不含有1和5； (3)两个数字中恰有一个1.解：所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设A ＝“两个数字不同”，则P (A )＝2025＝45.(2)设B ＝“两个数字中不含1和5”，则P (B )＝925.(3)设C ＝“两个数字中恰有一个1”，则P (C )＝825.[典例] 有A ，B ，C ，D 四位贵宾，应分别坐在a ，b ，c ，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率． 建立概率模型解决问题[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝124.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝1 3.甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．解：利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．故甲在边上的概率为P＝1224＝1 2.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝1 6.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝1 6.古典概型的综合应用[典例] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：3336＝1112.(2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b2a －b＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率p 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．一枚硬币连续掷三次，基本事件共有________个． 解析：画树形图： 共8种． 答案：82．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：233．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为________．解析：基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15个．其中符合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12个．故P ＝1215＝45.答案：454．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．解析：这四个球记为白1，白2，黑1，黑2.则基本事件为{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6个．其中符合要求的为{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4个．故P ＝46＝23.答案：235．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3,4,5,6,7,8,9；当b ＞2时，b ＝c ＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4,5,6,7,8,9共6种.所以P (A )＝614＝37.[层级二 应试能力达标]1．同时掷两枚骰子，点数之和大于9的概率为________． 解析：P ＝636＝16.答案：162．某班委会由3名男生和2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一个女生当选的概率为________．解析：这五名同学分别表示为男1，男2，男3，女1，女2，用(x ，y )表示基本事件，其中x 是正班长，y 是副班长，则基本事件为(男1，男2)，(男2，男1)，(男1，男3)，(男3，男1)，(男1，女1)，(女1，男1)，(男1，女2)，(女2，男1)，(男2，男3)，(男3，男2)，(男2，女1)，(女1，男2)，(男2，女2)，(女2，男2)，(男3，女1)，(女1，男3)，(男3，女2)，(女2，男3)，(女1，女2)，(女2，女1)共20个．其中符合要求的有14个，故P ＝1420＝710.答案：7103．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 答案：254．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．解析：基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个．其中勾股数只有(3,4,5)，∴P ＝110.答案：1105．一个袋子中装有六个形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3，现从中任取一球记下编号后放回，再任取一球，则两次取出球的编号之和为4的概率为________．解析：用列表法列出所有基本事件共36个，其中和为4的有10个.故P ＝1036＝518.答案：5186．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左边的概率为________． 解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12.答案：127．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a ，b ，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为： (1,2)，(1,3)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(a ，b )共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P ＝110.答案：1108.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为________． 解析：只考虑A ，B 两个方格的填法，不考虑大小，A ，B 两个方格有16种填法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616＝38.答案：389．一个盒子中装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：由题意知(a ，b ，c )所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)共27种．(1)设A ＝“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”，则A 包含3个结果．故P (A )＝327＝19.(2)设B ＝“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”，则事件B 包含24种结果．故P (B )＝2427＝89.10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4”， 求事件B 发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表： 其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.。

甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？ 提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能． 问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能． 问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平． 问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？ 提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型 (1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A ) ＝m n．即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝m n是一个定值，且对同一试验的同一事件m 、n 均为定值，而频率中的m 、n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[例1] 将一颗骰子先后抛掷两次，求： (1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨] 求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法． [精解详析] 法一：(列举法)：(1)用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通]基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？ 解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球． (1)共有多少种不同的结果(基本事件)? (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.[例2] (12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A ：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝m n求结果．[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝636＝16.⇨(6分)(2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝536.⇨(9分)(3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种， ∴P (C )＝1836＝12.⇨(12分)[一点通]求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.答案：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.(1)设事件A表示“两数之积是奇数”，则事件A包含的不同结果的个数为9，所以P(A)＝936＝14.(2)设事件B表示“两数之积是3的倍数”，则事件B包含的不同结果的个数为20，所以P(B)＝2036＝59.1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n与事件A所包含基本事件的个数m，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性．(2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：232．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________．解析：由x ，y ∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P ＝39＝13.答案：133．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．解析：随机选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝15.答案：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为34.答案：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝12.答案：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝610＝35.7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P (A )＝614＝37.8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自江苏省，D ，E ，F 三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为915＝35.。

3.2 古典概型备课资料备用习题1.有8名选手参加乒乓球单循环比赛，则其中甲、乙两人在第一轮相遇的概率是多少？（设第一轮比赛由8人抽签决定）2.一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球，（1）共有多少种结果？（2）摸出2个黑球有多少种结果？（3）求摸出2个黑球的概率；（4）求摸出一只黑球一只白球的概率；（5）求摸出至少一只黑球的概率.3.有5张卡片，分别写有1，2，3，4，5五个数字，（1）从中任抽2张，2张卡片上两数之和为奇数的概率是多少？（2）从中任抽2张，2张卡片上两数之和为偶数的概率是多少？4.从1，2，3，4，5这5个数字中任选不同的3个数组成一个三位数所组成的三位数大于500的概率是多少？5.某甲参加口试，已知共有21个问题，某甲会答其中的8个问题，口试抽签后不放回，某甲第11个参加口试，求其通过这次口试的概率.6.某班级共有40人，准备分乘两辆车外出，每车20人，其中小明与小强同坐一辆车的概率是多少？解答：1.单循环比赛，即比赛的双方只比一次，在每一轮中，某甲只和另7位选手中的一位相遇，则在第一轮中，甲、乙相遇的概率为71. 2.（1）共有n=10种结果；（2）都摸出黑球m=3种结果；（3）记事件A ：“两次都摸黑球”，P(A)=103； （4）记事件B ：“一次摸黑球，一次摸白球”，P(B)=53106=； （5）记事件C ： “至少一只黑球”，P(C)=109. 3.（1） 记事件A ：“数字之和为奇数”， ∴P(A)=53106=； （2）记事件B ：“数字之和为偶数”，∴P(B)=52104=. 4. 1，2，3，4，5任取3个数组成3位数共有n=60个，其中比500大的共有n=24个（首位必为5），∴P=51. 5.记事件A ：“甲抽到会答的问题”，（前10个人从剩下20张签中抽取），∴P(A)= 218. 6.小明与小强同在（两部车选一部），∴P=3919. 点评：正确计算某一个事件所包含的基本事件的总数是解决古典概型问题的关键，可以运用数形结合、列表、树形图的方法进行枚举.。