对数的运算性质(2)PPT教学课件

1．下列结论中，不正确的是 ( 1 1 A．lgMn ＝nlgM(M>0) 1 C．lgMn ＝nlgM(M>0)
x
C)
1 n B．lg M＝nlgM(M>0) m m D．lgM n ＝ n lgM(M>0)
8 2．已知 2 ＝3，log43＝y，则 x＋2y 的值为 ( A ) A．3 B．8 C．4 D．log48 log2716 3. log 4 ＝ ( D ) 3 A．2
1 ＝2logax－logay－logaz.
7 例 2：计算：(1)lg14－2lg3＋lg7－lg18； 2lg2＋lg3 (2) ； 2＋lg0.36＋2lg2 (3)lg25＋lg2· lg50.
72 解： （1） （方法一）原式＝lg14－lg(3) ＋lg7－lg18 14×7 ＝lg 7 ＝lg1＝0. 32×18 1 (2)原式＝ ＝ ＝2. 2＋lg36－2＋2lg2 4lg2＋2lg3 (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1. 2lg2＋lg3 2lg2＋lg3
1 1 1 lg25 lg8 lg9 解： (1)原式＝ lg2 · lg3· lg5 －2lg5· －3lg2· －2lg3 ＝ ＝－12. lg2· lg3· lg5 lg4 lg8 lgm lgm 1 (2)由题意，得 lg3· lg4· lg8 ＝ lg3 ＝2， 1 1 ∴ lgm＝2lg3，即 lgm＝lg32， ∴ m＝ 3.
第二章
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第二课时
对数的运算性质
问题情境：
1.对数的定义 2.对数恒等式 探究：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列 问题

即真数的位置出现2，3，5才可以利用已知条件.
【解析】1.选A.lg( x)3－lg( )3y
2
2
＝3(lg x－lg )y
2
2
＝3［(lgx－lg2)－(lgy－lg2)］＝3(lgx－lgy)＝3a.
2.(1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2.
(2) lg3＋2lg2－1＝lg 3 4 10＝lg1.2＝1.
二、对数的换底公式
前提 条件
原对数的底数a的取值范围 原对数的真数b的取值范围 换底后对数的底数c的取值范围
_a_>_0_,_且__a_≠__1_ _b_>_0_
_c_>_0_,_且__c_≠__1_
公式
logcb
logab=_l_og_c_a_
思考：换底公式的作用是什么？
提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数.
类型 二 换底公式
【典型例题】
1.式子 log89 的值为( )
log2 3
A. 3
B. 2
C.2
D.3
2
3
2.已知2x＝5y，则 x 的值为______．
y
3.已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.
【解题探究】1.题1中分子和分母中的对数底数不同，如何将 其化为同底的对数？ 2.为了把题2中x，y表示出来，可以对已知等式作如何处理或 变形？ 3.比较题3中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用换底 公式应换为以什么数为底？
∴xlog22=ylog25,
∴
x y
log2 5 log2 2
log2 5.
答案：log2 5

（１）完全分流制 既有污水管道系统，又有雨水管渠系统
生活污水 工业废水
雨水
污水排水系统
污水厂
排入水体或再利用
雨水排水系统
排入水体
特点：比较符合环境保
护的要求，但对
城市管渠的一次
污水厂
性投资较大。
适用于新建城市。
（２）不完全分流制
这种体制只有污水排水系统，没有完整 的雨水排水系统。各种污水通过污水排水 系统送至污水厂，经过处理后排
设 loga M m， loga N ，n 试用m,n表
•
示 解：lo设gal(oMg·aN(）M·；N)=loxg,a则( MN
)
ax
=Ml·oNga M n
又因为 logaM=m,logaN=n
所以 M=am , N=an
所以 ax＝am ·an
即ax＝am＋n ，
所以x=m＋n，即loga(M·N)=logaM＋logaN
（2）分质给水系统：因用户对水质的要求不同而分成两个 或两个以上系统，分别供给各类用户。
可分为生活给水管网和生产给水管网等。 可以从同一水源取水，在同一水厂中经过不同的 工艺和流程处理后，由彼此独立的水泵、输水管和管 网，将不同水质的水供给各类用户。
3 2 1
6
4
5
1
3
2
4 6
5
分质给水系统
采用此种系统，可使城市水厂规模缩小，特别是可以节约大量药剂费 用和动力费用，但管道和设备增多，管理较复杂。
是根据用水量变化曲线拟定的，拟定时注意：
•供水曲线尽量接近于用水曲线，且分级数不宜超过三级；有利于选泵及水泵 的合理搭配，适当留有发展余地。
•Q二泵=QⅡmax

例 1 求下列各式的值
5
（1）log（64

512）（2）lg0.00001（3）log
2
3 81
解：
(1) log 2 (64 512) log 2 64 log 2 512 log 2 26 + log 2 29 6log 2 2 9log 2 2 6 9 15;
思考交流：判断正误当a 0且a 1时
（１）若a１，a２，a３都是正数，则 log a (a１a2a3 ) log a a１ log a a2 log a a3
（２）若a１，a２，a３
an都是正数，则 log a (a１a2a3
在上面第二式子中若令a１ a２ a３
an ) log a a１ log a a2 log a a3
(2)
M
log a
log a M log a N
N
语言表达:
积的对数等于对数的和；
同底对数相加,底数不变,真数相乘.
商的对数等于对数的差;
同底对数相减,底数不变,真数相除.
(3) log a M n n log a M ( n R) 幂的对数等于对数的倍数；
对数的倍数可以作为真数的指数；
n
二算
三转化
对
数
运
算
性
质
三
对数的运算性质三
如果a>0,a 1, M>0, N>0,则
(3)
log a M
n
n log a M( n R)
语言表达:
幂的对数等于对数的倍数；
对数的倍数可以作为真数的指数；
返回
对数的运算性质

因为下午要赶着上班，麦子中午只凉晒了一会儿感觉暂时不怕坏，就打包弄回家。若是搁在往年，母亲不在家，我们收麦只两天时间，先一天收晒，第二天联系买家，不管麦子怎么样，都让收粮的 全部搬走，省力省事。陪母亲收麦，就是事情多，也多出了好多手续，不但要把小麦里面混进的垃圾弄干净，还要把剩下带有麦衣的麦子一遍遍晾晒，然后用簸箕和筛子重复整理，直至最大限度地做到 颗粒归仓。看着母亲不停地簸啊筛啊的，我都有点厌烦，可母亲似乎陶醉在自得其乐中。千人斩
为了省事，我们家的麦地连着种了十多年，麦子的产量一年不如一年，说是要换着种些玉米才行。母亲先是信心满满地说服我们种玉米，可我们毕竟还有自己的工作要干，那里能抽出时间呢？在我 们的再三劝说下，母亲总算在极大不愿意中答应把地承包出去让别人种两年，以后再要回来。
母亲的根在田地里，母亲的快乐也Fra bibliotek田地里，一旦投入到田间劳动中，她一直嚷嚷的失眠，脚手麻等等疾病也似乎跑掉了，人还加倍的精神。我知道，只要有母亲在，田地是要种的，麦子是要收的， 这是母亲一生的精神支柱，也是母亲一生获得过快乐与踏实的地方。只要年年陪着母亲收麦，母亲快乐，我们也快乐，这种快乐虽然来得辛苦，但这恰恰就是送给母亲最好的孝心。

详细描述
对数运算基于指数法则，以某个底数（通常为10或自然对数e）为基数，将一个 数的幂次转化为线性关系。例如，以10为底的对数表示10的几次方等于给定数 值，而以e为底的对数则表示e的几次方等于给定数值。
对数的性质
总结词
对数具有一些基本的数学性质，这些性质在解决实际问题时非常有用。
详细描述
对数性质包括对数的乘积法则、商数法则、幂次法则等。这些法则允许我们在不进行复杂计算的情况下，快速得 出数值结果。例如，利用乘积法则，我们可以将两个数的对数相加，得到它们乘积的对数；利用商数法则，我们 可以将两个数的对数相减，得到它们的商的对数。
遵循运算优先级规则
在进行对数运算时，应遵循数学中的运算优先级规则，先进 行乘除运算，再进行加减运算。在对数运算中，也需要注意 优先级问题，以确保运算的正确性。
括号的作用
在运算中，括号可以改变运算的优先级。当有多个对数运算 时，可以使用括号来明确运算的顺序，避免混淆和错误。
精度问题
避免大数计算
在进行对数运算时，应注意精度问题。对于非常大或非常小的数值进行对数运算 ，可能会因为计算机的精度限制而导致结果不准确。为了避免这种情况，可以使 用科学记数法来表示大数或小数，或者使用计算器或数学软件进行计算。
进阶练习题
总结词
提高对数运算的灵活运用能力
详细描述
题目难度有所提升，涉及对数性 质的应用，如换底公式、对数的 幂运算等，旨在提高学生解决复 杂对数问题的能力。
综合练习题
总结词
综合运用对数知识解决实际问题
详细描述
题目设计为实际问题背景，要求学生 综合运用对数的知识，如对数方程的 求解、对数不等式的求解等，培养学 生对对数知识的实际应用能力。

解下列不等式：
(1)log1x＞log1(4－x)；
7
7
(2)logx12＞1；
(3)loga(2x－5)＞loga(x－1)．
栏目 导引
【解】
(1)由题意可得4x－＞x0＞，0， x＜4－x，
解得 0＜x＜2.
所以原不等式的解集为(0，2)．
(2)当 x＞1 时，logx12＞1＝logxx，
解得 x＜12，此时不等式无解．
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
2．已知 a＝30.5，b＝log312，c＝log32，则(
)
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>a>cog312<0，0<c＝log32<1，所以
a>c>b.
栏目 导引
解对数不等式
第四章 指数函数与对数函数
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
与对数函数有关的值域与最值问题 已知函数 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且 a≠1)． (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)的最小值为－2，求实数 a 的值．
栏目 导引
【解】
第四章 指数函数与对数函数
(1)由题意得31－＋xx>>00，，解得－1<x<3.
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
(3)因为 0＞log0.23＞log0.24， 所以 1 ＜ 1 ，
log0.23 log0.24 即 log30.2＜log40.2. (4)因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π＞3，所以 log3π＞log33＝1， 同理，1＝logππ＞logπ3，即 log3π＞logπ3.

x
x
=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23 ,从而有 3 =5,将

其化为对数式得 x=log35,若将对数函数的底数 2 换成 c(c>0 且 c≠1),

=log35 还成立吗?

提示:成立,证明如下:

设
x
x
=x,则 logc5=xlogc3,即 logc5=logc3 ,从而有 5=3 ,即 x=log35,
数学

(2)loga = logaM-logaN .

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
(3)logaMn= nlogaM(n∈R) .
即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
特别地,logaaN=N.
数学
2.换底公式及导出公式
[问题 2] 假设

=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
数学




+ +
(2)
-
-

;

(3)log535-2log5 +log57-log51.8.


= (lg 2+lg 5)





= lg 10= .
数学
法二
=lg
原式=lg
×
×
=lg( × )
=lg

= .

，则
1 a
lg 2
，同理可得 1 b
lg 5
， 1 a
1 b
lg 2 lg 5
1
.
D 3.已知 ab 1, loga m 2 , logb m 3 ,则 logab m ( )
1
1
5
6
A. 6
B. 5
C. 6
D. 5
解析：由换底公式得， logm
a
1 loga
m
1 2
， logm
b
1 logb
边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ，即 x logc a logc b ，
x
logc logc
b a
③.由②③得 loga
b
logc logc
b a
(a
0, 且a
1; b
0; c
0, 且c
1)
.我
们把上式称为换底公式.
课堂巩固
C 1.已知 2a 5 ， log8 3 b ，则 4a3b ( )
4.3 对数
学习目标
1.理解对数的概念 2.理解对数的运算性质 3.理解指数和对数的关系
学习重点
对数的概念与运算的性质
学习难点
对数概念的理解
新课导入
随看中国经济高速增长,人民生活水平不断 提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活 方式,由于旅游人数不断增加A，B两地景区 自2001年起采取了不同的应对措施，A地 提高了景区门票价格,而B地则取消了景区 门票.右表给出了A，B两地景区2001年至 2015年的游客人次以及逐年增加量.
如果 a 0且a 1, M 0, N 0 ，那么：
(1) log a(MN) log a M log a N

数学
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.1 对数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 对数
学习目标
知识目标 能力目标
理解对数的概念，熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的性质与运算 法则，能够使用计算器求解对数值
学生运用分组探讨、合作学习，掌握对数与对数函数图象和性质，学会利用 计算器求对数的值，提高学生的数学运算能力
设经过b次分裂，可以列出等式： 2b=4096.
这是个已知底数和幂的值求指数的问题. 一般地，若ab＝N(a＞0，且a≠1,N＞0)，则称幂指
数b是以a为底N的对数．例如： 因为42＝16，所以2是以4为底16的对数； 因为43＝64，所以3是以4为底64的对数；
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
实质上，上述对数式，不过是指数式的另一种表达 形式而已.
例如：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
34=81 与4=log381 这两个式子表达的是同一关系.
拓展延伸 对数恒等式
我们来推导对数恒等式。 因为ab=N，根据对数的定义得b=logaN，于是得到 下面的对数恒等式:
aloga N N . 例如，2log2 32 32，10log10100 100 .
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？

如果y=log_a(x) (a>0, a≠1)，则 x=a^y；如果y=a^x (a>0, a≠1)
，则x=log_a(y)。
02
对数的运算性质
乘法性质
01
总结词
对数乘法性质
02 03
详细描述
对数的乘法性质是指，对于任何正数a、b和任何底数c，都有log_c(a) + log_c(b) = log_c(a*b)。这个性质表明，当我们取两个数的对数时， 相当于将这两个数相乘。
解答与解析
01
计算下列各式
02
log_2(4) = 2 (因为2的平方是4)
log_3(9) = 2 (因为3的平方是9)
03
解答与解析
log_5(25) = 2 (因为5的平方是 25)
log_7(81) = 4 (因为7的四次方 是81)
利用对数的运算性质，求下列 表达式的值
解答与解析
log_2(4) + log_2(8) = log_2(4*8) = log_2(32) = 5 (利用对数运算法则， log_b(m)+log_b(n)=log_b(m*n))
证明
利用对数的定义，我们知道log_c(a) = c^x = a，log_c(b) = c^y = b 。那么，log_c(a*b) = log_c(c^(x+y)) = x+y = log_c(a) + log_c(b) 。
除法性质
总结词
对数除法性质
详细描述
对数的除法性质是指，对于任何正数a、b（b≠1）和任何底数c，都有log_c(a/b) = log_c(a) - log_c(b)。这个性质表明，当我们取两个数的对数时，相当于将这两个数相除 。

⑵
（3）证明: loga M n n loga M
证明：设 log a M p,
由对数的定义可以得：M a p , ∴ M n anp log a M n np
即证得 loga M n n loga M ⑶
课堂小结：对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
解:假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标， 根据题意,得 89442×(1+7.8%)x=89442×4 即 1.078x=4 ∴x=log1.0784 =lg4/lg1.078 ≈18.5 (年)
答:约经过19年以后,我国的GDP才能实现比2000年 翻两番的目标。
例9.(古莲子问题)我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发 掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花.
⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数.
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN.
例如：log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
（6）对数式 log a N b 中
底数a的取值范围： (0,1) (1,)
这个公式叫做换底公式
其他重要公式3:
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
证明:由换底公式
log a
N
log c N log c a
取以b为底的对数得：log a
b
log b log b
b a
logb b 1
log
a
b
1 log b
a
还可以变形,得 log a b logb a 1