2-4 数学期望的定义与性质

赔偿金的期望值相等知
10000a 40000 a 4(元),
故每人1年应向保险公司交保险费4元.
例2 设
X p
2 13
0 1 3 1 2 1 12 1 12
求: E (2 X 3 5). 解 E (2 X 3 5) 2 E ( X 3 ) E (5)
2 E ( X 3 ) 5,
g ( ai ) b j


P( ai )

由数学期望的定义有： Eg ( ) E b j P( b j )
j 1
bj
j 1

g ( ai ) b j

P( ai )
g (ai ) P( ai )

j 1
g (ai ) P( ai )
E ( ) k P{ k}
k 0 n
n k k p (1 p )n k k 0 k
n
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )! np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
例3 泊松分布
~ P( ), 且分布律？
P{ k} e , k 0,1,2,, 0. k!
k
则有
E ( ) k
k 0


k
k!
e

e
k 1

k 1
( k 1)!

e e .
2.4 数学期望的定义与性质
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、小结
一、随机变量的数学期望
离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的 统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便， 或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比 较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成， 一般比较平均亩产。 引例 某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手 表的日走误差，数据如下：
则有
E ( ) k q k 1 p p k q k 1
k 1


p (q k ) p( q k )
k 1


k 1
k 1
q 1 1 p( ) p 2 1 q (1 q ) p
二、随机变量函数的数学期望
1. 一维离散型随机变量函数的数学期望
i 1

g ( ai ) b j

2. 二维离散型随机变量函数的数学期望
定理 2.3 若 ( , ) 是二维随机变量，其联合分布列
为 P( a , b ) p , i. j 1, 2,... i j ij 又g ( x, y ) 是实变量 x, y 的单值函数，如果
g (a , b ) p
备份题
例1 你知道自己该交多少保险费吗?
根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中 每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人 参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领 取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少 元?
解
,0.002) 设1年中死亡人数为X , 则 X ~ b(10000
敛，则称随机变量 存在数学期望 E = ai pi
i 1

思考 ：1、为什么要绝对收敛？ 2、若不绝对收敛会有什么结果？
关于定义的两点说明 (1) E 是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 取可能值的真正平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
20
20
20
i 1,2,,10.
得
E ( X ) E ( X1 X 2 X10 )
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 10 )
9 20 101 8.784(次). 10
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质
日走误差(秒）
2
3
1 0
10 17
1
28
2
21
3
16
4
5
只数（Nk )
日走误差(秒）
2
3
1 0
10 17
1
28
2
21
3
16
4
5
只数（Nk )
这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：
k 2
kN
N
4
k
Nk 记作 f k 为事件“日走时误差为k秒”的频率： N
(2) 3 ... 4 5 1.22 （秒/日） 100
每人的检验结果是独立的，若每人的血液呈阳性的概率 为p,呈阴性的概率为q=1-p,则这k个人血液呈阴性的概率 是qk ,而呈阳性的概率为1-q k .
令 表示检验时k个人一组每人所需验的次数， 其分布列为： 1 k
k q
11 k k 1 q
由此可求的每人所需的平均检验次数： E =a1 p1 a2 p2 1 k q k (1 1 k )(1 q k ) 1 qk 1 k
设离散型随机变量的分布列为 P{ ai } pi , (i 1,2,),
若g(x)为 x 的单值函数,
如果 g (ai ) pi , 有Eg ( ) g (ai ) pi
i=1 i 1


证明 令 =（ g ），则 仍是一个离散的随机
变量，设其可能取值为 bj , ( j 1, 2,...) 则 P( b j )
每人检验一次，所以当1-q k + 1 k 1时，即q>1 需要分组，若q已知，还可以从E =1-q k +1 k 选出最适合的整数k .
k
k,
例5 几何分布
k 1 P { k } q p, 设r.v 的分布律为
q 1 p; k 1, 2,; 0 p 1
E 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
例2 二项分布
设随机变量 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布列为
则有
n k P{ k} p (1 p)nk ,(k 0,1,2,, n), 0 p 1. k
平均值=
k 2
kN
N
4
k
4 Nk = k kf k N k 2 k 2
4
1. 离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量 的可能的取值为ai(i=1,2...) ， 定义： 其分布列为 P{ ai } pi , i 1, 2,. 若 a p 绝对收
i 1 i i
n
n k k p (1 p )n k k 0 k
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p)]n1
=np
(3) E ai b j pij


ai pi b j p j
i=1 j 1
i=1 j 1


E E
例6 一民航送客车载有20 位旅客自机场开出 ,
旅客有 10 个车站可以下车 . 如到达一个车站没 有旅客下车就不停车 ,以 X 表示停车的次数 ,求 E ( X )(设每位旅客在各个车站 下车是等可能的 , 并设各旅客是否下车相 互独立).
10000
1000 E ( X ) k 0 k (0.002)k (1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.002)10000 k k 20(人).
被保险人所得赔偿金的期望值应为
20 2000 40000(元).
若设每人一年须交保险费为a 元,
由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的
10 : 00 都恰有一辆客车到站 , 但到站的时刻是随机 的 , 且两者到站的时间相互 独立.其规律为
例 4 在某地区进行某种疾病普查，为此要检查
每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验 需要N次，有没有办法减少检验的工作量？ 析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的 结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而 每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即 可，则这k人每人需检验(1+1/k)次，从而k个人需 要检验总次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。
P{ X k } pk (1 p)1 k
E(X) p np
k=0,1 k k P{X k} Cn p (1 p)nk k=0,1,2,…,n P{X=k}=
k
k!
X ~ P ( )
几何分布
e

1 p
k 1 p P{X=k}=(1 p ) k=1,2,…
k=0,1,2,…
例1 谁的技术比较好?
甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲乙射手击中的环数分别为 , , .
E 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
1 1 3 1 1 1 3 3 又 E ( X ) ( 2 ) 0 1 3 , 3 3 2 12 12 13 1 3 3 故 E ( 2 X 5) 2 E ( X ) 5 2 5 . 3 3
3 3
例3
按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~
10 0 2 0 3 40
E (C ) C; E (C ) CE ( ); E (k1 K 2 ) E E ;
, 独立 E E E.
作业：27；31；32；33
3. 常见离散型随机变量的数学期望
分布 (0-1)分布 X~B(1, p) 二项分布 X~B(n, p) 泊松分布 分布律
解
引入随机变量 X i ,
0, 在第 i 站没有人下车, Xi i 1,2,,10. 1, 在第 i 站有人下车 ,
则 X X1 X 2 X10 .
9 9 则有 P{ X i 0} , P{ X i 1} 1 , 10 10 9 由此 E ( X i ) 1 , i 1,2,. 10
i 1 j 1



= k1ai pij + k2b j ) pij
i 1 j 1 i 1 j 1



=k1 ai pi.+k2 b j p. j
i 1 j 1


=k1E +k2 E
性质2可推广：E ( aii ) ai E (i ).
i 1 i 1 n n

i
pi
则a= api E ( )
i=1
bp
i=1

b
2.设二维离散随机变量（，），若E，E存在 则对任意实数k1 ,k 2则有E (k1 +k 2 ) .k1E k 2 E
3.又若，相互独立的，则E 存在， E E E
证明 (2) E (k1 k2 ) (k1ai k2b j )pij
i j i j
ij
，有E g ( , )] g (ai , b j ) pij .
i j
三、数学期望的性质
1. 若a b, 则E 存在，且a E b.特别C是一个 常数，则E (C ) C.
证明
由于a ai b, E ( )

a
i=1 i