2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积学案文

- 1 - 第三节 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

知识点一 平面向量的数量积 1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量____________叫做a与b的数量积，记作a²b，即a²b＝____________. 2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则______(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影． 3．数量积的几何意义：数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积． 答案 1．|a||b|cosθ |a||b|cosθ 2．|a|cosθ 3.|b|cosθ

1．判断正误 (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )

(3)两个向量的夹角的范围是0，π2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)³ - 2 -

2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→²CD→＝( ) A．－32a2 B．－34a2

C.34a2 D.32a2 解析：由菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°得∠BCD＝120°，∠ABD＝30°，在△BCD

中，由余弦定理得BD＝3a，所以BD→²CD→＝BD→²BA→＝3a²acos30°＝3a²a²32＝32a2. 答案：D 3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为________． 解析：b在a方向上的投影为

|b|cos120°＝3³(－12)＝－32.

答案：－32 知识点二 平面向量数量积的运算律与性质 1．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a²b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a²a＝x21＋y21.

(3)夹角：cosθ＝a²b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21²x22＋y22. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a²b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a²b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21²x22＋y22. 2．平面向量数量积的运算律 (1)a²b＝b²a(交换律)． (2)λa²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(结合律)． (3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c(分配律)．

4．判断正误 (1)(a²b)²c＝a²(b²c)．( ) (2)a²b＝a²c(a≠0)，则b＝c.( ) - 3 -

答案：(1)³ (2)³ 5．(必修④P107例6改编)设a＝(3，1)，b＝1，－33，则向量a，b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由题意，得|a|＝3＋1＝2.

|b|＝1＋13＝233，

a²b＝3－33＝233.

设向量a与b的夹角为θ，

则cosθ＝a²b|a||b|＝2332³233＝12. 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. 答案：B 第1课时 平面向量的数量积

热点一 平面向量的数量积运算 【例1】 (1)(2016²天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，

BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→²BC→的值为( )

A．－58 B.18

C.14 D.118

(2)(2017²蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，DE→²DC→的最大值为________．

【解析】 (1)如图，设AC→＝m，AB→＝n，根据已知得，DF→＝34m，所以AF→＝AD→＋DF→＝34m＋12n， - 4 -

BC→＝m－n，AF→²BC→＝(34m＋12n)²(m－n)＝34m2－12n2－14m²n＝34－12－18＝18.

(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，DE→＝(t，－1)，DC→＝(1,0)．所以DE→²DC→＝t≤1.

【答案】 (1)B (2)1 1．在本例题(2)中，试求DE→²CE→的取值范围． 解：由本例题(2)的规范解答知，DE→＝(t，－1)， CE→＝(t－1，－1)，t∈[0,1]，

所以DE→²CE→＝t(t－1)＋1＝t2－t＋1＝t－122＋34， 因为t∈[0,1]，所以34≤DE→²CE→≤1， - 5 -

即DE→²CE→的取值范围为34，1. 2．本例题(2)中，当E是AB的中点时，试求DE→在DC→上的投影． 解：方法1：如图，过点E作EF⊥DC，垂足为F，由投影的定义知，DE→在DC→上的投影是12.

方法2：如图，向量DE→与DC→的夹角是∠EDC， 所以DE→在DC→上的投影是|DE→|cos∠EDC＝1＋14³121＋14＝12. 【总结反思】 求向量数量积的方法 (1)定义法；(2)坐标法；(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.

(1) 已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( ) A.322 B.3152

C．－322 D．－3152 (2)(2017²云南昆明质检)设D为△ABC所在平面内一点，|AB→|＝2，|AC→|＝1，AC→⊥BC→，CD→

＝13BC→，则AD→²CD→＝( ) - 6 -

A．1 B.13 C．－1 D．－13

解析：(1)AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)．由定义知AB→在CD→方向上的投影为AB→²CD→|CD→|＝1552＝322. (2)在△ABC中，因为AC→⊥BC→，所以BC＝AB2－AC2＝3，所以|BC→|＝3，所以AD→²CD→＝(AC→＋CD→)²CD→＝(AC→＋13BC→)²13BC→＝13AC→²BC→＋19BC→2＝0＋19(3)2＝13，故选B. 答案：(1)A (2)B 热点二 平面向量数量积的性质应用 考向1 平面向量的模

【例2】 已知e1，e2是平面单位向量，且e1²e2＝12. 若平面向量b满足b²e1＝b²e2

＝1，则|b|＝________.

【解析】 ∵e1²e2＝12，

∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝60°. 又∵b²e1＝b²e2＝1>0， ∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°. 由b²e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，

∴|b|＝132＝233.

【答案】 233 考向2 平面向量的夹角

【例3】 (2016²新课标全国卷Ⅲ)已知向量BA→＝(12，32)，BC→＝(32，12)，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120° - 7 -

【解析】 由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝BA→²BC→|BA→|²|BC→|＝12³32＋32³121³1＝32，则∠ABC＝30°. 【答案】 A 考向3 平面向量的垂直问题 【例4】 (1)(2016²新课标全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )

A．－8 B．－6 C．6 D．8

(2)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________． 【解析】 (1)由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)²b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.

(2)BC→＝AC→－AB→，由于AP→⊥BC→， 所以AP→²BC→＝0， 即(λAB→＋AC→)²(AC→－AB→) ＝－λAB→2＋AC→2＋(λ－1)AB→²AC→ ＝－9λ＋4＋(λ－1)³3³2³－12

＝0，解得λ＝712. 【答案】 (1)D (2)712 【总结反思】 平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：cosθ＝a²b|a|²|b|，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a²b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： - 8 -

① a2＝a²a＝|a|2或|a|＝a²a. ②|a±b|＝a±b2＝a2±2a²b＋b2. ③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

(1)(2017²云南第一次统测)已知平面向量a＝(3,6)，b＝(x，－1)，如果a∥b，那么|b|＝( )

A.5 B.52 C．3 D.32 (2)(2017²新疆维吾尔自治区检测)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为( )

A.32 B．－32

C．±32 D．1

(3)(2017²湖南郴州第一次质量检测)已知△ABC的外心P满足AP→＝13(AB→＋AC→)，则cosA＝( ) A.12 B.32

C．－13 D.33 解析：(1)由题意，得6x＝－3，则x＝－12， 则|b|＝14＋1＝52，故选B. (2)因为a⊥b，所以a²b＝0. 又(3a＋2b)⊥(λa－b)，

所以(3a＋2b)²(λa－b)＝3λa2－3a²b＋2λa²b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝32. (3)取BC的中点D，连接AD，PD，则

AP→＝AD→＋DP→＝12(AB→＋AC→)＋DP→，