高考数学集合中的创新题型汇总

压轴题高分策略之集合新定义数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题"为核心,以“探究”为途径，以“发现"为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．一、定义新概念创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．【典例1】【2017四川省成都市高三摸底】设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1）T＝｛f（x）｜x ∈S};（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2），那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构"的是（) A．A＝N＊，B＝N B．A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝｛x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝｛x｜0＜x＜1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q【答案】D【典例2】【2017届宁夏银川一中高三月考理科数学】已知集合M=｛}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}; ②M=｛｝；③M=｛｝；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上,任意，不存在，不满足垂直对点集的定义;在另一支上对任意,不存在,所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集"的定义,所以正确;对于③中，取点,曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集"的定义；对于④中,如下图中直角始终存在，对于任意，存在,使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点拨】本题主要考查了“垂直度点集"的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在,使得成立,是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．【典例3】【2017重庆市第八中学高三月考】定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论: ①集合A＝｛－4,－2，0，2,4｝为闭集合；②集合A＝｛n｜n＝3k,k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．【答案】②【审题指导】（1）准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．（2)方法选取：对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求,“照章办事"，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 2 集合中的创新性问题 理训练目标 (1)有关集合知识的深化提高；(2)转化和化归思想的应用. 训练题型 与集合有关的新定义问题.解题策略 (1)紧扣新定义，将题中信息转化为集合语言；(2)借助于验证法、特例法求解. 为________．2．定义集合A 与B 的运算：A ⊙B ＝{x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}．则(A ⊙B )⊙B 为________．3．(2015·山东文登上学期第一次考试)对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn .则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数为________． 4．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：当且仅当a ＝c ，b ＝d 时(a ，b )＝(c ，d )，运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“D ○＋”为：(a ，b )D ○＋(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )，设p ，q ∈R ，若(1,2)D ○＋(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊗(p ，q )＝________. 5．定义集合运算A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和是________．6．(2015·广东珠海上学期期末)已知集合S ＝{P |P ＝(x 1，x 2)，x i ∈{0,1}，i ＝1,2}，对于A ＝(a 1，a 2)，B ＝(b 1，b 2)∈S ，定义A 与B 的差为A －B ＝(|a 1－b 1|，|a 2－b 2|)，定义A 与B 之间的距离为d (A ，B )＝|a 1－b 1|＋|a 2－b 2|.∀A ，B ，C ∈S ，则①d (A ，C )＋d (B ，C )＝d (A ，B )；②d (A ，C )＋d (B ，C )>d (A ，B )；③d (A －C ，B －C )＝d (A ，B )；④d (A －C ，B －C )>d (A ，B )． 上述结论中一定成立的是________．7．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A ≥C B ，CB －C A ，C A <C B .若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝________.9．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.10．定义A *B ＝{x |x ＝x 1＋2x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}．则A ∩(A *B )∪B ＝________.11．A ，B 是非空集合，若a ∈A ，b ∈B ，且满足|a －b |∈A ∪B ，则称a ，b 是集合A ，B 的一对“基因元”．若A ＝{2,3,5,9}，B ＝{1,3,6,8}，则集合A ，B 的“基因元”的对数是________． 12．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4,0≤q <s ≤4,0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4,0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝________.13．(2015·江西省师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)设集合M ＝{(x ，y )|F (x ，y )＝0}为平面坐标系xOy 内的点集，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2<0，则称点集M 满足性质P .给出下列四个点集：①R ＝{(x ，y )|sin x －y ＋1＝0}；②S ＝{(x ，y )|ln x －y ＝0}；③T ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－1＝0}；④W ＝{(x ，y )|xy －1＝0}．其中所有满足性质P 的点集的序号是________．14．(2015·安徽江淮名校第二次联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，存在实数对(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“孪生对点集”．给出下列五个集合： ①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝sin x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}； ⑤M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中不是“孪生对点集”的序号是________．答案解析1．10解析 (直接法)因为A ＝{1,2,3,4,5}，所以集合A 中的元素都为正数，若x －y ∈A ，则必有x －y >0，x >y .当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，共有4个数； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，共有3个数； 当y ＝3时，x 可取4,5，共有2个数； 当y ＝4时，x 只能取5，共有1个数； 当y ＝5时，x 不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x ，y )的个数为4＋3＋2＋1＝10. 2．{1,2,3,4}解析 由新定义得A ⊙B ＝{1,2,5,6,7}，则(A ⊙B )⊙B ＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}． 3．17解析 若a ，b 同为正奇数或同为正偶数，则有16＝1＋15＝2＋14＝3＋13＝4＋12＝5＋11＝6＋10＝7＋9＝8＋8，除了最后一对，前面的每一对都可以交换，共有15种情况；若a ，b 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，则16＝1×16＝16×1，共2种情况．综上，一共有17种情况，即M 中的元素个数为17. 4．(2,0)解析 由(1,2)D ○＋(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊗(p ，q )＝(1,2)⊗(1，－2)＝(2,0)． 5．6解 当x ＝1或2，y ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝2；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4. 所以A *B ＝{0,2,4}，所有元素之和为0＋2＋4＝6. 6．③解析 设A ＝(a 1，a 2)，B ＝(b 1，b 2)，C ＝(c 1，c 2)，则d (A ，B )＝|a 1－b 1|＋|a 2－b 2|，d (A ，C )＝|a 1－c 1|＋|a 2－c 2|，d (B ，C )＝|b 1－c 1|＋|b 2－c 2|，d (A －C ，B －C )＝||a 1－c 1|－|b 1－c 1||＋||a 2－c 2|－|b 2－c 2||.对于①②，当A ＝B ＝C 时，显然d (A ，C )＋d (B ，C )＝d (A ，B )＝0，当A ＝B ＝(1,1)，C ＝(0,0)时，d (A ，C )＋d (B ，C )＝4，而d (A ，B )＝0，因此d (A ，C )＋d (B ，C )>d (A ，B )，故①②均不一定成立．对于③④，若a 1＝b 1，则|a 1－b 1|＝0且||a 1－c 1|－|b 1－c 1||＝0；若a 1≠b 1，由a 1，b 1，c 1∈{0,1}，得|a 1－b 1|＝1，且|a 1－c 1|和|b 1－c 1|必有一个为1，另一个为0，即||a1－c1|－|b1－c1||＝1.综上|a1－b1|＝||a1－c1|－|b1－c1||，同理|a2－b2|＝||a2－c2|－|b2－c2||，所以d(A－C，B－C)＝d(A，B)．故③一定成立．7．3解析因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±22时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－22或a>22时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a<22时，方程x2＋ax＋2＝0无实数解，当a＝0时，B＝{0}，C(B)＝1，符合题意，当－22<a<0或0<a<22时，C(B)＝2，不符合题意．所以S＝{0，－22，22}．故C(S)＝3.8．{x|0<x≤1}解析由log2x<1得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}．由|x－2|<1得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．依题意得P－Q＝{x|0<x≤1}．9．{0,6}解析由题意可知，－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3，而当x＝0时，不符合元素的互异性，舍去；当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．10．{1,2,3}解析A∩(A*B)∪B＝{1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．11．13解析由题意知，2,1；2,3；2,8；3,1；3,6；3,8；5,3；5,6；5,8；9,1；9,3；9,6；9,8都是A，B的“基因元”，共13对．12．200解析对于集合E，当s＝4时，p，q，r都可取0,1,2,3中的一个，有43＝64种；当s＝3时，p，q，r都可取0,1,2中的一个，有33＝27种；当s＝2时，p，q，r都可取0,1中的一个，有23＝8种；当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100. 对于集合F，当t＝0时，u可取1,2,3,4中的一个，有4种；当t＝1时，u取2,3,4中的一个，有3种；当t＝2时，u可取3,4中的一个，有2种；当t＝3时，u可取4，有1种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200.13．③④解析对于①，R＝{(x，y)|sin x－y＋1＝0}，y＝sin x＋1，定义域是R.对于任意(x1，y1)∈M，不妨取(0,1)，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，①中点集R不满足性质P.对于②，S＝{(x，y)|ln x－y＝0}，y＝ln x的定义域是{x|x>0}．对于任意(x1，y1)∈M，不妨取(1,0)，不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2<0，②中点集S 不满足性质P .对于③，T ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－1＝0}，图形是圆．对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，x 2与x 1符号相反，即可使得x 1x 2＋y 1y 2<0，③中点集T 满足性质P .对于④，W ＝{(x ，y )|xy －1＝0}，图形是双曲线．对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，x 2与x 1符号相反，即可使得x 1x 2＋y 1y 2<0，④中点集W 满足性质P .∴满足性质P 的点集的序号为③④. 14．①⑤解析 对于①，∵y ＝1x ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0可化为x 1x 2＋1x 1x 2＝0，∴(x 1x 2)2＋1＝0，故不存在；对于②，x 1x 2＋y 1y 2＝0可转换成y 1y 2x 1x 2＝－1，数形结合显然成立；对于③，集合M 中含有元素(0,0)，故x 1·0＋y 1·0＝0恒成立；对于④，数形结合可知，显然成立；对于⑤，采用特殊值，取点(x 1，y 1)＝(1,0)，若x 1x 2＋y 1y 2＝0恒成立，则x 2＝0，由函数定义，x 2>0，故不是“孪生对点集”．。

根据 Ａ 中 ， Ｙ 的不 同取 值 情 况 加 以分 类 讨 论 ， 确 定集 合 中的 元 素 的 异 同 来处 理 。 注 意 要做 到 不 重 复不 遗漏 。 解析 由题意 可知 ， Ａ＝｛ （ ｘ ， ｙ ） Ｉ ｘ ＋ ｙ ２ ≤１ ， ， ｙ
３这 四个数 任取 一个 ， 因而 ｃ ａ ｒ ｄ （ Ｅ ） ＝ ４ Ｘ ４ Ｘ ４＝ ６ ４ ； 当Ｓ ＝ ３时 ， Ｐ ， ｑ ， ｒ 可 以从 ０ ， １ ， ２这 三 个 数任 取
故 ｃ ａ ｒ ｄ （ Ｅ）＝６ ４＋ ２ ７＋８＋１＝１ ０ ０；
为： 一 ３ ， 一 ２ ， 一１ ， ０ ， １ ， ２ ， ３ ， Ｙ ＋ ｙ ２ 的 可 能取 值 为 ：
对于 Ｆ， 先 处 理前 面两个 （ ￡ ， “ ） ， 当 “＝４时 ， ｔ 可
一
２ ， 一 １ ， ０ ， １ ， ２ ， 此 时集 合 Ａ ０ 中元 素 的个 数 为 ７
１ ， ０ ， １ ， ２ ， ３ ， 此 时和 （ １ ） 中除 Ｙ １ ＋ 的取 值 一３ ， ３
外均 相 同 ， 则集 合 Ａ ０口中与 （ １ ） 相 异的元 素 的个 数 为５ Ｘ ２＝ １ ０ 个；
（ ３ ） 当 ＝ ０ ， ｙ 。 ＝ ０时 ， ＋ 的 可 能取 值 为 ：
∈ Ｚ｝＝ ｛ （一 １ ， ０ ） ， （ １ ， ０ ） ， （ ０ ， ０ ） ， （ ０ ， 一１ ） ，
（ ０ ， １ ） ｝ ，
由新 定义 集合 Ａ ｏ日可知 ：
因而 ｃ ａ ｒ ｄ （ Ｅ）＝１ Ｘ１ Ｘ１＝１ ；
（ １ ） 当 １ ＝ ±１ ， Ｙ １ ＝ ０时 ， １ ＋ ２ 的 可 能 取 值
繁琐 ， 容 易 出现 遗 漏或 重 复 而 导 致 错 误 ， 正 确 有 效 地 分 类是解 决 问题 的关键 。

学符号的相互转化 ， 数学 知识 与数 学思维能力的转化． 三是把集
群 的 定 义 为背 景 命 题 ．考 查 学 生 阅读 与理 解 、 分 析 与 运 用 能 力 等． 类 考题 构 思 精 巧 、 此 背景 公 平 、 境 新 颖 ， 能 有 效 考 查 学 生 情 是 创 新 能 力和 进 一 步 学 习 高等 数 学 潜质 的好 题 ．
析 处 理 信 息 一 转 化 为 数学 问题 一获 得 原 问 题答 案 ．
参考文献 ：
解析 ： １记所取 出的非空子集满足性 质ｒ （） 为事件Ａ， 则基本 事件 总 数ｎ ｃ ＋ ： Ｃ ＋ ： Ｃ ＝ １ ＝ ｃ ＋ ；ｃ ＋ ｉ３ ，事 件Ａ包 含 的基 本事 件 是 ｛， ，ｌ｛， ，）｛， ， ，｝事件Ａ １４ ５、２３ ５ 、１２ ３ ４， 包含 的基 本事件数ｍ ３ 所 以 ＝，
３１
３１
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３１
４王 怀 民 ， 章 慧 ． 道 以二 进 制 为 背景 的 高考 试 题 ［］中 ． 方 一 Ｊ．
高版 ７ 《 薯黧曩 中 中。 ： 豳露簟 善・ ７
学 ，０ ０ ｌ ． ２ １ ，１ ３ ．赵 思 林 ．潘超 ．一 道 以 群的 定 义 为 背景 的 高考 试 题 赏析
故 的分布列为 ：
１ Ｐ ５
＿＿ — —
２ １ Ｏ
— —
３ １ ０
＿— —
４ ５
１— — １ —
５ ｌ
—
［ ］中学数 学 ，０ ８４ Ｊ． ２ ０ ，．
Ａ） ：３ ： 一
．
ｎ ３１
（） ２ 依题意 ，的所有可能取值为１ ２ ３４ ５ ，， ， ，．