积分变换课后答案

1-1

1． 试证：若ft满足Fourier积分定理中的条件，则有

dd00cossinftatbt

其中ddππ11cos,sin.afbf

分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.

证明：利用Fourier积分的复数形式，有

jjeedπ12ttftf

jjdedπ11cossin2tf

jjd1cossin2abtt

由于,,aabb所以

dd11cossin22ftatbt

dd00cossinatbt

2．求下列函数的Fourier积分：

1）2221,10,1ttftt; 2) 0,0;esin2,0ttfttt

3) 0,11,101,010,1ttfttt

分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.

解：1）函数2221,10,1ttftt为连续的偶函数，其Fourier变换为

j21()[()]()ed2()cosd2(1)cosd00tFftfttfttttttF

122330sin2cos2sinsin4(sincos)2tttttt(偶函数)

f(t)的Fourier积分为

j311()()ed()cosd02ππ4(sincos)cosd0πtftFFtt

2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为

jjω()()edesin2ed0tttFftfttttF

2j2jj(12jj)(12jj)ee1eed[ee]d02j2j0tttttttt

(12jj)(12jj)01ee2j12jj12jjtt

224252jj1121(2)j1(2)j256（实部为偶函数，虚数为奇函数）

f (t)的Fourier变换为

j1()ed2πtftF

224252j1cosjsind2π256tt

2224242245cos2sin5sin2cos11ddπ256π2565cos2sin2dπ0256tttttt

这里用到奇偶函数的积分性质.

3）所给函数有间断点-1，0，1且f(-t)= - f(t)是奇函数，其Fourier变换为

j()()ed2j()sind0tFftfttftttF

12j(cos1)2j1sind0tt（奇函数）

f(t)的Fourier积分为

jj()edsindπ0π021cossindπ0tftFFtt1=2

其中t-1，0，1（在间断点0t处，右边f(t)应以00002ftft代替）.

3．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：

1）e(0),tft证明：22cosπde;02tt

2）()ecostftt，证明：242πcosdecos;042ttt

3）sin,π()0,πttftt，证明：2πsin,πsinπsin2d010,πtttt

证明：1）函数etft为连续的偶函数，其Fourier变换为

jeed2ecosd0tttFfttttF

22220ecossin22ttttt

再由Fourier变换得

j22112edcosd2ππ0tftFtt

即

22cosπde02tt

2）函数ecostftt为连续的偶函数，其Fourier变换为

jj()edecosedtttFftttt

jjjeeeed2ttttt

(1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001edededed200tttttttt (1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001eeee21jj1jj1jj01jj0tttt

2411111221jj1jj1jj1jj4

再由Fourier变换公式得

2j41112()edcosdcosd2ππ0π04tftFFtt

即 242πcosdecos042ttt

3）给出的函数为奇函数，其Fourier变换为

ππjjππedsinedsincosjsindttFftttttttt

ππ002jsinsindjcos1cos1dtttttt

2sin1πsin1πsinsin2jsinjj1010111tt

-1j2112jsinπedcosjsind2π2π1tFFttF

20sin,π2sinπsindπ10,πtttt

故

20πsin,πsinπsin2d10,πtttt

4.求函数e0,0tftt的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.

解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有

002sindsindπfttf

002sindsindπett

220sincos2sindπ0ett

2202sind.πt

根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有

002cosdcosdπfttf

002cosdcosdπett

220sincos2cosdπ0ett

2202cosd.πt

1-2

1．求矩形脉冲函数,0()0,Atft其他的Fourier变换.

解：

jjjj01ee()()()eded0jjttttAFftfttAtAF

2.设F是函数ft的Fourier变换，证明F与ft有相同的奇偶性.

证明：F与ft是一个Fourier变换对，即

jedtFftt，j1ed2πtftF

如果F为奇函数，即FF，则

jj11eded2π2πttftFF

（令u）j1ed2πutFuu

（换积分变量u为）j1ed2πtFft

所以ft亦为奇函数.

如果ft为奇函数，即ftft，则

jjededttFfttftt

（令tu）jedufuu

（换积分变量u为t）jedtfttF

所以F亦为奇函数.

同理可证ft与F同为偶函数.

4．求函数e0tftt的Fourier正弦变换，并推证

20012sinπde

解：由Fourier正弦变换公式，有

()ssFftF0sinftttd0sinttted

2sincos10ttte21

由Fourier正弦逆变换公式，有

120022sin()()sin1ssstftFFtFddππ

由此，当0t时，可得

20sinππde0122f

5．设()ftFF，试证明：