复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2

习题二1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=，表示椭圆.2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ϕρ=或i w u v =+.（1）π02,4r θ<<=； （2）π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=，则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) 21lim 1z z →∞+; 解：令1z t=,则,0z t →∞→. 于是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z→; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在.（3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.（4） 2122lim 1z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.4. 讨论下列函数的连续性： (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 解：因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在. 从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续. (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩ 解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++. 解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导.从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-. 解：f (z )除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++. 解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z ++--+--+++=====+++. 所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z+'=-.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) 22()i f z xy x y =+; 解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(2) 22()i f z x y =+.解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(3) 33()23i f z x y =+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时，才满足C-R 方程.从而f (z )0=处可导，在全平面不解析. (4) 2()f z z z =⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程.从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ()0f z '=;证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数.(2) ()f z 解析. 证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数，所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.(3) Re f (z )=常数.证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析，C-R 条件成立。

故0u u x y∂∂==∂∂即u =C 2 从而f (z )为常数.(4) Im f (z )=常数.证明：与（3）类似，由v =C 1得0v v x y ∂∂==∂∂ 因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y∂∂==∂∂,即u =C 2 所以f (z )为常数.5. |f (z )|=常数.证明：因为|f (z )|=C ，对C 进行讨论.若C =0，则u =0,v =0,f (z )=0为常数.若C ≠0，则f (z ) ≠0,但2()()f z f z C ⋅=，即u 2+v 2=C 2则两边对x ,y 分别求偏导数，有220,220u v u v u v u v x x y y∂∂∂∂⋅+⋅=⋅+⋅=∂∂∂∂ 利用C-R 条件，由于f (z )在D 内解析，有u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以00u v u v x x u v v u x x ∂∂⎧⋅+⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩ 所以0,0u v x x∂∂==∂∂ 即u =C 1,v =C 2,于是f (z )为常数.(6) arg f (z )=常数.证明：arg f (z )=常数，即arctan v C u ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 于是222222222()()(/)01(/)()()v u v u u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ∂∂∂∂-⋅⋅-⋅'∂∂∂∂===+++ 得00v u u v x x v u u v y y ∂∂⎧⋅-⋅=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ∂∂⎧⋅-⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅+⋅=⎪∂∂⎩ 解得0u v u v x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，即u ,v 为常数，于是f (z )为常数.8. 设f (z )=my 3+nx 2y +i(x 3+lxy 2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值. 解：因为f (z )解析，从而满足C-R 条件.222,3u u nxy my nx x y∂∂==+∂∂ 223,2v v x ly lxy xy∂∂=+=∂∂ u v n l x y ∂∂=⇒=∂∂3,3u v n l m y x∂∂=-⇒=-=-∂∂ 所以3,3,1n l m =-=-=.9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.(1) f (z )=x 3+3x 2y i-3xy 2-y 3i证明：u (x,y )=x 3-3xy 2, v (x ,y )=3x 2y -y 3在全平面可微,且222233,6,6,33u u v v x y xy xy x y x y x y∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂ 所以f (z )在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.22222()i 336i 3(2i)3u v f z x y xy x y xy z x x∂∂'=+=-+=-+=∂∂. (2) ()e (cos sin )ie (cos sin )x x f z x y y y y y x y =-++.证明：(,)e (cos sin ),(,)=e (cos sin )x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且 e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u x y y y y x y y y y x∂=-+=-+∂ e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u x y y y y x y y y y y∂=---=---∂ e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v y y x y y y y x y y x∂=++=++∂ e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v y y y x y y y y x y y∂=+-+=-+∂ 所以u v x y ∂∂=∂∂, u v y x∂∂=-∂∂ 所以f (z )处处可导，处处解析.()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)x x x x x x x x z z z z u v f z x y y y y y y x y y x xy y x y y y y y x y z ∂∂'=+=-++++∂∂=+++++=++=+10. 设()()333322i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ⎧-++≠⎪=+⎨⎪=⎩求证：(1) f (z )在z =0处连续．(2)f (z )在z =0处满足柯西—黎曼方程．(3)f ′(0)不存在．证明.(1)∵()()()()0,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=+而()()()()()3322,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+∵()3322221x y xy x y x y x y -⎛⎫=-⋅+ ⎪++⎝⎭∴3322302x y x y x y --+≤≤ ∴()()3322,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()3322,0,0lim 0x y x y x y →+=+ ∴()()()(),0,0lim 00x y f z f →==∴f (z )在z =0处连续．(2)考察极限()0()0limz f z f z→- 当z 沿虚轴趋向于零时，z =iy ，有()()()3200111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--⎡⎤-=⋅=+⎣⎦． 当z 沿实轴趋向于零时，z =x ，有()()[]01lim01i x f x f x→-=+ 它们分别为i ,i u v v u x x y y ∂∂∂∂+⋅-∂∂∂∂ ∴,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ∴满足C-R 条件．(3)当z 沿y =x 趋向于零时，有()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1ix y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++ ∴0lim z f z→∆∆不存在．即f (z )在z =0处不可导．11. 设区域D 位于上半平面，D 1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()()F z f z =在区域D 1内解析．证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )，因为f (z )在区域D 内解析．所以u (x ,y ),v (x ,y )在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． ()()()()(),iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ϕψ=---=+，得(),u x y x xϕ∂-∂=∂∂ ()(),,u x y u x y y y y ϕ∂-∂-∂==-∂∂∂ (),v x y x xψ-∂-∂=∂∂ ()(),,v x y v x y y y y ψ∂-∂-∂=+=∂∂∂ 故φ(x ,y ),ψ(x ,y )在D 1内可微且满足C-R 条件,x y y x ϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 从而()f z 在D 1内解析13. 计算下列各值(1) e 2+i =e 2∙e i =e 2∙(cos1+isin1)(2)22π22i 33333ππ1e e e e cos isin e 332iπ--⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (3)()()2222222222i i 222222Re e Re e e Re e cos isin e cos x yx y x yx y x y x x y x x y y y x y x y y x y -+-++++=⋅⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⋅-+-⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭(4)()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x-+-+---=⋅=⋅=14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f (z )=z +e z 的极限． 解：令z =r e i θ，对于∀θ，z →∞时，r →∞．故()()()i i e i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θθθθθ→∞→+∞+=+=∞． 所以()lim z f z →∞=∞．15. 计算下列各值．(1)()()3ln 23i iarg 23i i πarctan 2⎛⎫-+-+=- ⎪⎝⎭(2)()()ππln 3ln iarg 3ln i ln i 66⎛⎫==-= ⎪⎝⎭(3)ln(e i )=ln1+iarg(e i )=ln1+i=i(4)()()πln ie ln e iarg ie 1i 2=+=+16. 试讨论函数f (z )=|z |+ln z 的连续性与可导性．解：显然g (z )=|z |在复平面上连续，ln z 除负实轴及原点外处处连续． 设z =x +i y，()()()||,i ,g z z u x y v x y =+()(),,0u x y v x y ==在复平面内可微．()1222122u u x y x x y -∂∂=+⋅==∂∂00v v x y∂∂==∂∂ 故g (z )=|z |在复平面上处处不可导．从而f (x )=|z |+ln z 在复平面上处处不可导．f (z )在复平面除原点及负实轴外处处连续．17. 计算下列各值．(1) ()()()()()1i π1i i 2πi 1i ln 1i 1i ln 1i 4ππi 2π44π2π4π2π41i e e e ππe i 2π44ee ππe cos isin 44ππe cos isin 44k k k k k -⎛⎫-⋅+ ⎪-+-⋅+⎝⎭⎛-+ ⎝+++====+-++=⋅⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ (2)(()())()()(()()(5ln 33ln 3i π2πi 3π233e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+⋅++-=====++=++ (3)()()i i ln1iln1i ln1i 02πi i 2πi 2π1e e e e e k k k ----⋅+⋅+-⋅=====()()()1i1iln1i lnππ1i ln1i2πi1i2πi i44ππππi2π2πi i2π2π4444π2π4π2π4e ee ee e eππe cos isin44()4ek kkk k kkk+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+-++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭--======⋅⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎫=⋅⎪⎭18. 计算下列各值(1)()()()()iπ5i iπ5i iπ5iπ5555555e e e ecosπ5i22e e1e e e ech5222+-+--+---+++==-+---+===-=-(2)()()()()()i15i i15i i5i5555555e e e esin15i2i2ie cos1isin1e cos1isin12ie e e esin1i cos122---+--------==+-⋅-=++=⋅-⋅(3)()()()()()()()()i3i i3ii3i i3i22e esin3i sin6isin22itan3icos3i e e2ch1sin32i----------===-+-(4) ()()()222i i2222222222221sin e e sin ch i cos sh2isin ch cos shsin ch sh cos sin shsin shy x y xz x y x yx y x yx y y x x yx y-+-=⋅-=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-++⋅=+(5)(())()arcsin i i ln i i ln1i ln1i2π0,1,i ln1iπ2πkkk=-+=-⎧⎡⎤-+⎣⎦⎪==±⎨⎡⎤⎪-++⎣⎦⎩L (6)()()()i1i12i i21 arctan12i ln ln i21i12i2551iπarctan2ln524k++⎛⎫+=-=-⋅-+⎪-+⎝⎭=++⋅19. 求解下列方程(1) sin z=2．解：()(((1arcsin 2ln 2i ln 2i i1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ⎡⎤==±=-±⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-±++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+±+=± ⎪⎝⎭L(2)e 10z -=解：e 1z =即()πln 1ln 2i2πi 31ln 22πi 3z k k =+=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (3)πln i 2z = 解：πln i 2z = 即πi 2e i z == (4)()ln 1i 0z -+= 解：()π1ln 1i i 2πi 2πi 44z k k ⎛⎫-+=⋅+=+ ⎪⎝⎭．20. 若z =x +i y ，求证(1) sin z =sin x ch y +icos x ∙sh y 证明：()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i1.e e 2isin ch i cos .sh x y x y iz z y x y x z x y x y+-+⋅--+---===-=⋅+ (2)cos z =cos x ∙ch y -isin x ∙sh y 证明：()()()()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 221e e 21e cos isin e .cos isin 2e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y-+-+-+----+==⋅+=+=⋅++-⎡⎤+-+=-⎢⎥⎣⎦=- (3)|sin z |2=sin 2x +sh 2y 证明：()i i 1sin e e sin ch icos sh 2iy x y x z x y x y -+-=-=⋅+⋅()()2222222222222sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y x y y x x y x y =+=-++=+(4)|cos z |2=cos 2x +sh 2y证明：cos cos ch isin sh z x y x y =- ()()2222222222222cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y x y y x x y x y=+=-++=+21. 证明当y →∞时，|sin(x +i y )|和|cos(x +i y )|都趋于无穷大． 证明：()()i i i i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=-=⋅- ∴i i i i 1sin e 2e e e e y x y x y x y y x yz e -+--+--=⋅-== 而()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥当y →+∞时，e -y →0，e y →+∞有|sin z |→∞．当y →-∞时，e -y →+∞，e y →0有|sin z |→∞． 同理得()()i i11cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当y →∞时有|cos z |→∞．。