作业31-平面向量坐标运算(答案)

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知向量_________.【答案】10【解析】所以答案应填：10.【考点】1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.2.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，,所以，故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.3.在△ABC中，D为边BC上任意一点，＝λ＋μ，则λμ的最大值为( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】依题意得，λ＋μ＝1，λμ＝λ(1－λ)≤2＝，当且仅当λ＝1－λ，即λ＝时取等号，因此λμ的最大值是，选D.4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A．=2--B．=++C．++=0D．+++=0【答案】C【解析】++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.5.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为()A．-B．C．-D．【答案】D【解析】=(2,5),由p∥得5(2k-1)-2×7=0,所以k=.6.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.7.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.【答案】(1) (0,6 (2) (3)k=-.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.8.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.9.设向量，若，则实数的值为 .【答案】【解析】根据向量平行的坐标表示，由得，，解得.【考点】向量平行的坐标表示.10.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则B．C．对任意的，有D．【答案】B【解析】根据题意可知，对于任意的，，令，则可知对于A.若与共线，则成立，对于 B.显然不相等，故错误，对于C.对任意的，有，验证成立，对于D. 同样满足向量的数量积运算，故选B.【考点】新定义点评：主要是考查了向量的计算，属于基础题。

第5课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ.能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa=.即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)=,得即两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b≠0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b 共线.若x2≠0,且y2≠0(也可写作x2y2≠0),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=().A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=.4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b.(2)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB∥CD,求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A.(5,12)B.(12,5)C.(2,1)D.(1,2)2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().A.(,-)B.(,-)C.(-,)D.(-,)3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.(2013年·陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于().A.-B.C.-或D.0考题变式(我来改编):答案第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直问题2:有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y)问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(λx,λy)(4)(x1-x2,y1-y2)问题4:a=λb(λx2,λy2)λx2λy2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.A a=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).3.2∵λa+b=(λ+2,2λ+3)与c=(-4,-7)共线,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得λ=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2 a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),∵∠AOx=45°,∴a1=|a|cos 45°=4×=2,a2=|a|sin 45°=4×=2,∴a=(2,2)=,∴A点的坐标为(2,2).将b的起点平移至原点,令b的终点为B',由题意可知∠B'Ox=120°,所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,b2=|b|sin 120°=3×=,∴b=(-,).又∵b==-,∴=b+=(2-,2+).故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知,x=|a|cos θ,y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),∵=,=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有和解得和∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.探究三:【解析】∵AB∥CD,∴∥,又∵=(x2,x+3),=(2x,x+1),∴x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足,反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,∥时,AB与CD可能平行也可能重合.于是,正确解答如下:=(x2,x+3),=(2x,x+1),∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∴与平行且反向.于是解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一:设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1)如图,因为∠POP'=45°,||=2,所以a==+=i+j,所以a=(,).(2)因为∠QOQ'=60°,||=3,所以b==+=-i+j,所以b=(-,).(3)因为∠ROR'=30°,||=4,所以c==+=2i-2j,所以c=(2,-2).应用二:A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),∴+2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵(ka+b)∥(a-3b),∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(--3,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).∴k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴解得∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).∵λ=-<0,∴它们的方向相反.∴k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.基础智能检测1.D设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),∴解得2.A=(3,-4),所以||=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.(3,4)如图,建立直角坐标系,有A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),即=(1,0),=(0,1),=(1,1),则有2+3+=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).4.解:设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C因为a=(1,m),b=(m,2),且a∥b,所以1·2=m·m⇒m=±,所以选C.思维导图构建xi+yj (x,y)(x1±x2,y1±y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)x1y2=x2y1。