北邮概率论讲议 第10讲

概率论与数理统计课后答案 北邮版

(第三章)(总18页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

1 0 131113C2228 23111C3/8222 0

3 18 0 0 11112228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

0 0 0 223247CC3C35 313247CC2C35

1 0 11232247CCC6C35 21132247CCC12C35 313247CC2C35

2 P(0黑,2红,2白)=

2242271CC/C35 12132247CCC6C35 223247CC3C35 0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx

求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率.

【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式

ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFF

ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4 X

Y

X

Y 3

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

最新小中高资料 可编辑修改

最新小中高资料 可编辑修改 1 第四节 随机事件的概率

[考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．

1．概率

(1)定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，有0≤P(A)≤1.

(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

2．互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．

(2)对立事件：在每一次试验中，两个事件不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和A称为对立事件．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)互斥事件的概率加法公式：

①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．

②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．

(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．

最新小中高资料 可编辑修改

最新小中高资料 可编辑修改 2 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )

(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )

(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

第六节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．

(1)均值

EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．

(2)方差

DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aEX＋b．

(2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

均值 方差

变量X服从两点分布 EX＝p DX＝p(1－p)

X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p)

4.正态分布

(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．

(2)正态分布密度函数的性质：

①函数图像关于直线x＝μ对称； ②σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；

③p(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；

p(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；

p(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.

[常用结论]

1．均值与方差的关系：DX＝EX2－E2X.

2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝nMN.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( )

(2)若X～N(μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差． ( )

(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量． ( )

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )

.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第九节 离散型随机变量的均值与方差

[考纲 ] 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

1．离散型随机变量的均值与方差

假设离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．

(1)均值：X的均值也称作X的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX，即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr.均值刻画的是X取值的“中心位置〞．

(2)方差

DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aEX＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．

3．假设X～B(n，p)，那么EX＝np，DX＝np(1－p)．

1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)

(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，那么偏离均值的平均程度越小. ( )

(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运发动罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2．(教材改编)X的分布列为 .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 X －1 0 1

P 12 13 16

设Y＝2X＋3，那么EY的值为(

)

A.73 B．4

C．－1 D．1

A [EX＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，

那么EY＝2EX＋3＝3－23＝73.]

3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k＝2,4,6,8,10)，那么Dξ等于( )