概率论第5讲

大学文科数学（）第5章 概率论初步第5讲离散型随机变量主讲教师 |引 言生活有很多随机变量地例子,例如:•对某产品进行抽样时不合格品地个数;•某城市3月1日至6月1日期间所查地酒驾数;•首都机场候机室某一天地旅客数量;•对N件产品进行检验时不合格品地个数等.它们有一个同点,即随机变量地取值为有限个或可列个,这样地随机变量称为离散型随机变量．￿本节主要讨论如何描述这类随机变量,并给出常见地类型。

本节内容01 离散型随机变量及其分布02 常用地离散型随机变量Ὅ 定义5.12若随机变量所有可能地取值为有限个或者可列个,则称这样地随机变量为离散型随机变量．下列随机变量哪些是离散型,哪些不是离散型思 考地？（1）某电视闯关节目地过关数;（2）某工厂加工一批钢管地外径与规定地外径尺寸之差;发 现对于（1）与（3）,随机变量地取值均为有限个值,它们是离散型随机变量;对于（2）与（4）,随机变量地取值不是有限个值或者可列个值,而是某个范围,故它们不是离散型随机变量。

（这种类型地随机变量将在下一节介绍）问 题:如何描述离散型随机变量地统计规律呢？（4）长江某水位监测站所测水位在(0,29]地范围内变化,该监测站在一年内所测地水位数据．一般来说,如果知道了离散型随机变量地取值及相应地概率,也就把握了随机变量地统计规律．Ὅ 定义5.13设为离散型随机变量,所有可能地取值为,称为随机变量地概率分布,也称为分布律或分布列．￿￿概率分布也可以用以下形式表示:…………或者记为以下形式:所有可能取值取得相应值地概率分布律￿:￿￿￿离散型随机变量分布地性质由概率地性质可知,任意一个离散型随机变量地概率分布都具有以下两个基本性质.（1）非负性:.（2）正则性:前面已学,可以用分布函数来表示随机变量地统计规律,这里又用分布律来描述离散型随机变量地统计规律,它们即:分布函数是分布律在一定范围内地累积．离散型随机变量落在任何一个范围内地概率,均可以用累积概率地形式表示,即若离散型随机变量地分布律为,则地分布函数为Ὅ 例1解￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿已知盒有10件产品,其8件正品,2件次品.￿现不放回地从抽取产品检验,每次取1件,直到取出2件正品为止.￿设为抽取地次数,求:（1）地分布律;（2）地分布函数;（3）概率￿.￿￿￿（1）容易知道,￿￿地可能取值为￿2,￿3,￿4.234因此,地分布律为P（2）当时,当时,当时,当时,综上所述,地分布函数为（3）注解由本例可知,对于离散型随机变量,虽然也可以运用分布函数描述其统计规律,但是分布律使用起来更为简便。

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲 全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大 知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

常常表示为：
1 2 0 X ~ 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布.
例3. 某射手连续向一目标射击，直到命中为 止，已知他每发命中的概率是 p，求所需射击 发数X 的概率分布. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
k!
e ,

其 中 np， k n .
பைடு நூலகம்
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件。如：地震、火山爆发、特 大洪水、意外事故等。
由泊松定理，n次伯努利试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布。
例12：某出租汽车公司共有出租车400辆，设每 天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天 内没有出租车出现故障的概率。 解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一 次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车 无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就 是做 400 次伯努利试验。设 X 表示一天内出现 故障的出租车数, 则 X ∼ B(400, 0.02)。 令 = np = 400×0.02 = 8 ，于是, P{一天内没有出租车出现故障} = P{X=0} = b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 = 0.0003355.
概率论与数理统计 第 五 讲
教师：王大荣 北京工业大学实验学院 基础部数学办公室2-305
§2.2
离散型随机变量
2.2.1 离散型随机变量的概率分布
定义1 ：设离散型随机变量 X 所有可能取 的值为 x1 , x 2 , , 且有
P ( X x k ) p k , k 1, 2 , 。

为．
P Xn a(n )
大数定律的定义
定义5.2
设 X 1 , X 2 , , X n ,是 随 机 变 量 序 列 ,令 1 n Yn X i n i 1 如果存在一个常数序列 a1 , a 2 , , a n , , 对任意的 0, 恒 有 l i mP {| Yn a n | } 0
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数 .
定理5.2的另一种叙述:
设 随 机 变 量X 1 , X 2 , , X n , 两 两 不 相 关 , 且都具有有限的方差 ,并 有 公 共 的 上 界 D( X 1 ) C , D( X 2 ) C , , D( X n ) C , , 则
n
则称随机变量序列 { X n }服 从 大 数 定 律 .
二、大数定理
定理5.1(马尔可夫大数定律)
设 为一列随机变量序列，则
(2)满足马尔可夫条件：
n 1 D( X i ) 0(n ) 2 n i 1
条件:(1)随机变量的方差存在；
结论：称
服从大数定律，即
1 n 1 n lim P{| X i EX i | } 1 。 n n i 1 n i 1
依概率收敛于
解：由于
。
独立同分布，所以 也独立同分布，而且
由辛钦大数定律
例2. 设
则
P{| X Y | 6}
解： 设 则
由切比雪夫不等式
01YM1
例3. 已知一本400页的书中每页印刷错字个数服从参数为 0.02的泊松分布，求这本书印刷错字的个数不超过15的概 率。 表示每页出现错字个数，则 解： 设
注2： De Moivre-Laplace中心极限定理是LindebergLeve中心极限定理在随机变量序列 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布于0-1分布的特例。 注3： Chebysher不等式主要针对均值和方差已知时， 对随机变量取值的概率作粗略估计。