概率论讲义
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1．写出下列随机试验的样本空间⑴记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） ⑶生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 ⑷对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
⑸在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：⑴}|0,1,2,100iS i n n⎧==⎨⎩ n 为小班人数，⑶{}10,11,12,S =⑷}{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111S =注：’0’为次品，’1’为正品⑸()}{22,|1S x y xy =+<2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A 与B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生①ABC ②ABC ③A B C ④ABC⑤ABC ⑥ AB AC BC ⑦A B C ⑧ AB AC BC3．设A ，B ，C 是三事件，且P （A ）=P （B ）=P （C ）=14，P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=18，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
解：()P A B C =()()()P A P B P C ++()()()()P AB P AC P BC P ABC ---+11110004448=++---+ 315488=-= 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小号码为5 的概率。
（2）求最大的号码为5的概率。
解：试验：“10人任取3人记录其号码“，样本点总数：310n C =设 A:“最小号码为5“B:“最大号码为5“① 最小号码为5：必须取到5号、其余2人6—10中任取25A n C ∴= ()25310112C P A C ∴==② B ：“最大号码为5“ 24B n C = （1-4中取2人）243101()20C P B C ∴==7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解：试验：“从17个桶中任取9个桶“，917n C =A ：“取4桶白、3黑、2红 “ 4321043A n C C C =()43210439172522431C C C P A C ∴== 8．在1500个产品中有400个次品、1100个正品。
任取200个。
（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率解：① A ：“恰有90个次品“()9011040011002001500C C P A C = ② B ：“至少有2个次品“()2002001920011991500110040011001100400110020020015001500191C C C C C C C P B C C --+==-9．从5双不同鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解一： 实验：“从5双鞋中任取4只” 410n P =A ：“4只鞋子中至少有两只配成一双”10864A n ∴=⨯⨯⨯()()1086413111098721P A P A ⨯⨯⨯∴=-=-=⨯⨯⨯解二：445:2A A n C =⋅ 五双中取四双：45C 每双中取一只：42410n C = ()()4454102131121C P A P A C ⋅∴=-=-=解三： 设1A ：“四只中恰有两只配成双” ()1122541215842A C C n C C C ⎧⋅⋅⎪=⎨⋅-⎪⎩ 2A ：“四只恰好配成两双” 225A n C =12A A A ∴= 且 12A A =∅()()()()()12121212584544101012113212121P A P A A P A P A C C C C C C ∴==+- =+=+= 10．在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。
解：()6711442.410111098765P A P -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解： 设i A ：“杯子中球的最大个数为i “ 1,2,3i =E ：“3个球放入4个杯中” 34n =而 1A ：“每个杯子最多放一个球“， 134A n P =；2A ：“一个杯中放2只球，其余最多放一个“ 2121433A n C C C =3A ：“3个球放一个杯子中“ 314A n C =()34131348P P A ∴==()121433239416C C C P A ==（注： 1231,2,3,i j S A A A A A i j ==∅= 、且，、()()()2133191181616P A P A P A ∴=--=--=） 12． 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱。
每个部件用3只铆钉。
若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。
问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解一：E ：“从50个铆钉中任取三个”。
350n C =A ：“一个部件强度太弱”。
33A n C =∴第i 个部件强度太弱的概率为 33350119600i C p C ==而10个部件“强度太弱”这一事件是等可能的∴ 所求概率为 101101196001960i i p p ====∑ 解二： 3131035011960C C p C ⋅==14（1）．已知()0.3,()0.4,()0.5,(|)p A p B p AB p B A B === 求解：()0.3P A = ()0.4P B = ()0.5P AB =()()10.7P A P A ∴=-= ()0.6P B =又A AB AB = 而 ()()AB AB =∅()()()P A P AB P AB ∴=+()()()0.70.50.2P AB P A P AB ∴=-=-=()()()()()()()|P B A B P AB P B A B P A B P A P B P AB⎡⎤⎣⎦∴==+- 0.20.250.70.60.5==+-(2) 已知()()()()111||432P A B A A B A B === ，P ，P ，求 P解：()()()|P AB P B A P A =()()()11211|43P AB P A P B A ⇒==⨯= ()()()11121|62P AB P B P A B ∴=== ()()()()P A B P A P B P AB ∴=+- 111146123=+-= 15、掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。
解一： 古典概型：A ：“两 之和为7”6n =B ：“有一颗为1点”2B n =21()63P B ∴== 解二：E “掷两颗骰子 总数” 36n = A:“两 之和为7” 6A n =B ：“ 一颗为1点” 10B n = ()61366P A == ()213618P AB ==()()()1118|136P AB P B A P A ∴===16、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下概率： }{0.6P =孩子得病，P{母亲得病|孩子得病}=0.5 P{ 父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率解： 设A ：“孩子得病”； B ：“母亲得病”； C ：“父亲得病“ ()0.6P A = (|)0.5(|)0.4P B A P C AB = =()()(|)0.60.50.3P AB P A P B A ∴==⨯=()()(|)0.30.40.12P ABC P AB P C AB ==⨯= 又AB ABC ABC = 且 ()()ABC ABC =∅ ()()()P AB P ABC P ABC ∴=+()()()0.30.120.18P ABC P AB P ABC ∴=-=-=17、已知在10只晶体管中有2只废品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。
求下列事件的概率：（1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
解：设i A ：“第i 次取出的是正品“。
()1,2i =①()()()121218728|10945P A A P A P A A ==⨯= ②()()()12121211|10945P A A P A P A A ==⨯=③()()()12121212P A A A A P A A P A A =+ ()()()()121121||P A P A A P A P A A =+ 82281610910945=⨯+⨯=④()()()12121212P A A A A P A A P A A =+ ()()()()121121||P A P A A P A P A A =+ 822111091095=⨯+⨯= 18、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解一：设i A ：“第i 次接通电话” ()1,2,3i =A ：“拨号不超过三次而接通” 112123A A A A A A A ∴=()()()()112123P A P A P A A P A A A ∴=++()()()1121|P A P A P A A =++()()()121312||P A P A A P A A A191981310109109810=+⨯+⨯⨯= 当已知最后一个数字是奇数时()14143135545435P A =+⨯+⨯⨯=解二： A ：“拨号3次都未接通”。
123A A A A =123()1()1()P A P A P A A A ∴=-=- 1213121()(|)(|)P A P A A P A A A =-98731109810=-⨯⨯= 当最后一位是奇数时。
4323()15435P A =-⨯⨯=19、设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 只白球、m 只红球；乙袋中装有N 只白球、M 只红球。
