第05讲（含有绝对值函数的取值范围问题）【目标导航】在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一类函数，绝对值函数在高考中往往以填空小题的形式出现，绝对值函数可以视为分段函数，也可以整体处理，因此恰当的进行分类整合，探究绝对值函数的图象与性质是解决此类问题的核心方法. 【例题导读】例1、已知函数f (x )＝x |x －4|，x ∈[0，m ]，其中m >0，且函数f (x )的值域为[0,4]，则实数m 的取值范围是_________．例2、已知函数f (x )＝x |x －a |在[0,2]上的值域为[0,4]，则实数a 的值是_________．例3、已知函数f (x )＝x ||x －a ＋2x －3，若f (x )在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是_________．例4、 若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是_________．例5、 已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(其中实数a >0)，则f (x )的单调减区间是_______________．例6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||x ＋3，x ≤0，x 3－12x ＋3，x >0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．例7、 已知f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________．例8、 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．【反馈练习】1、函数y ＝|x －1|＋|x ＋a |是偶函数，则实数a 的值是__________．2、函数y ＝2||x －m 在(2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________.3、设f (x )＝|lg(x －1)|，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．4、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．5、若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．6、若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a 的取值范围为_________．7、已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 0(1＋x 20)sin2x 0＝________.8、已知t 为常数，函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t ＝_________.9、设函数f (x )＝x |x ＋2|，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．10、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1，函数g (x )＝2－f (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．11、已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x ，若存在a ∈[0,4]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则实数t 的取值范围为________．12、设a 为实数，函数f (x )＝e 2x ＋|e x －a |(x ∈R )，则当0<a <12时，函数f (x )的值域为_________(用a 表示)．13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．14、已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．第05讲（含有绝对值函数的取值范围问题）【目标导航】在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一类函数，绝对值函数在高考中往往以填空小题的形式出现，绝对值函数可以视为分段函数，也可以整体处理，因此恰当的进行分类整合，探究绝对值函数的图象与性质是解决此类问题的核心方法. 【例题导读】例1、已知函数f (x )＝x |x －4|，x ∈[0，m ]，其中m >0，且函数f (x )的值域为[0,4]，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】[2,2＋22]【解析】 由函数f (x )＝x |x －4|图象可知(如图4－1所示)，当x >4时，令x |x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f (x )的值域为[0,4]，所以实数m 的取值范围是[2,2＋22].例2、已知函数f (x )＝x |x －a |在[0,2]上的值域为[0,4]，则实数a 的值是_________． 【答案】 0或4【解析】(1)当a <0时，f (x )＝x (x －a )，f (2)＝2(2－a )＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f (x )＝x 2，在[0,2]上的值域为[0,4]，满足条件； (3)当a >0时，①当0<a ≤2时，f (x )＝|x 2－ax |，f (0)＝0，f (2)＝|4－2a |＝4－2a ＜4，f⎝⎛⎭⎫a 2＝a 22－a 24＝a 24≤1，不满足条件；②当2<a <4时，f (x )＝－x 2＋ax ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件； ③当a ＝4时，f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件； ④当a >4时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (2)＝－4＋2a >4，不满足条件．综上所述，a ＝0或a ＝4.例3、已知函数f (x )＝x ||x －a ＋2x －3，若f (x )在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】 [－2,2]【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2－a x －3，x ≥a ，－x 2＋2＋a x －3，x ＜a ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －a －222－a －224－3， x ≥a ，－⎝⎛⎭⎫x －a ＋222＋a ＋224－3，x ＜a .f (x )在R 上恒为增函数的充要条件是⎩⎨⎧a －22≤a ，a ＋22≥a .解得－2≤a ≤2.例4、 若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】 (－∞，0]∪[3，＋∞)【解析】 (1)当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，显然在区间[0,2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g (x )＝x 3－ax 2，令g ′(x )＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a3，g (x )在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a3，＋∞上单调递增，又g (0)＝g (a )＝0，所以f (x )＝|g (x )|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，2a 3上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f (x )在区间[0,2]上是增函数，只要2a3≥2，即a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．例5、 已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(其中实数a >0)，则f (x )的单调减区间是_______________． 【答案】 ()－a ＋1－1，－a 和()a ＋1－1，a【解析】 因为f (x )＝⎩⎨⎧e x x 2－a ，x |＞a ，e x a －x 2，x |≤a .当|x |＞a 时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －a )，由f ′(x )<0，解得－1－a ＋1<x <－1＋a ＋1.因为－1－a ＋1<－a ，－1＋a ＋1<a ，所以f (x )的单调减区间为(－1－a ＋1，－a )，同理当|x |≤a ，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －a )，所以 f (x ) 的单调减区间为(a ＋1－1，a )． 所以f (x )的单调减区间为()－a ＋1－1，－a 和()a ＋1－1，a .例6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||x ＋3，x ≤0，x 3－12x ＋3，x >0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－9，13 【解析】 令h (x )＝f (x )－g (x )．(1)当x ≤0时，h (x )＝||x ＋3－(kx ＋1)，因为h (0)＝2，所以h (x )必过第二象限，即只须使h (x )过第三象限， 当k ≥1时，h (x )只在第二象限，故不合题意； 当k ≤－1时，h (x )必过第三象限，故符合题意； 当－1<k <1时，需h (－3)<0，所以－1<k <13，故k <13；(2)当x >0时，h (x )＝x 3－(12＋k )x ＋2，因为h ′(x )＝3x 2－(12＋k )，所以须使h (x )过第四象限， 必须⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋k >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋k >0，12＋k 3·12＋k3>1，所以k >－9 综上，－9<k <13.例7、 已知f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________． 【答案】 (－7，－2)【解析】一 (大函数法)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋4，0<x ≤2，2x 2＋kx －4，2<x <4，(1)当k ≥0时，因为f (x )在(0,2]上没有零点，且f (x )在(2,4)递增即至多一个零点，所以不合题意； (2)当k <0时，当f (2)>0即－2<k <0时，因为f (x )在(0,2]上没有零点，且f (x )在(2,4)递增即至多一个零点，所以不合题意；当f (2)＝0即k ＝－2时，不合题意；当f (2)<0即k <－2时，因为f (x )在(0,2]上有一个零点，所以须f (x )在(2,4)有一个零点．因为f (2)<0， 由二次函数图象得只须f (4)>0，解得k >－7. 综上，－7<k <－2.【解析】二(小函数法)因为f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx 在(0,4)上有两个不同的零点，所以方程||x 2－4＋x 2＋kx ＝0在(0,4)上有两个不同的解， 即||x 2－4＝－(x 2＋kx )在(0,4)上有两个不同的解，所以函数y ＝||x 2－4与y ＝－(x 2＋kx )图象在(0,4)上有两个不同的交点． 由两函数图象发现只须满足：错误!解得－7<k <－2.【解析】三(分离参数法)因为f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx 在(0,4)上有两个不同的零点，所以方程－k ＝||x 2－4＋x 2x在(0,4)上有两个不同的解，所以函数y ＝－k 与y ＝⎩⎨⎧4x，0<x ≤2，2x －4x ，2<x <4图象在(0,4)上有两个不同的交点．由函数y ＝⎩⎨⎧4x ，0<x ≤2，2x －4x ，2<x <4的图象可知，只须2<－k <7，即－7<k <－2.例8、 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11 【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2. 设x ∈[2n－1,2n )(n ∈N *)，则x 2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，①当x 2n －1∈⎣⎡⎦⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x2n －1∈⎝⎛⎭⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n )，所以无解．综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n－1,2n )时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n)时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点． 下面证明：当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n－1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n－1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝⎛⎭⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝⎛⎭⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n)时，y ＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法3 分别作出函数y＝f(x)与y＝32x的图像，如图，交点在x1＝32，x2＝3，x3＝6，…，x n＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.【反馈练习】1、函数y＝|x－1|＋|x＋a|是偶函数，则实数a的值是__________．【答案】 1【解析】由函数y＝|x－1|＋|x＋a|的图象所示)知：“断”点位置为x＝1和x＝－a，所以－a＝－1，即a＝1.2、函数y＝2||x－m在(2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.【答案】(－∞，2]x－m的图象所示)知：m≤2.【解析】由函数y＝2||3、设f(x)＝|lg(x－1)|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．【答案】(4，＋∞)【解析】由于函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b＞2ab(由于a＜b)，所以ab的取值范围是(4，＋∞).图444、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．【答案】7【解析】由题意作出y ＝f (x )在区间[－2,4]上的图象所示，与直线y ＝1的交点共有7个，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为7.5、若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 【解析】作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图如图所示，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.6、若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a 的取值范围为_________． 【答案】 ( －∞，0]【解析】 若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a2≤0，所以a 的取值范围是(－∞，0]．7、已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 0(1＋x 20)sin2x 0＝________.【答案】 12【解析】由y ＝|sin x |(x ≥0)和y ＝kx 的图像可知，当曲线与直线恰有三个公共点时，直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点横坐标为x 0，斜率为－cos x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧－sin x 0＝kx 0，－cos x 0＝k ，得tan x 0＝x 0. 因为sin2x 0＝2sin x 0cos x 0cos 2x 0＋sin 2x 0＝2tan x 01＋tan 2x 0＝2x 01＋x 20，所以x 0(1＋x 20)sin2x 0＝12.8、已知t 为常数，函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t ＝_________. 【答案】 1【解析】所示，先作出函数y ＝x 3－3x 的图象，发现其经过点(－2，－2)，(－1,2)，(1，－2)，所以函数y ＝||x 3－3x 的图象经过点(－2,2)，(－1,2)，(1,2)．因为函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，当1－t ＞0，t ＜1，不符合题意．当1－t ＝0，t ＝1，符合题意．当1－t ＜0，t ＞1，f (－2)＝f (1)＝|t ＋1|＞2，不符合题意．所以t ＝1.9、设函数f (x )＝x |x ＋2|，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________． 【答案】 (－∞，2－1]【解析】设f (x )＝t ，则f (t )≤3，由函数f (x )＝x |x ＋2|图象可得t ≤1，即f (x )≤1，所以，x ≤2－1，不等式f (f (x ))≤3的解集为(－∞，2－1]．10、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1，函数g (x )＝2－f (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (2,3]【解析】由题意，当y ＝f (x )－g (x )＝2[f (x )－1]＝0时，即方程f (x )＝1有4个解．又由函数y ＝a －|x ＋1|与函数y ＝(x －a )2的大致形状可知，直线y ＝1与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1的左右两支曲线都有两个交点，如图所示．那么，有错误!即错误! 所以实数a 的取值范围是(2,3]．11、已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x ，若存在a ∈[0,4]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则实数t 的取值范围为________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，98 【解析】f (x )＝x |x －a |＋2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a －2x ，x ≥a ，－x 2＋a ＋2x ，x ＜a ，f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －a －222－a －224，x ≥a ，－⎝⎛⎭⎫x －a ＋222＋a ＋224，x ＜a ，因为0≤a ≤4，所以a －22＜a ，(1)当a ＋22≥a ，即0≤a ≤2时，f (x )在R 上递增， 不合题意； (2)当a ＋22＜a ，即2＜a ≤4时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a ＋22上递增，在⎝⎛⎭⎫a ＋22，a 上递减，在(a ，＋∞)上递增，若关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则f (a )＜tf (a )＜f ⎝⎛⎭⎫a ＋22，2a ＜2at ＜⎝⎛⎭⎫a ＋222，所以1＜t ＜18⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋4，所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，98. 12、设a 为实数，函数f (x )＝e 2x ＋|e x －a |(x ∈R )，则当0<a <12时，函数f (x )的值域为_________(用a 表示)．【答案】 [a 2，＋∞)【解析】令e x ＝t >0，则f (x )＝g (t )＝t 2＋|t －a |，因为0<a <12，所以g (t )＝t 2＋||t －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －a ，t ≥a ，t 2－t ＋a ， 0<t <a ，所以 g (t )在(0，a ]递减，在[a ，＋∞)递增，所以g (t )值域为[a 2，＋∞)，即所以f (x )值域为[a 2，＋∞)．13、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】因为f (0)＝－1，x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a ≥0，只需x ＞0时，f (x )min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f (x )＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．14、已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________． 【答案】116或－1－332【解析】 思路分析1 函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)＝0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y ＝4x ＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥－a ，－x －2a ，x<－a 的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差数列建立关于a 的方程，从而求得a 的值．思路分析2 注意所研究的函数为分段函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋4x ＋3＋2a ，x<－a ，－x ＋4x＋3，x≥－a ，因此，分别来研究每一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一段为一个零点．另外，注意到当x≥－a 时，函数为f(x)＝－x ＋4x＋3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在解法1 由f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|＝0，得4x ＋3＝|x ＋a|－a ，原函数有三个零点，即可转化为函数y ＝4x＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥－a ，－x －2a ，x<－a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，易知a≠0.下面分两种情况讨论：(1)a>0.如图1所示．,图1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝x ，解得x 2＝－1，x 3＝4. 又三个零点构成等差数列，则x 2＝x 1＋x 32，得x 1＝－6，则有4－6＋3＝－(－6)－2a ，解得a ＝116符合题意．(2)a<0.如图2所示．,图2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝x ，解得x 3＝4，由x 2＝x 1＋x 32，得x 1－2x 2＝－4；再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝－x －2a ，消去y ，得x 2＋(2a ＋3)x ＋4＝0 (*)．由根据与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－（2a ＋3），x 1x 2＝4，且x 1－2x 2＝－4，解得⎩⎨⎧x 1＝－4a －103，x 2＝1－2a3，即（－4a －10）（1－2a ）9＝4，化简得4a 2＋8a －23＝0，综上(1)(2)可得a 的值为116或－1－323. 解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ(2a ＋3)2－16＝4a 2＋12a －7>0，但a<0，则a ＝－2－332满足题意．解法2 因为f(x)＝⎩⎨⎧x ＋4x ＋3＋2a ，x<－a ，－x ＋4x＋3，x≥－a ，所以由f(x)＝－x ＋4x＋3＝0得x ＝－1或4.(1)若－1≥－a ，即a≥1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x 0<－1，故－2＝4＋x 0，从而x 0＝－6，故－6＋4－6＋3＋2a ＝0，解得a ＝116，满足条件；(2)若－1<－a ，即a<1时，设函数f(x)＝x ＋4x ＋3＋2a(x<－a)的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，即x 1，x 2是方程x 2＋(2a ＋3)x ＋4＝0 (*)的两个实数根，从而x 1＋x 2＝－2a －3，x 1x 2＝4，又由于三个零点成等差数列，所以2x 2＝x 1＋4，消去x 1，x 2得4a 2＋8a －23＝0，解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ>0，而a<1，则a＝－2－332满足题意． 综上，实数a 的值为116或－2－332.。
《概率的概念》讲义在我们的日常生活中，很多时候都会提到“可能性”这个词。
比如，明天可能会下雨，买彩票可能会中奖，考试可能会取得好成绩等等。
而在数学中，这种“可能性”有一个更精确的表述，那就是概率。
一、什么是概率概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生的可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而如果概率在 0 和 1 之间，比如说 05，那就表示这个事件有一半的可能性会发生。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的可能性是相等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 5 个白球的袋子里随机摸出一个红球，摸到红球的概率就是 05。
二、概率的计算概率的计算方法有很多种，下面介绍几种常见的。
1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型来计算概率。
比如，掷一个骰子，点数为 1 的概率是多少？因为骰子有 6 个面，分别是 1、2、3、4、5、6，每个面出现的可能性相等，所以点数为 1的概率就是 1/6。
2、几何概型当试验的结果是无限的，而且每个结果出现的机会是均等的，这时就需要用到几何概型。
例如，在一个圆形区域内随机取一点，这个点落在圆心的概率是0，因为圆心是一个点，而圆形区域的面积是无限的，所以点落在圆心的可能性几乎为 0。
3、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率是多少？这就是一个条件概率的问题。
三、概率在实际生活中的应用概率在很多领域都有着广泛的应用。
1、保险行业保险公司会根据各种风险发生的概率来制定保险费率。
比如，车辆发生事故的概率、人生病的概率等，通过对这些概率的计算和评估，来确定保险的价格和赔偿金额。
![[医学]05-概率分布-正态分布](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/8858d190f61fb7360a4c6501.webp)
