基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）
【教学目标】
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
【教法指导】
本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．
本节学习难点：复合函数的求导法则．
【教学过程】
☆复习引入☆
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
☆探索新知☆
探究点一 导数的运算法则
思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答 利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；
(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出
f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝1xln 10，
利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－1xln 10.
5.2.1基本初等函数的导数
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习基本初等函数的导数
本节内容通对基本初等函数导数公式的介绍，进一步帮助学生理解导数的含义，同时提升学生对函数导数的求解运算能力，为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。
课程目标 学科素养
A.能根据定义求函数y＝c，y＝x，𝑦=x2， 𝑦=1𝑥,𝑦=√𝑥 的导数．
B．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 1.数学抽象：导数的概念
2.逻辑推理：导数及导数的几何意义
3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率
4.直观想象：导数的几何意义
重点： 基本初等函数的导数公式的简单应用
难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，𝑦=x2， 𝑦=1𝑥,𝑦=√𝑥 的导数
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、 温故知新
由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。
二、新知探究
1.求函数在x0处的导数的方法．
(1)求Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．
(2)求变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.
(3)求极限的y′|x＝x0＝f ′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx.
2.怎样求导函数？
(1)求改变量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)．
(2)求比值ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx.
(3)求极限的y′＝f ′(x)＝limΔx→0 ΔyΔx.
思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？
高二数学选修 2-2 §1.2.2-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）
一、学习任务
1．知道导数四则运算法则（除）, 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数；
2．了解复合函数的求导法则,能求简单复合函数的导数.
二、新课探究
问题1.导数的运算法则有哪些？
试一试：求下列函数的导数：
(1)1yxx (2)xxysincos (3)cosxyx
(4)xxxy3sin (5) 4xxy (6) 2(251)xyxxe
问题2.你知道函数)62sin(xy是由哪两个函数复合的吗？该函数的求导方法是什么？
试一试：你能写出下列函数的复合过程吗？
(1)y＝(2x－3)5 (2)y＝3－x (3) )1cos(xy (4)y＝ln(2x＋5)．
复合函数的求导法则？
1.求下列复合函数的导数
(1)y＝(2x－3)5 (2)y＝3－x (3) )1cos(xy (4)y＝ln(2x＋5)
2.求下列函数的导数
(1) )62sin(2xxy （2）xey22
【反思】求复合函数的关键是什么?
变式：求曲线)12ln(xy上的点到直线2x-y+3=0的最短距离
变式反馈
1.函数2()1382fxxx，且0()4fx，则0x=
2.曲线xy1和2xy在它们交点处的两条切线与x轴所围三角形面积为
3.求曲线sinxyx在点(,0)M处的切线方程。
三、本节课收获：
8个基本初等函数的导数公式
一、常数函数的导数公式：
对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：
对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量， 则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：
对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：
对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量， 则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。 五、三角函数的导数公式：
(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：
(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
(2) 对于双曲余弦函数f(x)=cosh(x)，则有f'(x)=sinh(x)。
