当前位置：文档之家 › 核心考点之：椭圆的概念图像及性质

核心考点之：椭圆的概念图像及性质

  • 格式：docx
  • 大小：205.83 KB
  • 文档页数：15

高考数学圆锥曲线核心内容之一：椭圆 (学生版)

整理归纳总结 富宁县第一中学 堡哥

椭圆知识点梳理---夯实基础 厚积而薄发

1.椭圆的定义（概念）

（1）第一定义：平面上，到两定点F1，F2的距离之和的绝对值为正常数2a(小于两定点

间距离2c)的动点轨迹叫作椭圆．

(a)：2a>|F1F2|，动点的轨迹是椭圆；

(b)：2a＝|F1F2|，动点的轨迹是线段F1F2；

(c)：2a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在；

（2）第二定义：平面上，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(0

叫作椭圆．

2. 椭圆的标准方程及简单的几何性质

条 件 2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0

标准方程

及图形 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

范 围 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b

对称性 曲线关于原点、x轴、y轴对称

顶 点 长轴顶点(±a,0)；短轴顶点(0，±b) 长轴顶点(0，±a)；短轴顶点(±b,0)

焦 点 (±c,0) (0，±c)

长、短轴的长度 长轴长2a，短轴长2b

焦 距 F1F2＝2c(c2＝a2－b2)

a，b，c的关系 a2＝c2+b2， c2＝a2－b2，b2＝a2－c2

焦点三角形

常用结论 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)12FPFS△＝12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=.

=

.2c. |y|

(3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.

(4)|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|.

准线方程 x＝±a2c y＝±a2c

离心率 e＝ca =

， e∈(0,1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆 理解定义 特别注意 椭圆常考典型题目再现---举一反三 融会贯通

一、 考点1： 椭圆基础过关题之---椭圆方程

题型一 求椭圆的标准方程

例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－32，52；

(3)经过点P13，13，Q0，－12.

例2：求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

例3：已知椭圆M与椭圆N：x216＋y212＝1有相同的焦点，且椭圆M过点－1，255.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．

变式训练1：已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_________．

变式训练2：已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. 变式训练3：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线

变式训练4：已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )

A.x24＋y23＝1 B.x24＋y2＝1 C.y24＋x23＝1 D.y24＋x2＝1

变式训练5：平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1→|＋|MF2→|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式训练6：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1 C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1

变式训练7：椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( ) A．5 B．6 C．7 D．8

变式训练8：若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1)

变式训练9：“1

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式训练10：方程x－42＋y2＋x＋42＋y2＝10化简的结果是( )

A.x25＋y23＝1 B.x23＋y25＝1 C.x225＋y29＝1 D.x29＋y225＝1

变式训练11：已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为( )

A．9 B．4 C．3 D．2

变式训练12：若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程．

变式训练13：一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

变式训练14：求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；

(2)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－2)和－1，142的椭圆的标准方程．

变式训练15：利用椭圆定义求轨迹方程

例2 如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

变式训练16：如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．

变式训练17：如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1)，且满足BP∥x轴，AB→·AP→＝9，求椭圆C的方程．

考点:2 椭圆的焦点三角形问题

例1：已知P为椭圆x212＋y23＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

例2：设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．

变式训练1：P是椭圆x216＋y29＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( ) A．60° B．30° C．120° D．150°

变式训练2：椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )

A．±34 B．±22 C．±32 D．±34

变式训练3：已知椭圆x225＋y29＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．

变式训练4：已知F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．

考点:3 椭圆的离心率问题

解题秘籍：（1）e＝ca =

e∈(0,1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆

（2）求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法

(a)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于

a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．

(b)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，

借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.

题型二 求椭圆的离心率的值及取值范围

例1：已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|，求椭圆C的离心率．

例2：已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是(

)

例3：如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且AF2→＝2F2B→，求椭圆的方程． 变式训练1：已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．

变式训练2：已知椭圆的短半轴长为1，离心率0

为________．

变式训练3：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

变式训练4：设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．

变式训练5：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．

变式训练6：若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64

变式训练7：(2018·全国Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( ) A.13 B.12 C.22 D.223

变式训练8：如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )

A.3－1 B．2－3 C.22

D.32

变式训练7：已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点M43，13，求椭圆C的离心率．

合集下载

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =

2a。其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质

1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当01时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用 1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结：

椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。无论是天文学中的行星轨道，还是光学中的椭圆镜，椭圆都扮演着重要的角色。通过深入研究椭圆的性质和应用，我们可以更好地掌握这一数学概念，并将其应用于实际问题的解决中。

专题20椭圆(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破

专题20椭圆(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破

专题20椭圆

【考点命题趋势分析】

1专题综述

椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.

典型例题与解题方法

2考点剖析

2.1椭圆方程及其几何性质

求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.

例1设圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|为定值，并写出点E的轨迹方程.

例2已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右顶点分别为𝐴1,𝐴2，且以线段𝐴1𝐴2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )

A．√63 B．√33 C．√23 D．13

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结

一、椭圆的定义

椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。这个常数被称为椭圆的长轴长度。另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

二、椭圆的性质

1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。

3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。

4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。

5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。

6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。椭圆的离心率满足0

7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

三、椭圆的方程

椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。

四、椭圆的焦点

椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。

五、椭圆的参数方程

椭圆还可以用参数方程来描述。具体而言，椭圆的参数方程为：

x=a*cos(t) y=b*sin(t)

其中a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度，t为参数。通过参数方程，可以方便地描述椭圆上的点的位置。

椭圆的像及其性质

椭圆的像及其性质

椭圆的像及其性质

椭圆是一种重要的几何图形，具有独特的像和性质。本文将详细介绍椭圆的像及其性质。

椭圆的像

椭圆的像是通过椭圆中心所发出的光线在椭圆内部的反射和折射形成的。当光线射入椭圆时，根据光线的入射角度和椭圆的形状，光线会发生折射并在椭圆内部形成像。

椭圆的主轴和副轴

椭圆由两个焦点和一根连接两个焦点的直线组成，这根直线被称为椭圆的主轴。椭圆的主轴上有两个点，分别是椭圆的焦点。椭圆的主轴的中点被称为椭圆的中心。与主轴垂直的直线称为椭圆的副轴，副轴的长度等于椭圆的长轴长度。

椭圆的离心率

椭圆的离心率是一个用于衡量椭圆形状的参数。离心率的取值范围是0到1，其中0表示圆形，1表示抛物线。离心率越接近于1，椭圆的形状越扁平。

椭圆的焦点和直径

椭圆的焦点是椭圆中心到椭圆边缘的距离之和的一半。椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的焦点定理。椭圆的直径是通过椭圆中心的两个焦点的直线，直径的长度等于椭圆的长轴长度。

椭圆的性质

椭圆具有一些独特的性质，下面将依次介绍：

1. 对称性：椭圆具有两条互相垂直的对称轴，其中短轴和长轴是对称轴之一。椭圆的任意一条直径都是对称轴。

2. 焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和相等。

3. 弦和弦的性质：椭圆内任意两点所连成的线段称为弦，椭圆的两个焦点与弦的交点之间的线段是弦的中垂线，弦和弦的中垂线都经过椭圆的中心。

4. 切线性质：椭圆上的任意一点到椭圆的切线的距离等于从该点到两个焦点的距离之差。

这些性质使椭圆成为了许多领域的重要应用，例如工程、物理学和天体物理学等。从椭圆的性质可以推导出许多重要的数学定理和公式，具有广泛的应用价值。

总结

椭圆的像及其性质是我们探讨的主题。椭圆的像是通过光线的反射和折射形成的，其形状和位置受到椭圆的参数和光线入射角度的影响。椭圆具有独特的性质，如焦点定理、对称性、弦和弦的性质以及切线性质等。这些性质使椭圆在科学和工程领域中有重要的应用价值。通过深入了解椭圆的像及其性质，我们可以更好地理解和利用这个有趣的几何图形。