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椭圆的基本性质课件

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椭圆的课件ppt

椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。

椭圆的简单几何性质ppt课件

椭圆的简单几何性质ppt课件

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

高中数学椭圆课件

高中数学椭圆课件
已知椭圆的一个焦点到椭圆上任意一点的距离的 最小值为4，求椭圆的标准方程。
题目4
已知椭圆上任意一点P与椭圆中心O的距离为d， 求点P到椭圆两个焦点的距离之差的绝对值。
答案3
根据椭圆的性质，焦点到椭圆上任意一点的距离 的最小值为半短轴b。已知这个距离的最小值为4 ，可以得出半短轴b=4。由于没有给出半长轴a的 具体数值，所以无法确定椭圆的标准方程。
注意事项：避免常见错误和陷阱
方程形式
注意椭圆的标准方程形式，不要混淆不同的形式 。
焦点位置
注意焦点的位置，有时题目中没有明确指出焦点 的位置，需要自己判断。
参数范围
在解题时，要注意参数的范围，不要超出范围进 行计算。
单位长度
在计算时，要注意单位长度的一致性，不要出现 单位不匹配的情况。
06
椭圆的练习题与答案解析
已知椭圆的一个焦点到 椭圆上任意一点的距离 和为10，求椭圆的标准 方程。
根据椭圆的定义，任意 一点到两个焦点的距离 之和为常数，这个常数 等于长轴的长度。已知 这个距离和为10，可以 得出半长轴a=5。由于 没有给出半短轴b的具 体数值，所以无法确定 椭圆的标准方程。
提高练习题：挑战更高难度
题目3
椭圆的准线与焦点
定义
椭圆的准线是指与椭圆焦点距离 相等的点所在的直线。
性质
准线与椭圆相交于四个点，这四 个点称为椭圆的焦点。焦点到椭 圆中心的距离称为焦距。
03
椭圆的方程求解方法
直接法求解椭圆方程
定义椭圆
根据椭圆的定义，确定椭圆的标准方程。
确定参数
根据椭圆的标准方程，确定参数a、b、c的值。
求解方程
高中数学椭圆课件
目
CONTENCT

椭圆ppt课件

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

椭圆的几何性质优秀课件公开课

椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系

椭圆的课件ppt

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椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。

椭圆的基本性质课件


平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
1、范围：
B2 A1
y
b a
F2
F1
o c
B1
A2
2 y x 1, 2 1得： 2 b a
2
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
2.2.2椭圆的几何性质
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
所以a 5, b 4, c 3 因此长轴长 2a 10 ，短轴长 2b 8
c 3 离心率 e a 5
焦点F1(－3,0)和F2(3,0), 椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、 B1(0,－4)、B2(0,4)
25 16
小结：
{1}范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b {2}椭圆的对称性:关于x轴、y轴、原点对称 {3}椭圆的顶点 y B1(0,b)
2、对称性：
y
B2
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
A1
b F1
a F2
o c
B1
A2

椭圆性质PPT课件


要注意椭圆的焦点 与长轴始终在同一个
固 知
（2）因为 2a 18，e c 1， a3
轴上．求椭圆的标准 方程时，如果不能确 定焦点的位置，要针 对不同的情况，给出
识
所以
a = 9， c = 3．
两种标准方程．
典
于是
b2 a2 c2 81 9 72．
型
椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．因此，所求的
例3 求椭圆 9x2 25y2 225 的长轴长、短轴长、离
心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形．
解 将所给的方程化为标准方程，得
巩 固
x2 y2 1． 25 9
知
这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 3．
识
因为 c a2 b2 25 9 4，
所以长轴长2a = 10，短轴长2b = 6，离心率
坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫
动
做椭圆的对称中心（简称中心）．
脑
思
考
探 索 新 知
第5页/共20页
3.顶点
在方程中，令y = 0，得x = ±a，说明椭圆与x轴有两个交点
A1(a，0)和 A2 (a，0)；同样，令x = 0，得y = ±b，说明椭圆与x
动 脑 思
轴有两个交点 B1(0， b)和 B2 (0，b（) 如图）．
识
椭圆长轴和短轴的一个端点．于是
典
a = 3， b = 2．
型
由于椭圆的长轴在x轴上，故椭圆的焦点在x轴上．因此
例
所求的椭圆标准方程为
题
x2 y2 1．
94
第12页/共20页
例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

椭圆及其标准方程课件(公开课)


椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。

椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件


x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
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2、范围： y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
x2 a2
1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
3、对称性：
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称,
原点是椭圆的中心.
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
x
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率
A1(-a,0), B1(0,-b),
A2(a,0) B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 ▪ 椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）
y B1 (0,b)
(- x
B2(0,-b)
▪ 线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a， a叫做椭圆的长半轴长
Q
解：设动点M的坐标为(x,y)，
M
则Q的坐标为(2x-1,2y)
-2
O A 2 x 因为Q点为椭圆 x2 y2 1
上的点
4
所以有 (2x 1)2 (2 y)2 1 4
即 (x 1)2 4y2 1
2
所以点M的轨迹方程是
(x

1)2

4y2
1
2
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图
象关于原点成中心对称。y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
94
⑵ x2 y2 1或 y2 x2 1
100 64
100 64
例3：点M（x，y）与定点F(4,0)的距 离和它到直线x 25 的距离的比是常
4
数 4，求点M的轨迹。
5
练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭
圆x2 y2 1
4 上的y 动点，求AQ中点M的轨迹方程.
▪ 线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b， b叫做椭圆的短半轴长
2c为椭圆的焦距, c 为椭圆的半焦距
► a、b、c的几何意义
y B1 (0,b)
(-a,0)
b
a c
A1
F1
O
F2
(a,0)
A2 x
B2(0,-b)
Q a2 b2 c2
B1F1 B1F2 B2F1 B2F2 a
率，焦点和顶点坐标。 解：把已知方程化为标准方程
x2 y2 1
25 16
所以a 5,b 4, c 3
因此长轴长2a 10 ，短轴长2b 8
离心率e c 3 a5
焦点F1(－3,0)和F2(3,0),
椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、 B1(0,－4)、B2(0,4)
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
椭圆的焦距与长轴长的比e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小， 椭圆就越扁 2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大， 椭圆就越圆 思考：当e＝0时，曲线是什么？ 圆
当e＝1时曲线又是 什么？ 线段
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程 图形
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0)
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
y2 a2

x2 b2
1(a

b

0)
A2 y
F2
B2
B1
O
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对
称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于
是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短
轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方
程为
x2 y2 1
2.2.2椭圆的几何性质
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹