4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点， 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 − 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线： 是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、直纹曲面：柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.二、直母线：1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为(λ, μ为参数, 且不全为零)与(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为(λ为参数) 与(λ'为参数)3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.三、性质：1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为与将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为与即与例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有3×+2×+(－4)×＝0,解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,一定是其腰椭圆的切线.证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为l：则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线l'：现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有代入腰椭圆方程得该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5＝0平行的直线的轨迹.解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有＝0,＝0.即有(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得＝0,化简整理得－＝z.这是一双曲抛物面.例5. 求与下列三条直线与＝＝都共面的直线所构成的曲面.解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有＝0, ＝0,＝0.或由于X, Y, Z不全为零, 从而有＝0,化简整理得x2+y2－z2＝1.这是一单叶双曲面.作业题：1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。

2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(x y) ln(1y )1．计算x dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 xy 1与两D1 xy坐标轴所围成三角形区域.2．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x22f ( x)dx 2 , 则 f ( x) ____________.3．曲面 zx 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 __________.24．设函数 yy(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且f 1 ，则d 2 ydx 2________________.二、（ 5 分）求极限 lim (e xe 2 xe nx e) x ，其中 n 是给定的正整数 .x 0n1f ( xt)dt ，且lim f (x)A ，A为常数，求 g ( x)三、（ 15 分）设函数f (x)连续，g( x)0x 0x并讨论 g ( x) 在x0处的连续性.四、（ 15 分）已知平面区域 D {( x, y) | 0 x, 0 y} ， L 为 D 的正向边界，试证：（ 1）xe sin y dy ye sin x dx xe sin y dy ye sin x dx ；L L（ 2）xe sin y dy ye sin y dx5 2 .L2五、（ 10 分）已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3xe x e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1 时 , y0 , 又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1. 试确定 a, b, c , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋3转体的体积最小 .七、（ 15 分）已知 u n ( x) 满足 u n (x) u n ( x)xn 1e x(n 1,2, ) , 且 u n (1)e, 求函数项n级数u n ( x) 之和 .n 1八、（ 10 分）求 x1 时 , 与x n 2 等价的无穷大量 .n 02010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（ 25 分，每小题 5 分）n（1）设 x n(1 a)(1 a 2 ) (1 a 2 ), 其中 | a | 1, 求 lim x n .n（2）求 lim e x11xxx 2。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。