反证法原理及其应用 毕业设计任务书

反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。

⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。

关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。

但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。

设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a 和b捆在一起成为物体a+b。

一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。

因此,亚里士多德的断言是错误的。

伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。

反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。

然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。

用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。

（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。

（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。

二、反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。

它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。

引言反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。

反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。

它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。

根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

已知：∠A ，∠B ，∠C是三角形ABC 的三个内角。

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800。

五、重点、难点学习重点：1、理解反证法的概念2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤3、用反证法证明简单的命题学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

六、教学过程一、课前准备1、复习直接证明问题的方法有 。

2、看故事并=回答：《路边苦李》:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样的推理方法?3、自学课本42页内容，写下摘要疑惑：（1）反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知条件矛盾,或者与 等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.（2）反证法证题的基本步骤：1．假设 的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出与 矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了 成立.（结论）二、自学、合作探究1、用具体例子体会反证法的含义及思路思考：将9个球分别染成红色或者白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。

你能证明证明这个结论吗？三、例题讲解例1.已知0≠a ，证明x 的方程b ax =有且只有一个根.证明：因为0≠a 所以方程至少有一个根ab x = 假设方程至少有2个不等的实数根21,x x 则b ax b ax ==21,两式做差得()021=-x x a 因为21x x ≠所以021≠-x x 即0=a 与0≠a 矛盾.所以假设错误，方程b ax =有且只有一个根.例2．若都是正数，且2>+y x ,求证：21<+yx 和21<+x y 至少有一个成立.证明：假设yx +1与x y +1都不小于2 则21≥+yx 且21≥+x y y x 21≥+且x y 21≥+所以x y y x 2211+≥+++即2≤+y x 与2>+y x 矛盾所以假设错误所以21<+yx 和21<+x y 至少有一个成立. 四、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C 。

浅谈反证法在中学数学中的应用摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。

关键词：反证法证明矛盾1. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。

”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。

这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。

数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

不仿设原命题为qp→，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()qpssqp→⇔Λ→→，即()qpssqp→⇔Λ→Λ。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。

根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

3. 反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

毕业设计任务书模板[毕业设计任务书模板]1. 题目：（请在此填写毕业设计的具体题目）2. 任务背景和目的：（在此介绍毕业设计的背景和目的，可以包括相关行业的发展情况、项目相关的实际应用需求等。

）3. 研究内容和技术路线：3.1 研究内容：（在此介绍毕业设计的具体研究内容，包括要解决的问题、要达到的目标等。

）3.2 技术路线：（在此介绍完成毕业设计所需的技术路线，可以涉及相关的理论知识、实验设计、数据采集、数据分析等。

）4. 研究方法和技术方案：4.1 研究方法：（在此介绍完成毕业设计所需的研究方法，可以包括实验研究、文献综述、数据分析等。

）4.2 技术方案：（在此介绍完成毕业设计所需的技术方案，包括所用的仪器设备、软件工具等。

）5. 预期结果和意义：5.1 预期结果：（在此介绍毕业设计完成后的预期结果，如新的算法、新的系统、新的方法等。

）5.2 意义：（在此介绍毕业设计的意义，如对于行业的贡献、对于科学研究的推动等。

）6. 进度安排：（在此列出毕业设计的时间安排，如实验准备、数据分析、论文撰写等。

）7. 预期成果：（在此列出毕业设计完成后预期的成果，如论文、软件、实验数据等。

）8. 参考文献：（在此列出毕业设计所参考的主要文献，格式可采用参考文献引用规范。

）9. 指导教师意见：（在此填写指导教师对毕业设计的意见和建议，可以包括对研究内容的指导、对进度安排的建议等。

）10. 学生自我评价：（在此填写学生对毕业设计的自我评价，可以包括对技术能力的评估、对研究主题的兴趣等。

）11. 同意签字：（在此填写学生同意并签字，表示对毕业设计任务书的认可和接受。

）以上为毕业设计任务书模板，根据具体需求和学校要求，可以根据需要适当增减相关部分，并添加具体的内容。

毕业设计任务书模板一、任务背景与目的在大学本科阶段，毕业设计是学生进行综合实践和综合能力培养的重要环节，通过设计与实践，学生能够更好地将所学的理论知识与实际应用相结合，提高自己的综合素质。

为了规范毕业设计的开展，制定任务书是必要的。

本文档旨在提供一个毕业设计任务书的模板，以帮助学生和指导教师更好地开展毕业设计工作。

二、任务描述在这一部分，对毕业设计任务进行具体的描述和要求，包括但不限于以下内容：1. 毕业设计的主题和方向：明确毕业设计的主题和研究方向，确保任务的具体性和针对性。

2. 毕业设计的目标与要求：明确毕业设计的目标和要求，包括创新性要求和实践应用要求等。

3. 毕业设计的基本内容和研究方法：介绍毕业设计的基本内容和研究方法，指导学生进行具体的研究和实践工作。

4. 毕业设计的时间安排和进度计划：制定毕业设计的时间安排和进度计划，帮助学生合理安排时间，确保任务按时完成。

5. 毕业设计的评价与验收标准：明确毕业设计的评价和验收标准，帮助学生了解任务完成的标准和要求。

三、任务要求与限制在这一部分，明确毕业设计的要求与限制，包括但不限于以下内容：1. 学生的背景知识与技能要求：说明学生进行毕业设计所需具备的基本知识和技能，确保学生具备完成任务的基本能力。

2. 设备与资源要求：说明毕业设计所需的设备和资源要求，确保学生能够顺利进行毕业设计工作。

3. 相关法规和伦理要求：介绍毕业设计工作中的相关法规和伦理要求，帮助学生遵守相关规定，保证研究工作的合法性和道德性。

4. 任务的难度与创新性要求：明确毕业设计任务的难度和创新性要求，帮助学生面对挑战，不断提高自己的能力。

四、任务交付与验收。

浅谈反证法的原理及应用反证法，又称证伪法或间接法，是一种在数学、逻辑、科学研究等领域中常用的推理方法。

它的原理是通过运用“假设与矛盾”来证明一些命题的真假。

本文将从原理及应用两个方面对反证法进行较为详细的探讨。

首先，反证法的原理是基于一种简单的思想，即“法则排中”。

法则排中指的是一种选择原则，即一些命题或假设的否定必然与命题或假设的肯定二者之一成立，不能同时不成立，也不能同时成立。

这一点在逻辑推理中是一个很重要的基础前提。

基于这个原理，反证法的步骤通常分为两步：首先，假设待证明的命题为假，或者是反证法的前提条件；然后，在假设的前提下推出矛盾的结论。

如果假设的前提推导出的结论与已知事实相矛盾，那么我们就可以推出反证法的结论：原命题一定为真。

反证法常用于排除假设，证明一些猜想或命题的正确性，及判定一些命题或猜想是恒真、恒假、或有矛盾的。

在数学中应用最为广泛，它可以用来证明存在性命题、唯一性命题、等价性命题等。

通过反证法可以帮助我们证明一些难以直接证明的问题，缩小问题的解空间，从而达到简化证明过程的目的。

其次，反证法还被广泛应用于科学研究中。

在科学研究中，我们常常面临一些复杂的问题，很难直接找到证据来证明一些假设或猜想的真实性。

这时候，反证法就可以帮助我们通过推理和逻辑来推翻一些不成立的假设，从而不断缩小问题的解空间，最终得出一些有关真实性的结论。

举个例子来说明，假设一些科学家提出了一个新的物理学理论，他认为光速可以超过光速。

为了验证这一假设，其他科学家可以采用反证法来进行证明。

首先，假设光速确实可以超过，从而推导出一系列与已有物理定律或实验证据相矛盾的结论。

如果我们得出了与实验证据相矛盾的结论，那么我们就可以推翻这个假设，证明光速不能超过光速。

反证法在科学研究中还可以用来判断一些理论的可行性。

当一个理论受到广泛质疑时，科学家可以尝试通过反证法来验证该理论。

假设该理论为真，然后推导出一些与已有实证研究相矛盾的结论。

2.2.2 反证法学习目标：1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．学习过程：知识点：反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？问题2：反证法解题的实质是什么？导入新知1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．化解疑难1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“p且 q”为假―→“若p，则q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．例题讲解：题型一：用反证法证明否定性命题例1：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．类题通法1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．活学活用：设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.题型二：用反证法证明唯一性命题例2：已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．类题通法用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．活学活用：用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．题型三：用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题例3：已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.类题通法常见“结论词”与“反设词”多有一个零点．例4：在同一平面内，设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0，证明l 1与l 2相交．课堂检测：1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④2．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．4．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．5．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．参考答案学习过程：知识点：反证法问题1：运用了反证法的推理思想．问题2：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．例题讲解：例1：证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数，∴n ，an ＋b 均为奇数．又∵a ＋b 为偶数，∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾，∴f (x )＝0无整数根．活学活用：证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0，即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0，这与已知条件ad －bc ＝1矛盾，故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.例2：证明：由于a ≠0，因此方程ax ＝b 至少有一个实根x ＝b a. 如果方程不只有一个实根，不妨假设x 1，x 2是它的不同的两个根，从而有ax 1＝b ，ax 2＝b ，两式作差得a (x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2，从而a ＝0，这与已知条件a ≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即当a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个实根．活学活用：证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立. 例3：证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.活学活用：证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.例4：证明：假设直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，由直线l 1与l 2的方程可知实数k 1，k 2分别为两直线的斜率，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，消去k 1，得k 22＋2＝0，k 2无实数解，这与已知k 2为实数矛盾，所以k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．课堂检测：1．【解析】除原结论不能作为推理条件外其余均可．【答案】C2．【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．【答案】B3．【解析】①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．【答案】①②③④4．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．【答案】b 与c 平行或相交5．解：若三个方程均无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1. 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －32＜a ＜－1，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1，故所求实数a 的取值范围是a ≤－32或a ≥－1.。

人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法课程设计一、课程背景反证法是高中数学中的重要证明方法之一，它既常见于初中数学，也在高中数学中经常使用。

而本次课程设计是为了让学生更加深入地理解反证法，并能够熟练地运用反证法解决复杂问题。

二、课程目标通过本课程的学习，学生将达到以下目标：1.掌握反证法的基本思想和证明过程；2.熟悉反证法的常用应用场景；3.能够用反证法解决实际问题。

三、教学方法本次课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解反证法的概念、基本思想和证明过程等内容，让学生了解反证法的定义和运用；2.练习法：通过大量的练习题，让学生熟悉反证法的常用应用场景和证明方法；3.探究法：通过引导学生自主发现反证法的应用，探究反证法的灵活运用。

四、教学内容和进度安排第一课时主要内容：反证法的定义和基本思想。

•反证法的概念和基本思想；•通过例题介绍反证法的思路。

教学目标：学生了解反证法的基本概念和基本思想，具备初步的反证法推理能力。

教学时长： 1学时。

第二课时主要内容：反证法的证明过程。

•反证法的证明过程；•通过例题演示反证法的证明方法。

教学目标：学生熟悉反证法的证明过程，掌握反证法证明的基本技巧。

教学时长： 1学时。

第三课时主要内容：反证法在数学证明中的应用。

•反证法在一元二次方程中的应用；•反证法在三角形中的应用。

教学目标：学生掌握反证法在数学证明中的应用，熟悉反证法的运用场景。

教学时长： 1学时。

第四课时主要内容：反证法在实际问题中的运用。

•反证法在实际问题中的应用；•通过例题演示反证法在实际问题中的应用。

教学目标：学生掌握反证法在实际问题中的应用，能够用反证法解决实际问题。

教学时长： 1学时。

五、教学评估本次课程设计采取以下方式进行教学评估：•平时作业：通过布置一定数量的反证法练习题，检测学生对反证法的掌握程度；•课堂练习：通过课堂讲解和练习，检测学生的学习效果；•期末考试：通过综合的期末考试，检测学生对反证法的综合运用能力。

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.1.3反证法》一. 教材分析《14.1.3反证法》是华东师大版八年级上册数学的一节重要内容。

本节课主要介绍反证法的概念、原理及其应用。

反证法是数学证明中的一种重要方法，通过对命题的否定进行推理，从而得出原命题的正确性。

本节课的教学内容共有3课时，本节课为第一课时，主要讲解反证法的概念及其基本步骤。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了命题与定理的基本概念，并学习了直接证明的方法。

然而，对于反证法这一方法，学生可能较为陌生，难以理解其背后的逻辑推理。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，体会反证法的必要性，并通过具体例题，让学生逐步掌握反证法的基本步骤。

三. 教学目标1.了解反证法的概念，理解反证法的基本步骤。

2.能够运用反证法证明简单的数学命题。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决数学问题的能力。

四. 教学重难点1.反证法的概念及其逻辑推理。

2.反证法的基本步骤。

3.反证法在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体问题情境，引导学生发现反证法的必要性，激发学生的学习兴趣。

2.案例教学法：通过典型例题，让学生逐步掌握反证法的基本步骤，提高学生的实践能力。

3.讨论式教学法：在课堂上，学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高学生的逻辑思维能力。

4.启发式教学法：教师引导学生从不同角度思考问题，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的问题情境和例题，以便在课堂上进行教学。

2.准备反证法的相关课件，以便在课堂上进行演示。

3.准备学生的作业，以便在课堂上进行讲解和辅导。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题情境，引导学生发现反证法的必要性。

例如，证明“一个三角形的三个内角之和为180度”。

2.呈现（10分钟）呈现反证法的概念及其基本步骤。

反证法是一种证明方法，通过对命题的否定进行推理，从而得出原命题的正确性。

研究反证法的原理反证法是一种数学证明方法，其基本思想是通过前提的否定以及逻辑推理，推导出与前提矛盾的结论。

反证法通常用来证明某个命题的否定是错误的，从而证明该命题是正确的。

它在数学证明中具有广泛的应用，可以用来证明各种定理和命题。

反证法的步骤通常分为以下几个部分：1. 假设所要证明的命题的否定是正确的，即假设前提是错误的。

2. 利用假设的前提，推导出一个矛盾的结论。

3. 由此得出结论，假设的前提是错误的，即所要证明的命题是正确的。

反证法的基本原理是排中律和矛盾原理。

排中律是指一个陈述命题或者它的否定必为真，其中的“或者”是排斥的关系。

矛盾原理是指一个命题与其否定不能同时为真。

反证法的核心思想是利用矛盾的逻辑关系来证明，通过假设命题的否定并从该假设出发进行推理，最后得出与前提矛盾的结论。

这样就可以得出所要证明的命题是正确的结论。

对于一个以反证法进行证明的例子，我们可以考虑数学中的一个常见定理，即无理数的平方根是无理数。

假设存在一个无理数的平方根是有理数。

我们将这个有理数表示为a/b，其中a和b是互质的整数。

那么根据这个假设，我们有(a/b)^2 = c，其中c是一个正整数。

我们可以做如下变形：a^2 = b^2 * c。

由此可知a^2是b的倍数，那么a也是b的倍数。

我们可以表示a = kb，其中k也是一个整数。

将其带入等式中得到k^2 * b^2 = b^2 * c，即k^2 = c。

这意味着c是一个平方数，因此可表示为c = m^2，其中m是一个正整数。

将c = m^2代入原等式得到a^2 = b^2 * m^2。

再次变形得到a^2 = (bm)^2。

由此可知a也是一个平方数。

但是根据我们一开始的假设，a和b是互质的，因此a不可能是一个平方数。

我们得出了一个矛盾，即我们的假设是错误的。

所以无理数的平方根一定是无理数。

通过这个例子，我们可以看到反证法的运用过程。

我们首先假设一个条件，然后逐步推导，直到得出一个与已知事实相矛盾的结论。

反证法解题方法及应用研究
反证法解题方法及应用研究
反证法是一种研究问题的有效方法，在数学、哲学、经济学等多个领
域都被广泛应用。

首先，本文将概述反证法的定义。

然后，本文将探
讨反证法用于解决问题的方法，以及在各种领域中的应用研究。

一、反证法的定义
反证法，简称反证，是一种数学证明的方法，主要用于证明一个定理/
论点/命题的正确性，以及证明其是唯一的解决方案。

一般来说，先假
设这个主题是错误的，然后证明此假设的结果与已知事实相矛盾，从
而推断出这个主题必然是正确的。

二、反证法用于解决问题的方法
反证法用于解决问题需要经过以下几个步骤：首先，清楚地定义问题，明确需要解决的某一种定理或论点；其次，假设这个定理或论点是错
误的，做适当的学习与推理；再次，给出可以完全与实际情况相矛盾
的假设结果；最后，以上述结果就可以推断出这个定理或论点是正确的。

三、反证法在多个领域的应用
1. 数学领域：反证法在数学中得到广泛应用，如证明行列式、三角函数、排列组合等都是反证法。

2. 哲学领域：反证法也常用于哲学上，如证明先验原则、矛盾原理、正义原则等都是反证法的具体运用。

3. 经济学领域：经济学家们也使用反证法解释和推理经济学问题，如关于市场价格的信息处理、自发定价机制、市场效率等都是反证法的运用的经济学问题。

四、结论
反证法是一种有效的研究问题的方法，它在数学、哲学、经济学等多个领域均有广泛的应用，需要通过清楚定义问题，假设这个定理或论点是错误的，给出可以完全与实际情况相矛盾的假设结果，推断出这个定理或论点是正确的，来解决各类问题。

《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。

2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。

二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。

2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。

故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。

法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。

提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。

（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。

3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。

分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。

证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以，原命题成立。

（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。

分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。

证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。

因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。

设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。