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反证法是什么意思，最强数学思维武器解析逻辑学有四个基本规律，即:同一律、排中律、充分理由律和不矛盾律。
今天介绍排中律。
排中律是指在一个思维过程中，两个矛盾的想法不能同时为假，其中一个必须是正确的。
排中律的意义在于反证法的推导。
牛顿说，“反证法是数学家最精当的武器之一”。
当很难对一个命题进行正面论证时，我们可以换一个思维角度。
只要与原命题相矛盾的命题被证明为假，原命题就可以被反证为真。
基本步骤如下:首先假设结论的反面为真，然后通过正确的逻辑推理得出与已知条件或已有定理、公理相矛盾的结论，从而证明原结论的正确性。
最典型的案例是伽利略对于“两个铁球同时落地”的论证：假设两个铁球，一轻一重，重球先落地。
那么，由于原来两个球的速度不一样，把两个铁球绑在一起后，速度会比重球慢一些，比轻球快一些。
这显然与“重球先落地”相矛盾。
从这个例子可以看出，即使我们没有足够的物理知识，仅仅依靠逻辑思维也可以得出一些重要的定理。
所以我们说排中律是最强的思维武器。
按照全国高考模式，孩子仅通过简单的逻辑分析，在数学、物理、英语考试中，每门课多得三到五分应该不难。
家长们可以拿“两个铁球同时落地”为例，让孩子体会反证法。
一般来说，正的直接证明比较困难，情况较多或复杂，命题的否定比较简单，经常使用归谬法。
应用技巧：根据命题中的“关键词”来找结论的反面。
见到这样的关键词，就可以尝试反证法，常用关联词如下：（1）“等于” vs “不等于”（2）“大于” vs “不大于”（3）“小于” vs “不小于”（4）“是” vs “不是”（5）“都是” vs “不都是”（6）“至少一个” vs “一个也没有”（7）“至多m个” vs “至少（m+1）个”。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～以下是几个例题，后面的可能稍有难度，一时看不懂不要紧，可以先关注，待孩子稍大了再跟孩子慢慢交流：例1:给6个同学13个苹果，那么至少有一个同学有2个以上的苹果。
浅谈反证法的原理及应用
反证法，又称绝对可信法，它是一种建立事实与结论之间联系或
者验证事实的逻辑推理方法。
它的特点是先提出一个假设，然后不断
分析、考察这一推测，最后得出一种证据，以此来支持最初提出的十
字论断，以结束讨论。
反证法通常会让讨论者穷尽一方面之所有推类
与反例，以全盘考虑，从而得出一个普遍性的小结或者断定。
反证法在历史上的应用十分的广泛，早在古希腊就有关于反证法
的描述和使用。
古希腊哲学家苏格拉底就是反证法的代表者，他提出
了2种反证法来验证理论或者结论：证明法和拆解法。
另一位哲学家
阿基米德也使用了反证法，他把事实拆分成更小的部分，从而查找最
终的结论。
到中世纪，反证法对哲学家们来说，尤其是僧侣学者，而言则甚
为重要，他们很多时候就是通过反证法讨论和找到自己的观点和结论。
在现代，反证法的应用更加的广泛，出现在法律、社会科学研究、教育、商业、甚至是人际关系之中，在这些领域中，反证法都是一个有
效得、公正合理得逻辑思维模式，以此来解决问题。
反证法的基本思想主要是：认为一个主张或者理论是正确的，那
么就必须能够反驳那些与之相反的观点；如果反驳正确，则该观点可
以被接纳；但如果反驳失效，则可以放出原观点。
因此，反证法在许
多领域中都得到了贴切的应用，有助于让我们做出更好的决定和正确
的判断。
浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法亦称“逆证”。
其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。
问题：反证法的逻辑基础是什么？
回答：
从整体上看，反证法的逻辑基础是排中律，但更细致的分析表明，反证法每一具体步骤的
A⇒”细致地分成 4 步：
逻辑依据并不完全相同。
我们把反证法证明一个命题“B
第一步假定B不成立，则B成立，用了排中律。
第二步对“A且B”进行正确推理，用了充足理由律。
（理解反证法的本质，B参加推理应是必不可少的）
第三步对“A且B”的正确推理终于得出C且C，依据矛盾律得出矛盾。
第四步因而B不成立，再由排中律得出B成立。
这里的C可以代表已知条件，也可以代表公理、定义、定理，还可以代表反证法的临时假设或“A且B”且所能推出的某一个命题。
将上述步骤的中间过程省去，反证法可以概括成这样一个公式：
否定——推理——否定。
即从否定结论出发，经过正确的推理，达到新的否定。
这里的实质是一种间接的肯定。
所以，
A⇒”逻辑等价的命题为真，从而间接地证明反证法也是这样一种方法，通过证明与命题“B
A⇒”。
了命题“B。
反证法及其应用反证法是一种常用的推理方法，即通过反向思考，从反面证明某一命题的正确性。
它通常用于证明某一命题的必要性或充分性，也可以用于否定某一命题的正确性。
在进行反证时，我们首先要假设待证命题为假，然后尝试寻找证据来反驳这个假设，如果成功反驳假设，那么就证明了待证命题的正确性。
反证法在数学和逻辑学等领域中有广泛应用，可以用于证明数学定理、解决逻辑问题等。
例如，在证明某一数学定理时，我们可以假设定理不成立，然后寻找证据来反驳假设，如果成功反驳假设，那么就证明了定理的正确性。
同样地，在解决逻辑问题时，我们也可以假设待解决问题的解法不正确，然后寻找证据来反驳假设，如果成功反驳假设，那么就证明了问题的解法的正确性。
总之，反证法是一种常用的推理方法，它可以用于证明某一命题的必要性或充分性，也可以用于否定某一命题的正确性。
它在数学和逻辑学等领域中有广泛应用，可以帮助我们更好地解决问题。
此外，反证法也可以应用于其他领域，比如哲学、法律、经济学等。
在哲学领域，反证法常常用于证明某一观点的正确性，通过反向思考来检验观点的可行性。
在法律领域，反证法也可以用于证明某一法律条文的正确性或合理性。
在经济学领域，反证法也可以用于证明某一经济理论的正确性或可行性。
总结来看，反证法是一种有效的推理方法，它可以帮助我们更好地解决问题，提高我们的思维能力和逻辑性。
在使用反证法时，我们要注意避免假设漏洞，同时要注意推理的严谨性，确保反证的结论是正确的。
反证法对于我们的学习和工作都有很大的帮助，它可以帮助我们更好地分析问题、解决问题，为我们的学习和工作带来更大的成功。
因此，我们应该加强对反证法的学习，并积极运用反证法来解决问题，为我们的学习和工作做出更大的贡献。
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
反证法逻辑原理即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学邮编：410003 ）【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。
这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。
一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义，定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B 为真。
【关键词】：反证法证明矛盾逆否命题一反证法出现反证法（Proofs by Contradiction ,又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。
反证法常称作RedUCtiO ad absurdum ,是拉丁语中的转化为不可能”，源自希腊语中的“ ει? To αδυνατο阿基米德丫经常使］用它。
二反证法所依据的逻辑思维规律反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律”和排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以否定的结论”必为假。
再根据排中律”，结论与否定的结论” 这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法是间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法”。
反证法在数学中经常运用。
当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。
三反证法所依据的逻辑基础牛顿曾经说过：反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的证题可以简要的概括为否定→得出矛盾→否定”。
即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的否定之否定”。
应用反证法的是：欲证若P则Q'为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。
反证法的证明主要用到一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若A则B ,则此命题有4种情况：1. 当A为真，B为真，则A→B为真，「B→「A为真；2. 当A为真，B为假，贝U A→B为假，「B→「A为假；3. 当A为假，B为真，则A→B为真，「B→「A为真；4. 当A为假，B为假，贝U A→B为真，「B→「A为真；二一个命题与其逆否命题同真假与若A则B先等价的是它的逆否命题若「B则「A假设「B,推出「代就说明逆否命题是真的，那么原命题也是真的.但实际推证的过程中，推出「A是相当困难的，所以就转化为了推出与「A相同效果的内容即可，这个相同效果就是与A（已知条件）矛盾,或是与已知定义，定理,大家都知道的事实等矛盾.这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。
一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。
这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及且……则B。
于是逆否命题就是：若「B,则「A或「C （定义）或「D （定理）或「E （正确的逻辑推理）或「F（客观事实）以及或「……，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。
在数学的证明中，经常运用反证法。
在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。
设A1，A2，…，Am是命题公式，如果A1 A2…Am是可满足的，称A1，A2，…，Am是相容的。
如果A1 A2…Am是矛盾式，称A1 , A2 ,…，Am是不相容的。
如果要证A1 A2…Am = C只需证明A1 A2…Am > C是重言式。
而A1 A2 …Am —. C—（A1 A2 …Am） C—（A1 A2 …Am - C）由此可知A1 A2…Am - C为重言式，当且仅当A1 A2…Am - C是矛盾式。
从而得到如A1 , A2 ,…，Am , -C不相容（即-C （A1 A2…Am）这就是A1 A2…Am > C的逆否命题得证），则C是A1 , A2,…，Am的有效结论。
因此我们可以把-C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1 , A2 ,…, Am的有效结论。
这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。
例如：「B→「A为真，就是「B且A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……→「A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B 为真（即原命题为真），当然也可以是另外的情形口：「B且A且C （定义）且D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……则A且C （定义）且「D （定理）且E （正确的逻辑推理）且F（客观事实）以及……，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B 为真（即原命题为真）等等。
四反证法步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
（若「B为真）（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
（即推出「A或「C （定义）「D （定理）或「E （正确的逻辑推理）或「F（客观事实）以及或「……为真）（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
（即A→B为真）五反证法在简易逻辑中适用题型:（1）唯一性命题（2）否定性题（3）至多”至少”型命题1•基本命题，即学科中的起始性命题。
此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。
因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。
例1求证两条直线如果有公共点，最多只有一个。
证明：假设它们有两个公共点A，B ,这两点直分别是a，b那么A，B都属于a，A，B也都属于b，因为两点决定一条直线，所以a，b重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立，原命题正确，公共点最多只有一个。
2•否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。
此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。
例2 AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径，求证：AB、CD不能互相平分。
证明：假设弦AB、CD被P点平分，由于P点一定不是圆心，连接°P，则有OP — AB,OP—CD，即过一点P有两条直线与O P垂直，这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦AB、CD不能被P 平分。
例3 证明函数y = CoS ■ X不是周期函数。
证明：假设函数y=cos X是周期函数，即存在T=O，使CoS X T =cos ' X2 2 _令x=0 ,得T=4k ∏（k = 0，k 乙不妨设k>0）。
2 ---------------------------------------------------令x=4 ∏ ,得4二2 4k2二2= 2m （m N）1 k2 =m N但是当k>0时， k< 1 k 2 <k+1 ,因而∙ 1 k 2不是整数(这否定了相邻两个整数之间没整数的事实)，矛盾 故函数y = CoS X 不是周期函数。
例4求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和则由P 是奇数得a 、b 必为一奇一偶。
不妨设a=2s+1，b=2t ，其中S 、t 为整数，p=a 2+b 2=(2s+1) 2+(2t)2=4(s 2+s+t 2)+1 ,这与 P 是 4n+3 型的整数矛盾(这否定了条件P 是4n+3型的整数)。
例5证明：△ ABC 内不存在这样的点P ,使得过P 点的任意一条直线把△ABC证明：假设在△ ABC 内存在一点P ,使得过P 点的任一条直线把△ ABC 的面积分成 相等的两部分。
连接AP 、BP 、CP 并分 别延长交对边于 D 、E 、F O由假设，S △ABD=S △ADC ,于是D 为 BC的中点，同理E 、F 分别是AC 、AB 的中点，从而P 是厶ABC 的重心。
过P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于M 、N ,贝U ,这与假设过P 点的任一条直线把△ ABC 的面积分成相等的两部分矛 盾。
(这否定了题设过P 点的任一条直线把△ ABC 的面积分成相等的两部 分)3•限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。
例6已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0最多只有一个实数根证：假设方程至少有两个根 X 1, X 2且χi∙z x 2 ,则有 f(x 1 )=f(x 2) (X^J X 2 )这与函数单调的定义显然矛盾(这否定了函数单调的定义)，故命题成 立。
例7平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同 时在这六个圆上。
证：题意即这六个圆没有共同的交点。
如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的 线段中，总有两条线段所成的角不超过 60°。
这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等， 那么两圆圆心在对方圆内；证明：假设P 是4n+3型的整数，且P 能化成两个整数的平方和，即 2 p=a +b 2的面积分成相等的两部分。
H否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。
(这否定了已知条件)例8 若p>0，q> 0，p3 + q3 = 2。
