(整理版)高考数学知识点讲座考点46分类分步计数原理,
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加〔*〕号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用两个计数原理的理解和应用；排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质.1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法3两个根本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4两个根本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成〞，乘法原理是“分步完成〞5原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类方法〞，是说每种方法“互斥〞，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏，进行分类时，要求各类方法彼此之间是相互排斥的，不管那一类方法中的哪一种方法，都能独立完成这件事，只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否那么不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤〞，是说每个步骤都缺乏以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理 可以看出“分〞是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++, 12n N m m m =⨯⨯⨯6．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m 〔m n ≤〕个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．7．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m 〔m n ≤〕个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 8．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+〔,,m n N m n *∈≤〕9.阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．10．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 11.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合12．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 13．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 14.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；15．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC 16.解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类〞还是“分步〞完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序〞的还是“无序的〞，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：〔1〕特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个〔答案：30个〕〔2〕科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，防止重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，那么不同的选取法有_______种〔答案：350〕分组〔堆〕问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；〔3〕插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同排法种数是______ (答案:3600)〔4〕捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部〞的排法，即将相邻的元素当成“一个〞元素进行排列，然后再局部排，例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种〔答案：240〕〔5〕排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条〔答案：30〕〔6〕剪截法〔隔板法〕：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段〔插入m －1块隔板〕，有11--m n C 种方法.〔7〕错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。
关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：①5个元素的全排列为：55120A =；②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)351C ⨯ 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)252C ⨯ 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)159C ⨯ 种。
∴ 120-1-351C ⨯-252C ⨯-159C ⨯＝44.用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题。
三．考点逐个突破1.分类、分步计数原理例1 电视台在“欢乐今宵〞节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，假设先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：〔1〕幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；〔2〕幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果例2 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32 点评：解此题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解 例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 答案：C 45·24=80个例1 分别求出符合以下要求的不同排法的种数〔1〕6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；〔2〕6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；〔3〕从6名运发动中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；〔4〕6人排成一排，甲、乙必须相邻；〔5〕6人排成一排，甲、乙不相邻；〔6〕6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边〔甲、乙、丙可以不相邻〕解：〔1〕分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066=A〔2〕甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有55A 种选法，故排法种数为4805514=A A〔3〕有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次那么不受限制，排法数为35A ；②乙不跑第一棒，那么跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A 种选法，其余两棒次不受限制，故有221414A A A 种排法，由分类计数原理，共有25224141435=+A A A A 种排法〔4〕将甲乙“捆绑〞成“一个元〞与其他4人一起作全排列共有2405522=A A 种排法〔5〕甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544A A 〔或用6人的排列数减去问题〔2〕后排列数为48024066=-A 〕〔6〕三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336=A C 种 点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻 例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求以下抽取方法各多少种？〔1〕没有次品；〔2〕恰有两件是次品；〔3〕至少有两件是次品 解：〔1〕没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597=C 种 〔2〕恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397=C C 种 〔3〕至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973C C 种 第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973C C 种 按分类计数原理有4469763329723397=+C C C C 种点评：此题是只选“元〞而不排“序〞的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第〔3〕题采用先从3件次品抽取2件〔以保证至少有2件是次品〕，再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823=C C 种，其结论是错误的，错在“重复〞：假设3件次品是A 、B 、C ，第一步先抽A 、B 第二步再抽C 和其余2件正品，与第一步先抽A 、C 〔或B 、C 〕，第二步再抽B 〔或A 〕和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823C C 中算作3种不同抽法 例3 求证：①m n m n m n A mA A =+---111 ；②12112++-+=++m n m n m n m nC C C C 证明：①利用排列数公式左()()()()1!1!1!!n m n n m n m -⋅-=+---()()()()1!1!!n m n m n n m --+⋅-==-()==-m n A m n n !!右另一种证法：〔利用排列的定义理解〕从n 个元素中取m 个元素排列可以分成两类：①第一类不含某特殊元素a 的排列有m n A 1-第二类含元素a 的排列那么先从()1-n 个元素中取出()1-m 个元素排列有11--m n A 种，然后将a 插入，共有m 个空档，故有11--⋅m n A m 种，因此m n m n m n A A m A =⋅+---111②利用组合数公式左()()()()()!!2!11!1!1!m n m n m n m n m n m n -++--+--+= ()()()()()()()[]11211!1!1!+-+++++--⋅+-+m n m m m m n m n m n m n ＝()()()()()()()==+-++=+++-+=++12!1!1!212!1!1!m n C m n m n n n m n m n 右 另法：利用公式111---+=m n m n m n C C C 推得左()()==+=+++=+++++-+1211111m n n n m n m n m n m n m n C C C C C C C 右 点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数根本性质例4 f 是集合{}d c b a A ,,,=到集合{}2,1,0=B 的映射〔1〕不同的映射f 有多少个？〔2〕假设要求()()()()4=+++d f c f b f a f 那么不同的映射f 有多少个？分析：〔1〕确定一个映射f ，需要确定d c b a ,,,的像〔2〕d c b a ,,,的象元之和为4，那么加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：〔1〕A 中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333=⋅⋅⋅个不同映射〔2〕根据d c b a ,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314=P C 个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624=C 个 由分类计数原理共有1+12+6=19〔个〕点评：问题〔1〕可套用投信模型：n 封不同的信投入m 个不同的信箱，有nm 种方法；问题〔2〕的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例1 将6本不同的书按以下分法，各有多少种不同的分法？⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；⑸分成3堆，每堆2 本。
