2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与
必要条件
【2020年高考会如此考】
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得．
3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定．
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q
逆命题若q，则p
否命题若綈p，则綈q
逆否命题若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．
(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案②③
2．(2020·深圳)已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的
距离等于圆的半径，即有|a|
2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．
答案A
3．(2011·山东)关于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案 B
4．(2020·湖南) 命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）
A ．若α≠4π,则tanα≠1
B ．若α=4
π,则tanα≠1 C ．若tanα≠1,则α≠4π
D ．若tanα≠1,则α=4
π 解析 因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4
π,则
tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4
π”.
答案 C
5．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . 答案 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1
考向一 命题正误的判定
【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：
①A ⊄B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ；
②A ⊄B ⇔A ∩B ＝∅；
③A ⊄B ⇔B ⊄A ；
④A ⊄B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．
[审题视点] 关于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⊄B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⊄B 而A ∩B ＝{2}．
③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⊄B 但B ⊆A .
④正确．
答案 ④
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最差不多的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
【训练1】给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若a
b＜1，则
b
a＞1；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中不正确命题的序号是()．
A．①②③B．①②
C．②③D．①③
解析关于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；关于②，
可举反例：如a、b异号，尽管a
b＜1，但
b
a＜0，故②错；关于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，
明显为偶函数，故选B.
答案 B
考向二四种命题的真假判定
【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．
A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
[审题视点] 分清命题的条件和结论，明白得四种命题间的关系是解题关键．
解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D
判定四种形式的命题真假的差不多方法是先判定原命题的真假，再判定逆命题的真假，然后依照等价关系确定否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不行判定，那就第一判定其逆否命题的真假．
【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，假如f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，
如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2
e x，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，
故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．
答案 C
考向三充要条件的判定
【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；
(2)关于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)(y－2)＝0.
[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判定所给命题间的关系．
解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，因此只有A＝B.故p是q的充要
条件．
(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，明显綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，依照原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(3)明显x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，因此p是q的必要不充分条件．
(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，
因此p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．
判定p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判定它的等价命题．
【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．
答案：C
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题能够看出，高考要紧以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一样难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式要紧有两种：一是判定指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判定充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；
二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题尽管属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．
一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增
数列”的()．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
高考数学复习考点知识与题型专题讲解 命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒p p是q的充要条件p⇔q p是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p 常用结论 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则A B； ③若p是q的必要不充分条件，则B A； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2－2x－3>0”是命题．(×) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√) (4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√) 教材改编题 1．“a>b”是“ac2>bc2”的() A．充分不必要条件
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与 必要条件 【2020年高考会如此考】 1．考查四种命题的意义及相互关系． 2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得． 3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定． 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式 原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若綈p，则綈q 逆否命题若綈q，则綈p (2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件． 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法 充分条件、必要条件的判定方法 (1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． (2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/ p p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件p⇔q p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”．( ) (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．( ) (5)q不是p的必要条件时,“p ⇒/q”成立．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√ [教材衍化] 1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”． 答案：若x≤y,则x2≤y2假 2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R,则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件． 解析：2－x≥0,则x≤2,(x－1)2≤1,则－1≤x－1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 [易错纠偏] (1)命题的条件与结论不明确； (2)对充分必要条件判断错误． 1．命题“若a2＋b2＝0,a,b∈R,则a＝b＝0”的逆否命题是________． 答案：若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2＋b2≠0 2．条件p：x>a,条件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________； (2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|x>a},B＝{x|x≥2}, (1)因为p是q的充分不必要条件, 所以A B,所以a≥2； (2)因为p是q的必要不充分条件, 所以B A,所以a<2. 答案：(1)a≥2(2)a<2 四种命题的相互关系及真假判断 (1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”,命题q：“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( ) A．逆命题B．否命题 C．逆否命题D．否定 (2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0,x,y∈R,则x＝y＝0”的逆否命题是( ) A．若x≠y≠0,x,y∈R,则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0
考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件 （1）理解命题的概念. （2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. （3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 一、命题及其关系 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 (2)四种命题间的关系
(3)常见的否定词语 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 (1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件； (5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论 (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件； ④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件 知识梳理 1．命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 (1) 四种命题 (2) 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件． (3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件． (4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件． (5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 典例剖析 题型一四种命题及其相互关系 例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案B 解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是() A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 答案C 解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C. 解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2.一些常见词语的否定 例2有下列几个命题： ①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案②③ 解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误． ②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确． 变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号) ①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”； ②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题； ③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”； ④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．
【高频考点解读】 1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 【热点题型】 题型一命题及其相互关系 例1．下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 答案：A 【提分秘籍】 (1)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系． (2)要留意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”． (3)推断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接推断，也可使用特值进行排解． 【举一反三】 (1)有下列几个命题： ①“若a>b，则a2>b2”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2
2022年新高考数学总复习：充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件p⇒q且q p p是q的__必要不充分__条件p q且q⇒p p是q的__充要__条件p⇔q p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p 归纳拓展 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 考向1充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断 例2 ( 2020·北京，9,4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(C) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [解析](1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ， (ⅰ)若k为奇数，则k＝2n＋1，n∈Z，此时α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β； (ⅱ)若k为偶数，则k＝2n，n∈Z，此时α＝2nπ＋β，n∈Z，sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立． (2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也
专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件 命题X 围：命题及真假判断、四种命题及其关系、充分条件、必要条件、充要条件． [基础强化] 一、选择题 1．[2021·某某某某一中测试]命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的逆命题是() A ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c 2．[2021·全国乙卷]已知命题p ：∃x ∈R ，sin x ＜1；命题q ：∀x ∈R ，e |x |≥1，则下列命题中为真命题的是() A ．p ∧q B ．綈p ∧q C ．p ∧綈q D ．綈(p ∨q ) 3．命题“a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是() A ．a ，b ∈R ，若a ≠b ≠0，则a 2＋b 2＝0 B ．a ，b ∈R ，若a ＝b ≠0，则a 2＋b 2≠0 C ．a ，b ∈R ，若a ≠0且b ≠0，则a 2＋b 2≠0 D ．a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 4．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是() A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件 5．设x ∈R ，则“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的() A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．[2021·全国甲卷]等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则() A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．设p ：|x －a |>3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是() A.⎣⎡⎦⎤－4，72 B ．(－∞，－4]∪⎣⎡⎭ ⎫72，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－4，72 D ．(－∞，－4)∪⎝⎛⎭ ⎫72，＋∞ 9．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“|＋|＝|－|”是“△ABC 为直角三角形”的()
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的 命题的逆命题、否命题和逆 否命题，会分析四种命题的 相互关系． 3.理解必要条件、充分条件与 充要条件的意义. 1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题． 2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式： (1)考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充 要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题 的重点． (2)考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形 式为考查重点．如20XX年湖南T2. 3.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题： (1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以 函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、 圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主．如 20XX年北京T3，天津T2，安徽T6等． (2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其 要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题． (3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值 范围．如20XX年陕西T12. [归纳·知识整合] 1．命题 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． [探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数可能有几个？ 提示：由于原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4. 3．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q. [探究] 2.“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？ 提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的． 3．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？ 提示：逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即p⇒/ q，故p是q的必要不充分条件． [自测·牛刀小试] 1．(教材改编题)给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：选D逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，是真命题． 否命题为：若x2＋y2≠0，则x≠0或y≠0，是真命题． 逆否命题为：若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0，是真命题． 2．下列命题：
高考数学总复习： 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 学习要求:1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以①判断真假的陈述句叫做命题,其中②判断为真的语句叫做真命题,③判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系: (2)四种命题的真假关系: (i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦相同的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧没有关系. ▶提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性. 3.充分条件与必要条件 (1)若p⇒q,则p是q的⑨充分条件,q是p的⑩必要条件. (2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件.
(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件. (4)若p⇔q,则p是q的充要条件. (5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件. ▶提醒不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”. 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为: (1)若A⊆B,则p是q的充分条件; (2)若A⊇B,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; (5)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件; (6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)“x2-3x+2=0”是命题.() (2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. () (3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.() (4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.() (5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.() (6)一个命题非真即假.() 答案(1)✕(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)√ 2.“若x>1,则x>0”的否命题是() A.若x>1,则x≥0 B.若x≤1,则x>0 C.若x≤1,则x≤0 D.若x<1,则x<0
课题 第二节 命题及其关系、充分条件和必要条件 教学目标： 知识与技能：了解命题的概念及四种形式，会分析四种命题的相互关系，理解充分条件，必要条件，充要条件的意义。 过程与方法：会写出命题四种形式，判断两命题之间的充分条件，必要条件，充要条件 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验命题的相互关系，解决实际问题的方法。 教学重点： 命题四种形式及相互关系 教学难点：理解充分条件，必要条件，充要条件的意义 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．命题的概念 2．四种命题及其相互关系 3．四种命题的真假性之间的关系: 若两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 4．充要条件 二．例题讲解 【典例1】(1)(2014·莆田模拟)命题“若 则tan ” 的逆否命题是( ) (A)若 则tan (B)若 则tan (C)若tan 则 (D)若tan 则 (2)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) (A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B)若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C)若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 (D)若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【思路点拨】 (1)把否定的结论作条件、否定的条件作结论可得出． (2)条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出 答案 （1）C （2） B 【变式训练】已知：命题“若函数f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) (A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 4πα=，4πα=，4πα=，1α=,4πα≠,4πα≠1α≠1α≠1α≠1α≠
课时规范练3命题及其关系、充要条件 基础巩固组 1.命题“若x∈M,则x∉N”的否命题是() A.若x∈M,则x∈N B.若x∈M,则x∉N C.若x∉M,则x∈N D.若x∉M,则x∉N 2.(2022浙江,4)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2022山东潍坊一模)已知a>0,则“a a>a3”是“a>3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2022广东广州三模)设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0表示的是圆,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2022山西晋城三模)已知向量a=(1,-1),b=(m2,m),则“m=-1”是“a∥b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题“若sin α=sin β,则α=β”的否命题为命题.(填“真”或“假”) 7.若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件是1 9.在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”,那么f(p)等于() A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知s,r都是q的充分条件,p是q的必要条件,r是p的必要条件,则() A.s是r的既不充分也不必要条件 B.s是p的必要条件 C.q是r的必要不充分条件 D.p是r的充要条件 11.已知命题p:x2-4x+3≤0,命题q:x2-4x+m≥0.若p是q的充分条件,则m的取值范围是() A.[4,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,3] 创新应用组 12.命题p:若x>0,则x>a;命题q:若m≤a-2,则m 核心素养测评二充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 (25分钟50分) 一、选择题(每小题5分，共35分) 1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n 4.“m>n”是“log2m>log2n”的 () A.充分不必要条件 C.充要条件 【解析】选B.m>n得不到log2m>log2n,比如2>-1,log2(-1)无意义;log2m>log2n,根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到m>n;所以“m>n”是“log2m>log2n”的必要不充分条件. 5.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) 【解析】选 B.ln(x+1)<0⇔0 高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语 1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养； 2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念 A B B A A B 2.全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题. （3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”. 2.存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题. （3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为 00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”. 3.全称命题与特称命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. （2）含有一个量词的命题的否定 充分条件、必要条件的判断 【方法储备】 充要关系的几种判断方法： （1）定义法：①若p ⇒q,q ⇏p ，则p 是q 的充分而不必要条件； ②若p ⇏q,q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③若p ⇒q,q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； ④若p ⇏q,q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）等价转化法：即利用p ⇒q 与¬q ⇒¬p ；q ⟹p 与¬p ⇒¬q ；p ⟺q 与 2021年高考数学总复习 第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教 案 理 北师大版 考纲要求 1．理解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 知识梳理 1．命题 能够__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中__________的命题叫作真命题，__________的命题叫作假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系． (2)四种命题的真假关系 ①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________． 基础自测 1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题 2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．a ＜0，b ＜0的一个必要条件是( )． A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞ C ．a b ＞1 D ．a b ＜－1 4．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A．l1∥平面α，l2∥平面α B．直线l1⊥直线l3，直线l2⊥直线l3 C．l1平行于l2所在的平面 D．l1⊥平面α，l2⊥平面α 5．命题“如果x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为__________． 思维拓展 1．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？ 提示：逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即pq，故p是q的必要不充分条件． 2．“命题的否定”与“否命题”一样吗？ 提示：不一样．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则q”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若p，则q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论． 3．如何理解充分条件与必要条件的传递性与对称性？ 提示：传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件；对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． 一、四种命题及其关系 【例1】命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是__________． 方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假． 2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假． 3．当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变． 请做[针对训练]1 二、充分条件与必要条件的判定 【例2－1】已知各个命题A，B，C，D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的__________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)． 【例2－2】是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？ 方法提炼判断充分条件、必要条件的方法 1．命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； (4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分不必要条件； (2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要不充分条件； (3)若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件． 3．等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断． 请做[针对训练]2 三、充分条件与必要条件的证明及应用 【例3－1】“x＞0”是“3 x2＞0”成立的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一, 考查形式以选择题为主,试题多为中低档题目, 命题的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式,主要考查命题的四种形式及命题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断,这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题,考查考生的逆向思维. 一、知识梳理名师一号P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题; 2．四种命题及其关系 1四种命题间的相互关系． 2四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关． 注意：补充 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于= 大于> 小于< 是 否定词语不等于≠不大于≤不小于≥不是原词语都是至多有一个至多有n个或 否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且 原词语至少有一个任意两个所有的任意的否定词语一个也没有某两个某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 1充分条件： p 则p是q的充分条件 q 即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立, 亦即要使q 成立,有 p 成立就足够了,即有它即可; 2必要条件： q p ⇒ 则q 是p 的必要条件 q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝ 即没有q 则没有 p ,亦即q 是p 成立的必须要有的条 件,即无它不可; 补充3充要条件 q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔ 则 p 、q 互为充要条件既是充分又是必要条件 “p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当 p ”等 补充2、充要关系的类型 1充分但不必要条件 定义：若q p ⇒,但p q ⇒/, 则p 是q 的充分但不必要条件； 2必要但不充分条件 定义：若 p q ⇒,但q p ⇒/, 则 p 是q 的必要但不充分条件 3充要条件 定义：若 q p ⇒,且 p q ⇒,即p q ⇔, 则p 、q 互为充要条件； 4既不充分也不必要条件 命题及其关系、充分条件与必要条件 ■ 考点与要求 1•了解命题的概念. 2•了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3•理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 疯’知识与方法梳理 一、基础知识 A.命题 1 .命题 可以判断真假的陈述句，叫做命题. 注：(1 )数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等. (2)判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点. 例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③ 2x 1 ^3 ；④若a」,c』，则a c =b d . 以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假. “天气不错”的标准不明确.②是陈述句，且能判断正确，因此是命题.对 于③，当x二时，为真；当xT时，为假.这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题.④显然是命题. 2 .假命题、真命题 真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题. 假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做 假命题. 注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 延伸阅读：开句、命题函数、开句的取真集(内容不要求掌握) (1)开句、命题函数 形如’2x 1 =3 : x 3 2 ”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言.这些语句在数理逻辑上叫做开句.开句又叫做命题函数，意思是当变元(这里的x )取不同的个体的时候，就得到不同的命题. 开句常记作P(x)、Q(y)，其中变元x,y是在一定范围里变化.当x取某个个体a时，开句P(x)就变成了命题P(a)(与开句相对，有的书上把命题叫做句).如：对于“x 3 .2 ”而言，当x 时，为真；当时，为假. (2)开句的取真集 对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假.例如，对于吹視泮”而言，“”时为真;时为彳使开句p(x) 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{ x| P(x)}.对开句来说，取真集为{x|x 3 2}={x|x .4}. 解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集. (3)将命题函数P(x)变成命题 命题函数P(x)变成命题的方法有两个. 方法一：将命题函数P(x)中的x用特殊个体a代入，从而得到对特殊个体a进行判断的命题，这种命题叫做单称命题P(a). 例如“张三是共产党员”其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词. 再如，命题函数P(x): x 3 2，对x赋值1,：，可得到命题P(1)和P(3)，即P(1)：1 3 .2，和P(A):(A) 3 .2 . 当然P(1)是真命题，P( -3)是假命题. 方法二：利用量词来限制个体的范围2022届高考数学一轮复习核心素养测评第1章1.2充分条件与必要条件全称量词与存在量词含解析新人教B
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