最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习： 第10章 第3节 二项式定理

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3. 求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式．【梳理自测】一、二项式定理及特点1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．62．(教材改编)二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．143.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________．解析、从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.4. 5678(1)(1)(1)(1)x x x x +++++++中3x 的项的系数是 -121 答案：1.B 2.A 3. －15◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r. (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1.②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .1. 二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 52，则x 在[0,2π]内的值为____．[答案]π6或5π62、多项式x 10＝a 0＋a 1 (x －1)＋a 2·(x－1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为 ( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45 [答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋C 110(x －1)＋C 210(x －1)2＋…＋C 1010(x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.3．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( C ) A ．－5 B ．5 C ．－405 D ．405 ◆以上题目主要考查了以下内容：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －rn (r ＝0,1，…，n ) (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.【指点迷津】1．一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．2．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．3．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．[对应学生用书P172]考向一 二项展开式中的特定项或系数(1)(2013·高考安徽卷)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.(2)(2013·高考江西卷)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40【审题视点】 根据二项展开式的通项公式，令x 的次数为4，则为x 4的项，含x 的次数为0，则为常数项．【典例精讲】 (1)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12. (2)设展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·x 10－2r ·(－2)r ·x －3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r .若第r ＋1项为常数项，则10－5r ＝0，得r ＝2，即常数项T 3＝C 25(－2)2＝40.【答案】 (1)12(2)C【类题通法】 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．1．(2014·浙江省温州市调研)(x －12x)6的展开式中的常数项是________．解析：二项式(x －12x )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r(－12x )r ＝(－12)r C r 6x 3－3r 2， ∴当r ＝2时，T r ＋1是常数项，此时T 3＝154.答案：1541． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r rr r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221-（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

课时作业54 二项式定理一、选择题1．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．－7B ．7C ．－28D ．282．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )．A ．360B ．180C ．90D ．453．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )．A ．－40B ．－20C ．20D ．40 4．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为( )．A ．－240B ．－160C ．160D ．2405．(2012安徽高考)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )．A ．－3B ．－2C ．2D ．36．(2012届安徽皖南八校第一次联考)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为5 670，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )．A ．28B ．48C ．28或48D ．1或287．已知(1＋x )5＝a 0＋a 1x ＋…＋a 5x 5，则a 0－(a 2＋a 4)＝( )． A ．15 B ．－15 C ．14 D ．－14 二、填空题8．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n ＝__________.9．(2012大纲全国高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为__________．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，则该展开式中x 2的系数为__________．三、解答题11．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，已知第6项为常数项． (1)求n ； (2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．12．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．参考答案一、选择题1．B 解析：由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r 28－r ·31r x ＝(－1)r ·C r 8·8382rr r x ---，由8－r －r3＝0，得r ＝6，∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.2．B 解析：由题意可知，n ＝10. 通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 101052r x -，令10－5r2＝0，得r ＝2. 故其常数项为22C 210＝180.3．D 解析：令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝2， ∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r，令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25×a ＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.4．D 解析：由2n＝64，得n ＝6.于是，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x12－3r， 令12－3r ＝0，得r ＝4，故其常数项为(－2)4C 46＝240.5．D 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r (－1)r ＝(－1)r C r51021rx -.要使(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.6．C 解析：T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r8(－a )r x 8－2r.令8－2r ＝0，则r ＝4，此时常数项为C 48(－a )4＝5 670， 解之得a ＝±3.令x ＝1，则得展开式各项系数之和为28或48. 7．D 解析：令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25； 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝0.两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝25， ∴a 2＋a 4＝15，∴a 0－(a 2＋a 4)＝－14. 二、填空题8．3 解析：由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，即2n＝8，n ＝3.9．56 解析：∵C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r，当8－2r ＝－2时，r ＝5.∴系数为C 58＝56.10．180 解析：由题意可知24C 4n 22C 2n ＝563，解得n ＝10.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 10的展开式中，T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r101032r x -， 令10－3r 2＝2，得r ＝2.所以x 2的系数为22C 210＝180. 三、解答题11．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n3n r x-⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r 3rx - ＝C r n⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r23n r x-，∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，此时r 取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2. 12．解：(1)通项T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －r ·(2x )r ＝22r －n C r n x r，由题意知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， ∴n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C 714＝3 432；当n ＝7时，第4项和第5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为22×3－7C 37＝352，22×4－7C 47＝70.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， ∴n ＝12或n ＝－13(舍)．∴T r ＋1＝22r －12C r 12x r.由⎩⎪⎨⎪⎧22r －12C r 12≥2r －－12C r －112，22r －12C r 12≥2r ＋－12C r ＋112， 得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤525，r ≥475，∴r ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11＝22×10－12·C 1012x 10＝332(2x )10.。