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和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的离心率为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵，∴“”是“双曲线”的充要条件。
选C。
2. 在空间直角坐标系中，已知（）C.【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得选B。
3. ，则双曲线的标准方程为（）【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的标准方程为 A.4. 若双曲线（）的离心力为，则该双曲线的渐近线方程为（）B.【答案】C，则离心率则双曲线的渐近线方程为 C.5. 的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为（）【答案】BB.6. ，则（）【答案】D【解析】∴∥D。
7. 平分，则这条弦所在的直线方程是（）B.【答案】C【解析】设这条弦的两端点为，可得的直线方程为 C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8. ）为长轴的两个端点，若在椭圆上存在，则离心率的取值范围为（）B.【答案】A【解析】，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. ）的左焦点在抛物线的准线上，__________．【答案】4的左焦点的准线上，可得，解得，故答案为.10. 的直线经过椭圆两点，则的长为__________．【答案】【解析】椭圆代入椭圆方程，可得，故答案为11. 已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点，，若__________．【答案】【解析】由抛物线，代入抛物线的方程可得，，故答案为.12. 的值为__________．【答案】0【解析】∴。
2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3] B．[﹣11，﹣3] C．[﹣3，11] D．[3，11]3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5 B．7 C．9 D．114．已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．27．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．108．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．[2，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．12．在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB= sinC，则△ABC的面积为．14．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=2sin﹣4sin2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的区间[，]上的最大值和最小值．16．在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M 和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2+a4=10．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（3）当m=2时，若函数g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出M与N的交集、并集，进而确定出交集与并集的补集，即可作出判断．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜3}，M∩N=∅，则∁R（M∪N）={x|x≥3}，∁R（M∩N）=R，故选：D．2．若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3] B．[﹣11，﹣3] C．[﹣3，11] D．[3，11]【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数的最值，就是直线（目标函数）截距的范围，求解即可．【解答】解：不等式组表示的区域如图，其中A（0，2），B（5，3）．C（3，5）z=3x﹣4y的几何意义是直线在y轴上的截距，当直线经过点B（5，3）时，z=15﹣12=3，取最大值为3，当取得点C（3，5）时，z=3﹣20=﹣11，z取最小值为﹣11，所以目标函数z=3x﹣4y的取值范围为[﹣11，3]，故选：A．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，n=5，当S=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=15，n=7，当S=15时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=105，n=9，当S=105时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为9，故选：C4．已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】写出“lg（a﹣b）＞0”的等价命题，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：“lg（a﹣b）＞0”⇔“a﹣b＞1”⇔“a＞b+1”，当“a＞b”时，“a＞b+1”不一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的不充分条件；当“a＞b+1”时，“a＞b”一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要条件；故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要不充分条件；故选：B．5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】延长BO交⊙O于点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故选C6．若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的a，b，c，解方程可得p2=16，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线为x=﹣，由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=16，可得c=2，则离心率e===．故选：A．7．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象，依题意，由图象即可求得max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．8．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．[2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g（x）=|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部加虚部等于0求得a值．【解答】解：（2+ai）（2﹣i）=（4+a）+（2a﹣2）i，∵（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，∴4+a+2a﹣2=0，解得：a=﹣．故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点．【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π11．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】求出圆C的直角坐标方程和直线l的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式能求出圆C的圆心到直线l的距离．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，圆心C（1，0），半径r==1，∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0．∴圆C的圆心到直线l的距离d==．故答案为：．12．在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为18 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数等于5求得r值，则答案可求．【解答】解：由=，令9﹣2r=5，可得r=2，∴x5的系数为．故答案为：18．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由题意和正弦定理可得c值，由余弦定理可得ab的值，整体代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵在△ABC中，∵sinA+sinB=sinC，∴由正弦定理可得a+b=c，又∵a+b=2，C=，∴c=2，解得c=2，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，代值可得4=8﹣3ab，解得ab=，∴△ABC的面积S=absinC==，故答案为：．14．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是[﹣6，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算．【解答】解：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，∵BC==．∴cosB===．∴sinB=．∴A（，），B（0，0），C（，0）．设D（a，0），则=（a﹣，﹣），=（，0）．∴=a﹣6．∵D是BC边上的一点（含端点），∴0≤a≤．∴当a=0时，取得最小值﹣6，当a=时，取得最大值1．故答案为[﹣6，1]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=2sin﹣4sin2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的区间[，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（+）﹣2，根据三角函数周期公式即可求值得解；（2）由x∈[，]，可求+∈[，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵f（x）=2sin﹣4sin2=2sin﹣2（1﹣cos）=2（sin cos+cos sin）﹣2=2sin（+）﹣2．…3分∴f（x）的最小正周期T==6．…5分（2）∵x∈[，]，∴+∈[，]，…7分∵f（x）在区间[，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，…9分而f（）=﹣2，f（）=2，f（）=﹣，…11分∴f（x）的区间[，]上的最大值为2﹣2，最小值为﹣．…13分16．在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A为事件“取出的3件产品中，一等奖多于二等奖”，利用互斥事件加法公式能求出取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A为事件“取出的3件产品中，一等奖多于二等奖”，依题意，则有P（A）==，∴取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴EX==．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M 和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BM．（2）推导出=0，由是平面ACC1A1的一个法向量，且MN⊄平面ACC1A1，能证明MN∥平面ACC1A1．（3）求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）由题意知AC、AB、AA1两两垂直，如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2），∵=（1，0，0），=（0，﹣1，2），∴=0，∴⊥，∴AC⊥BM．（2）∵M（0，1，2），N（），A（0，0，0），B（0，2，0），∴=（），=（0，2，0），∴=0，∴MN⊥AB，∵是平面ACC1A1的一个法向量，且MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1．解：（3）由（2）得=（），=（0，1，﹣2），设平面MBN的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（4，2，1），平面ABN的法向量=（0，0，2），cos＜＞===，∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是锐角，∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值为．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2+a4=10．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过设等差数列{a n}的公差为d，利用等差中项及a2+a4=10可知a3=5，通过S4=4S2可知4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），计算可得d=2，进而计算即得结论；（2）通过++…+=1﹣与++…+=1﹣作差，结合（1）整理可知b n=（n≥2），验证当n=1时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4=10，∴a3==5，∵S4=4S2，∴4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），即20﹣2d=4（10﹣3d），解得：d=2，∴a n=a3+2（n﹣3）=2n﹣1；（2）依题意， ++…+=1﹣，n∈N*，当n≥2时， ++…+=1﹣，两式相减得： =（1﹣）﹣（1﹣）=，由（1）可知b n=（n≥2），又∵b1=（1﹣）a1=满足上式，∴b n=，n∈N*，故T n=++…+，T n=++…++，两式相减得： T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．19．已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线AF1的方程为3x﹣4y+6=0，求出直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，与椭圆联立，得19x2﹣16x﹣44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，则，解得a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）∵椭圆C的方程为，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，由，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，，∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣，﹣）．20．设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（3）当m=2时，若函数g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的极大值和极小值，从而求出m的范围即可；（3）求出g（x）的导数，问题转化为b≤﹣x2在[1，2]恒成立，求出﹣x2在[1，2]上的最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6，x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣，∴a的最大值是﹣；（2）由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，∴f（x）极大值=f（1）=+m，f（x）极小值=f（2）=2+m，故f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，∴m的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣2，+∞）；（3）∵g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0），∴g′（x）=2x﹣+，函数g（x）在[1，2]上单调递减，则g′（x）≤0在[1，2]恒成立，从而b≤﹣x2在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣x2，h′（x）=﹣﹣2x＜0，∴h（x）在[1，2]递减，h（x）min=h（2）=﹣，故b的最大值是﹣．。
2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.sin13π6等于（）A. −32B. −12C. 12D. 322.已知cos（π2+α）=55，且|α|＜π2，则tanα等于（）A. −2B. −12C. 2 D. 123.已知cosα=255，则cos2α的值为（）A. −45B. 45C. −35D. 354.要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数y=sin(2x+π6)的图象（）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度5.下列函数中，周期为π，且在（0，π2）上为增函数的是（）A. y=sin(2x+π2)B. y=cos(2x+π2)C. y=cos(x−π2) D. y=sin(2x−π2)6.已知函数y=3tan x2，x≠（2k+1）π（k∈Z），若y=1，则（）A. x=kπ+π3(k∈Z) B. x=2kπ+π3(k∈Z)C. x=kπ+π6(k∈Z) D. x=2kπ+π6(k∈Z)7.已知平面向量a=（1，-2），b=（-2，m），且a ∥b，则3a+2b等于（）A. (−2,1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (2,−1)8.若向量a，b满足|a|=|b|=2，a与b的夹角为120°，则a（a+b）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 69.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE•BD等于（）A. 1B. 2C. 3D. 410.在△ABC中，若cos A=45，cos B=-35，则cos C的值为（）A. 725B. 1825C. 2425D. −2425二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知cosx1+sinx =-12，则sinx−1cosx=______．12.已知向量a=（2，1），b=（3，4），若向量a与向量λa+b垂直，则λ的值为______．13.函数y=1-8cos x-2sin2x的最大值是______．14.计算cosπ9•cos2π9•cos4π9=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，BE=λAC-AB，且AD•BE=-4，则λ的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知向量b与向量a=（1，-2）的方向相反，且|b|=35．（1）求向量b的坐标；（2）若c=（2，3），求（c-a）•（c-b）的值．17.若5sinα−cosαcosα+sinα=1．（1）求tanα的值；（2）求cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα的值．18.已知α，β∈（0，π2），cosα=45，cos（α+β）=35．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．19.已知a=（1，3），b=（2，m）．（1）当3a-2b与a垂直时，求m的值；（2）当a与b的夹角为120°时，求m的值．20.已知函数f（x）=4cos x sin（x-π6）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值与最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：由cos（+α）=，得-sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴-，则cosα==，则tanα=．故选：B．由已知求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴．故选D．4.【答案】C【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-]=cos2x的图象，故选：C．已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=-sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．由已知可得，即，k∈Z，则x值可求．本题考查由已知三角函数值求角，考查了三角方程的解法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：向量=（1，-2），=（-2，m），且∥，∴1×m-（-2）×（-2）=0，解得m=4，∴=（-2，4），∴3+2=（3，-6）+（-4，8）=（-1，2）．故选：C．根据平面向量的共线定理求出m的值，再计算3+2．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°-60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2-1=1，故选：A．通过=+，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为+．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=-，得sinB=，∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．由已知利用平方关系分别求得sinA，sinB的值，再由两角和的余弦求得cosC 的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的余弦，是基础的计算题．11.【答案】12【解析】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1-sin2x=cos2x，则（1-sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=-，∴=-=，故答案为：．由同角三角函数基本关系式可得=-，结合已知得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】-2【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=-2；故答案为：-2根据题意，由向量的坐标计算公式可得λ+的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积与向量垂直的关系．13.【答案】9【解析】解：函数y=1-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9，当cosx=-1时，函数y取得最大值是2×（-1-2）2=9．故答案为：9．把函数y化为关于cosx的二次关系，求出函数y的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】18【解析】解：cos•cos•cos====．故答案为：把要化简的式子分子分母同时乘以最小角的正弦，依次利用倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础题．15.【答案】311【解析】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，∵=λ-，∴•=（+）•（λ-）=（-）••-+=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4，解得λ=，故答案为：根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）设b=-λa，λ＞0，则b=（-λ，2λ），则|b|2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=-3（舍去），∴b（-3，6），（2）∵c（2，3）∴c-a=（2，3）-（1，-2）=（1，5），c-b=（2，3）-（-3，6）=（5，-3），∴（c-a）•（c-b）=5-15=-10．【解析】（1）设=-λ，λ＞0根据向量的模即可求出，（2）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.【答案】解：（1）由5sinα−cosαcosα+sinα=1，得5tanα−11+tanα=1，即5tanα-1=1+tanα，解得tanα=12；（2）cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα=1+tanα1−tanα+sinαcosαsinα+cosα=1+tanα1−tanα+tanαta nα+1=1+121−1+121+1=175．【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．（1）把已知等式化弦为切，求解可得tanα的值；（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tanα得答案．18.【答案】解：（1）∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），又cosα=45，cos（α+β）=35，则sinα=2α=35，sin（α+β）=1−cos2(α+β)=45，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=4 5×45−35×35=725；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=3 5×45−35×45=0，由α，β∈（0，π2），得2α+β∈（0，32π），∴2α+β=π2．【解析】（1）由已知分别求得sinα，sin（α+β）的值，由sinβ=sin[（α+β）-α]，展开两角差的正弦得答案；（2）由cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]，展开两角和的余弦求得cos（2α+β），结合角的范围可得2α+β的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的正弦、余弦，训练了利用已知角的三角函数值求角，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，a=（1，3），b=（2，m），则3a-2b=（-1，33-2m），若3a-2b与a垂直时，则有（3a-2b）•a=-1+9-23m=0，解可得m=433；（2）a=（1，3），b=（2，m），则|a |= 1+3=2，|b |= m 2+4，且a •b =2+ 3m ，又由a 与b 的夹角为120°， 则有cos120°=a ⋅b |a ||b|= 3m 2 m 2+4=-12， 变形可得：2+ 3m + m 2+4=0解可得m =-2 3，故m =-2 3． 【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3-2的坐标，又由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m 的值， （2）根据题意，由向量夹角公式计算可得cos120°=，代入数据可得=-，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量夹角公式的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=4cos x sin （x -π6）+1=4cos x （sin x cos π6-cos x sin π6）+1=2 3sin x cosx-2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x=2（ 32sin2x -12cos2x ） =2sin （2x -π6），所以f （x ）的最小正周期为T =2πω=π；（2）x ∈[π4，2π3]，则2x -π6∈[π3，7π6]；当x ∈[π4，π3]时，2x -π6∈[π3，π2]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递增； 同理，x ∈[π3，2π3]时，2x -π6∈[π2，7π6]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递减；又f （π4）=2sin π3=2，f （π3）=2sin π2=2，f （2π3）=2sin 7π6=-1，f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的性质求出它的最小正周期；（2）求出x∈[，]时2x-的取值范围，根据正弦函数的正弦求出它的最大和最小值．本题主要考查了角函数图象和性质应用问题，根据三角恒等变换进行化简是解题的关键．。
2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.sin 等于（ ）13π6A.B.C.D. ‒32‒1212322.已知cos （+α）=，且|α|＜，则tanα等于（ ）π255π2A. B.C. 2D.‒2‒12123.已知cosα=cos2α的值为（ ）255A.B.C.D.‒4545‒35354.要得到函数y =cos2x 的图象，只需要把函数的图象（ ）y =sin(2x +π6)A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度π3π3C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度π6π65.下列函数中，周期为π，且在（0，）上为增函数的是（ ）π2A.B.C.D.y =sin(2x +π2)y =cos(2x +π2)y =cos(x ‒π2)y =sin(2x ‒π2)6.已知函数y =tan ，x ≠（2k +1）π（k ∈Z ），若y =1，则（ ）3x2A. B.x =kπ+π3(k ∈Z)x =2kπ+π3(k ∈Z)C.D.x =kπ+π6(k ∈Z)x =2kπ+π6(k ∈Z)7.已知平面向量=（1，-2），=（-2，m ），且∥，则3+2等于（ ）⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b A. B. C. D. (‒2,1)(1,‒2)(‒1,2)(2,‒1)8.若向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）等于（ ）⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗a ⃗b A. 1B. 2C. 3D. 69.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，则•⃗AE 等于（ ）⃗BDA. 1B. 2C. 3D. 410.在△ABC 中，若cos A =，cos B =-，则cos C 的值为（ ）4535A.B.C.D.72518252425‒2425二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知=-，则=______．cosx 1+sinx 12sinx ‒1cosx 12.已知向量=（2，1），=（3，4），若向量与向量λ+垂直，则λ的值为______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗a ⃗b 13.函数y =1-8cos x -2sin 2x 的最大值是______．14.计算cos •cos •cos =______．π92π94π915.如图，在△ABC中，∠BAC =60°，AB =3，AC =2，若=2，=λ-，且•⃗BD ⃗DC ⃗BE ⃗AC ⃗AB ⃗AD =-4，则λ的值为______．⃗BE 三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知向量与向量=（1，-2）的方向相反，且||=3．⃗b ⃗a ⃗b 5（1）求向量的坐标；⃗b （2）若=（2，3），求（-）•（-）的值．⃗c ⃗c ⃗a ⃗c ⃗b 17.若=1．5sinα‒cosαcosα+sinα（1）求tanα的值；（2）求+sinαcosα的值．cosα+sinαcosα‒sinα18.已知α，β∈（0，），cosα=，cos （α+β）=．π24535（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．19.已知=（1，），=（2，m ）．⃗a 3⃗b （1）当3-2与垂直时，求m 的值；⃗a ⃗b ⃗a （2）当与的夹角为120°时，求m 的值．⃗a ⃗b 20.已知函数f （x ）=4cos x sin （x -）+1．π6（1）求f （x ）的最小正周期；（2）f （x ）在区间[，]上的最大值与最小值．π42π3答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：由cos（+α）=，得-sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴-，则cosα==，则tanα=．故选：B．由已知求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴．故选D．4.【答案】C【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-]=cos2x的图象，故选：C．已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=-sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．由已知可得，即，k∈Z，则x值可求．本题考查由已知三角函数值求角，考查了三角方程的解法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：向量=（1，-2），=（-2，m），且∥，∴1×m-（-2）×（-2）=0，解得m=4，∴=（-2，4），∴3+2=（3，-6）+（-4，8）=（-1，2）．故选：C．根据平面向量的共线定理求出m的值，再计算3+2．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°-60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2-1=1，故选：A．通过=+，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为+．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=-，得sinB=，∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．由已知利用平方关系分别求得sinA，sinB的值，再由两角和的余弦求得cosC的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的余弦，是基础的计算题．11.【答案】1 2【解析】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1-sin2x=cos2x，则（1-sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=-，∴=-=，故答案为：．由同角三角函数基本关系式可得=-，结合已知得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】-2【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=-2；故答案为：-2根据题意，由向量的坐标计算公式可得λ+的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积与向量垂直的关系．13.【答案】9【解析】解：函数y=1-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9，当cosx=-1时，函数y取得最大值是2×（-1-2）2=9．故答案为：9．把函数y化为关于cosx的二次关系，求出函数y的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】18【解析】解：cos •cos •cos ====．故答案为：把要化简的式子分子分母同时乘以最小角的正弦，依次利用倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础题．15.【答案】311【解析】解：在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，∵=λ-，∴•=（+）•（λ-）=（-）••-+=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4， 解得λ=，故答案为：根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）设=-λ，λ＞0，⃗b ⃗a 则=（-λ，2λ），⃗b 则||2=λ2+4λ2=45，⃗b 解得λ=3或λ=-3（舍去），∴（-3，6），⃗b（2）∵（2，3）⃗c ∴-=（2，3）-（1，-2）=（1，5），⃗c ⃗a -=（2，3）-（-3，6）=（5，-3），⃗c ⃗b ∴（-）•（-）=5-15=-10．⃗c ⃗a ⃗c ⃗b 【解析】（1）设=-λ，λ＞0根据向量的模即可求出，（2）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.【答案】解：（1）由=1，得，5sinα‒cosαcosα+sinα5tanα‒11+tanα=1即5tanα-1=1+tanα，解得tan；α=12（2）+sinαcosα=cosα+sinαcosα‒sinα1+tanα1‒tanα+sinαcosαsin 2α+cos 2α==．1+tanα1‒tanα+tanαtan 2α+11+121‒12+1214+1=175【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．（1）把已知等式化弦为切，求解可得tanα的值；（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tanα得答案．18.【答案】解：（1）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），π2又cosα=，cos （α+β）=，4535则sin ，sin （α+β）=，α=1‒cos 2α=351‒cos 2(α+β)=45∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα=；45×45‒35×35=725（2）cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos （α+β）cosα-sin （α+β）sinα=，35×45‒35×45=0由α，β∈（0，），得2α+β∈（0，），π232π∴2α+β=．π2【解析】（1）由已知分别求得sinα，sin （α+β）的值，由sinβ=sin[（α+β）-α]，展开两角差的正弦得答案；（2）由cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]，展开两角和的余弦求得cos （2α+β），结合角的范围可得2α+β的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的正弦、余弦，训练了利用已知角的三角函数值求角，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，=（1，），=（2，m ），则3-2=（-1，3-2m ），⃗a 3⃗b ⃗a ⃗b 3若3-2与垂直时，则有（3-2）•=-1+9-2m =0，⃗a ⃗b ⃗a ⃗a ⃗b ⃗a 3解可得m =；433（2）=（1，），=（2，m ），⃗a 3⃗b 则||==2，||=，且•=2+m ，⃗a 1+3⃗b m 2+4⃗a ⃗b 3又由与的夹角为120°，⃗a ⃗b 则有cos120°===-，⃗a ⋅⃗b |⃗a ||⃗b |2+3m 2m 2+412变形可得：2+m +=03m 2+4解可得m =-2，3故m =-2．3【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3-2的坐标，又由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m 的值，（2）根据题意，由向量夹角公式计算可得cos120°=，代入数据可得=-，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量夹角公式的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=4cos x sin （x -）+1π6=4cos x （sin x cos -cos x sin ）+1π6π6=2sin x cosx-2cos 2x +13=sin2x -cos2x 3=2（sin2x -cos2x ）3212=2sin （2x -），π6所以f （x ）的最小正周期为T ==π；2πω（2）x ∈[，]，则2x -∈[，]；π42π3π6π37π6当x ∈[，]时，2x -∈[，]，π4π3π6π3π2函数f （x ）=2sin （2x -）单调递增；π6同理，x ∈[，]时，2x -∈[，]，π32π3π6π27π6函数f （x ）=2sin （2x -）单调递减；π6又f （）=2sin =2，f （）=2sin =2，f （）=2sin =-1，π4π3π3π22π37π6f （x ）在区间[，]上的最大值是2，最小值是-1．π42π3【解析】（1）化函数f （x ）为正弦型函数， 根据正弦函数的性质求出它的最小正周期；（2）求出x ∈[，]时2x-的取值范围，根据正弦函数的正弦求出它的最大和最小值．本题主要考查了角函数图象和性质应用问题，根据三角恒等变换进行化简是解题的关键．。
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选：D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得72（x1﹣x2）+144（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B ，C 在椭圆上，∴，解得：x 2=，y 2=则直线直线AB 的斜率k==；直线AB 的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1 （1）求二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为，求线段CP 的长．【分析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2），利用空间向量求解． 【解答】解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ， 则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2） ∴，，设面SBC 的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。
和平区2017-2018 学年度第一学期高二年级数学（理）学
科期末质量调查试卷
第I卷选择题（共24 分）
、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.
分也不必要条件
则（）
D. x =6
7.如果椭圆y =1
36 的弦被点（4 , 2）平分，则这条弦所在的直线方程是
1.“ m =1 ”是“双曲线=1的离心率为2”的（
A .充分不必要条件
B •必要不充分条件C.充要条件既不充
2.在空间直角坐标系中, 已知-2 , 1)，贝U AB
B . .29 D . 、、1 49
3.已知双曲线的一个焦点坐标为（'.6 , 0），且经点（_5 , 2），则双曲线的标准方程为
2
A
X 2 A . y
5=1
2
B. - x =1
5
2
c x 2
C . ■ y = 1
25
2
x
D -
4
4.若双曲线
2
x
厂—y
a
=1 （a .0 ）的离心力为2 ，则该双曲线的渐近线方程为（
5.已知抛物线
B. y = 3x
C. y
的焦点是椭圆
2
x
一+
2
a
=1 的一个焦点，则椭圆的离心率为（
13
C.-
13
V37
D.
37
6.已知向量y) ,分别是直线l1、I
2的方向向量，若l1//l
2 ,
A. x =6 =15
B. x =3 ,
C. x
2。
2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F （c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A ﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N （2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。
2017-2018学年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．12．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．24．设P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为______．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．2016年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，∴，∴|z|=1．故选：D．2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，），此时z=×1+=2，故选：C3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得S=0，n=3执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，…不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．故选：D．4．设P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】的否定．【分析】利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF•DA，由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，解得BD=2，在直角三角形ABD中，AB===2，在直角三角形ABC中，AC===2，由BC为切线，可得CB2=CE•CA，即有16=（2﹣AE）•2，解得AE=．故选：B．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．故选：B．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，∴2m=3﹣2﹣m＞2，∴b=2f（m）=2×3=6，a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，∴b＜a＜c；故选D．8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：y=k （x ﹣2）+表示过（2，）点斜率为k 的直线，由图可得：y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）至多有5个零点，当k=时，直线y=k （x ﹣2）+过原点，此时y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象有4交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）有4个零点；当k=6﹣时，直线y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象抛物线部分相切，此时y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象有4交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）有4个零点；故当函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）（其中k ＞0）的零点个数取得最大值时，k ∈（，6﹣），故选：C ．二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x 8的系数是（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可求得展开式中的x 8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x 8的系数是•=，故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm ），则该几何体的体积为 6+cm 3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．∴该几何体的体积=13+=+6．故答案为：6+．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．则|CA|=．则|PA|的取值范围是．故答案为：．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．故答案为：．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC中使用正弦定理计算BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．∴∠C=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．故答案为：．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=π，f（x）的最大值为1﹣．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，在[，]上的单调递减，而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A 与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，∵事件A与事件B为对立事件，∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，P（X=﹣10）=（）3=，P（X=10）==，P（X=20）=，P（X=30）=（）3=，∴E（X）=+10×++30×=﹣．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y 轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），=（，，0），=（0，0，2），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则，则，取y=﹣1，得=（），∵=（，﹣，0）=，∴∥，∴BC⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），∵平面PAC的一个法向量为=（），设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴cosθ==，tanθ==，∴AD与平面PAC所成角的正切值为．（Ⅲ）设存在点E，且，则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），∴=（），=（，0），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（），设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，得=（），∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，∴==0，解得，∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，∴M（），整理，得a=，∴c==2b，∴椭圆的离心率e===．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由线段NS的中点T的坐标为（，），∵点T在直线AB上，且k NS•k AB=﹣1，∴，解得，∴a=3，∴椭圆E的方程为=1．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：a n=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得a n．进而得到b n．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其“裂项求和”方法可得数列{c n}的前n项和为S n．（ii）n≤4时，c n＞0．当n≥5时，c n=＜0，即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．∵数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，∴n≥2时，a1a2…a n﹣1=，可得：a n=，∴a3===8．又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．∴a n=2×2n﹣1=2n．∴（）=21+2+…+n=，∴b n=n（n+1）．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣=﹣．（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．当n≥5时，c n=．由﹣=＜0，∴c n＜0．若S k≥S n恒成立，∴k=4．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．2016年9月22日。
和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷第Ⅰ卷 选择题（共24分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“1m = ”是“双曲线2213x y m -= 的离心率为2 ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在空间直角坐标系中，已知(103)A -，， ，(421)B -，， ，则AB = （ ）A B3.已知双曲线的一个焦点坐标为0），且经点(52)-， ，则双曲线的标准方程为（ ）A ．2215x y -= B ．2215y x -= C ．22125x y -= D ．22142x y -= 4.若双曲线2221x y a-= （0a > ）的离心力为2 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．3y x =± C.y = D ．y x = 5.已知抛物线2y x = 的焦点是椭圆22213x y a += 的一个焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．17 C.13D ．37 6.已知向量(245)a =，， ，3)b x y =（，， ，分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ∥ ，则（ ）A ．6x = ，15y =B ．3x = ，15y = C.83x = ，103y = D ．6x = ，152y =7.如果椭圆221369x y += 的弦被点(42)， 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．5240x y +-= C.280x y +-= D ．23120x y +-=8.已知椭圆C ：22221x y a b+= （0a b >> ），点M ，N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(0)2MH NH k k ⋅∈-， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ．1)B ．(0 C.1) D ．(0 第Ⅱ卷 非选择题（共76分）二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若双曲线2221613x y p-= （0p > ）的左焦点在抛物线22y px = 的准线上，则p = ．10.已知斜率为2 的直线经过椭圆22154x y += 的右焦点2F ，与椭圆相交于A 、B 两点，则AB 的长为 ．11.已知抛物线24y x = 的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点，P 作PE l ⊥ 于E ，若直线EF 的倾斜角为150︒ ，则PF = ．12.空间四边形OABC ，OB OC = ，3AOB AOC π∠=∠= ，则cos OA BC ， 的值为 ．13.设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于 ．14.已知双曲线22221x y a b-= （0a > ，0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右志于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若1512PQ PF =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知平面上的三点(52)P ， 、1(60)F -，、2(60)F ， . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.16.已知抛物线C ：22y px = （0p > ）的焦点为F ，点0(2)D y ， 在抛物线C 上，且3DF = ，直线1y x =- 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程； （2）求AOB △ 的面积.17. 如图，三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱于底面垂直，90ABC ∠=︒ ，12AB BC BB === ，M ，N 分别是AB ，1A C 的中点.（1）求证：MN ∥ 平面11BCC B ； （2）求证：MN ⊥ 平面11A B C .18. 已知椭圆E ：22221x y a b += （0a b >> ）的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点.（1）若点C 的坐标为5(2)3， ，求椭圆E 的标准方程； （2）设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且12AB OC = ，求直线AB 的斜率.19. 如图，在四棱锥S ABCD - 中，SD ⊥ 平面，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒ ，2SD AD AB === ，1DC = .（1）求二面角S BC A -- 的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为，求线段CP 的长.和平区2017-2018学年度第一学期期末质量调查 高二年级数学（理）学科试卷参考答案及评分标准一、选择题1-5:CBACB 6-8:DCA二、填空题9.4 11.43 12.0 13.1314.三、解答题15.（1）解：由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为22221x y a b+= （0a b >> ）其半焦距6c =由椭圆定义得122a PF PF =+=∴a =∴22245369b a c =-=-=故椭圆的标准方程为221459x y += .（2）解：点(52)P ， 、1(60F -，） 、2(60)F ， 关于直线y x = 的对称点分别为(25)P '，、1(06)F '-， 、2(06)F '， . 设所求双曲线的标准方程为 2222111y x a b -= （10a > ，10b > ） 其半焦距16c = ，由双曲线定义得1122a P F P F ''''=-=∴1a =，∴222111362016b c a =-=-= ，故所求的双曲线的标准方程为 2212016x y -=.16.（1）解：∵0(2)D y ， 在抛物线C 上，且3DF = ， ∴由抛物线定义得，2+32p= ∴2p =∴所求抛物线C 的方程为24y x = . （2）解：由214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y ，并整理得，2610x x -+= ，设11()A x y ， ，22()B x y ， ，则126x x += ， 由（1）知(10)F ，∴直线1y x =- 过抛物线24y x = 的焦点F ， ∴12628AB x x P =++=+=又∵点O 到直线1y x =- 的距离d == ，∴AOB △ 的面积11822S AB d ==⨯=17.（1）证明：依题意，11190A B C ∠=︒ ，111BB B C ⊥ ，以1B 为原点，分别以11A B ，11B C ，1B B 的方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz - .则由已知，1(000)B ，， ，1(200)A -，， ，(022)C ，， ，(102)M -，， ，(111)N -，， ，(002B ，，） ，1(020)C ，， ， ∴11=(020)B C ，， ，1(002)B B =，， ，(011)MN =-，， ，11(200)B A =-，， ， 易知1110010(1)0B A MN ⋅=-⨯+⨯+⨯-= ， ∴MN ∥ 平面11BCC B .（2）证明：连接1B C ，由（1）得，1(022)B C =，， ，11(200)A B =，，，(011)NM =-，， ， 设平面11A B C 的一个法向量为()n x y z =，， 则10n B C ⋅=，110n A B ⋅=∴由0y zx =-⎧⎨=⎩取1z = ，得1y =- ，∴平面11A B C 的一个法向量为(011)n =-，， 此时，n MN = 故MN ⊥ 平面11A B C .18.（1）解法1：∵椭圆E 的离心率为23∴23c a =23= ，即2259b a =∴2259b a = ①又∵点.. 在椭圆E 上， ∴2242519a b +=② 由①②解得29a = ，25b = ，∴所求椭圆E 的 方程为22195x y +=解法2：由题意得，23c a = ，∴2249c a = 设29a k = ，24c k = （0k > ） 则2225b a c k =-=∴22195x y k k+= ，将点5(2)3C ， 代入得，45199k k+= ，解得1k = ∴29a = ，25b =∴所求椭圆E 的方程为22195x y +=（2）解法1：由（1）可知2259b a =∴椭圆E 的方程为2222915x y a a +=即222595x y a += ，有(0)A a -， ， 设11()B x y ， ，22()C x y ，由12AB OC = 得，112211()()22x a y x y +=，，∴1212x x a =- ，121=2y y∵点B ，点C 都在椭圆E ：222595x y a += 上，∴222222222595115()9()522x y a x a y a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得24a x =，2y ，∴直线AB的斜率1212y y k x a x ==+解法2：由（1）可知2259b a = ，即2259b a =∴椭圆E 的方程为2222915x y a a+= ，即222595x y a += ，有(0)A a -，， 设直线OC 的方程为x my = （0m > ），11()B x y ， ，22()C x y ， 由222595x myx y a =⎧⎨+=⎩消去x 并整理得， 2222595m y y a +=∴22255+9a y m =∵20y >，∴2y∵12AB OC = ，∴AB OC ∥ ，于是设直线AB 的方程为x m y a =-（0m > ） 由2221595x my x y a =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得， 22(59)100m y amy +-=解得21059amy m =+ 或0y = （舍去）于是，得121059amy m =+又∵12AB OC =∴112211()()22x a y x y +=，，于是1212y y = ，即212y y =22059amm =+ （0m > ）解得m =∴直线AB的斜率为1m =19.（1）解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DS 的方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -则由已知可得，(000)D ，， ，(220)B ，， ，(010)C ，， ，(002)S ，， ， ∴(222)SB =-，， ，(012)SC =-，， ， 设平面SBC 的一个法向量为1()n x y z =，， ， 由1n SB ⊥， 1n SC ⊥ 得， 10n SB ⋅=， 10n SC ⋅= ∴有222020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩解得2x z y z =-⎧⎨=⎩取1z = ，得1x =- ，2y = ，∴1(121)n =-，， ∵SD ⊥平面ABCD∴取平面ABCD 的一个法向量为2(001)n =，， ， 设二面角S BC A -- 的大小为θ ，1212cos ==6n n n n θ⋅=⋅由图可知，二面角S BC A -- 为锐角二面角， ∴二面角S BC A -- （2）解：由（1）知(101)E ，，，(210)CB =，， ，(111)CE =-，，设=CP CB λ （01λ≤≤ ），则(210)(20)CP λλλ==，，，， ， ∴(1211)PE CE CP λλ=-=---，， ， 易知CD ⊥ 平面SAD ，∴(010)CD =，， 是平面SAD 的一个法向量. 设PE 与平面SAD 所成的角为α ，则 sin cos 5PE CD PE CD PE CDαλ⋅===⋅， ，解得13λ=或119λ= （舍去） ∴21(0)33CP =，， ，∴2=()CP =即线段CP。
