2017年天津市高考数学试卷(理科)

第1页，总12页2017年高考理数真题试卷（天津卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设变量 x,y 满足约束条件 {2x +y ≥0,x +2y −2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数 z =x +y 的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32 D.32.已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F ，离心率为 √2 .若经过 F 和P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.x 24−y 24=1B.x 28−y 28=1C.x 24−y 28=1D.x 28−y 24=13.已知奇函数 f(x) 在R 上是增函数， g(x)=xf(x) .若 a =g(−log 25.1) ， b =g(20.8) ， c =g(3) ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a答案第2页，总12页4.设函数 f(x)=2sin(ωx +φ) ， x ∈R ，其中 ω>0 ， |φ|<π .若 f(5π8)=2 ，f(11π8)=0 ，且 f(x) 的最小正周期大于 2π ，则（ ）A.ω=23 ， φ=π12B.ω=23 ， φ=−11π12C.ω=13 ， φ=−11π24D.ω=13， φ=7π245.已知函数 f(x)={x 2−x +3,x ≤1,x +2x,x >1.设 a ∈R ，若关于x 的不等式 f(x)≥|x2+a| 在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A.[−4716,2] B.[−4716,3916]C.[−2√3,2]D.[−2√3,3916]第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）6.已知 a ∈R ，i 为虚数单位，若 a−i2+i 为实数，则a 的值为 .7.在极坐标系中，直线 4ρcos(θ−π6)+1=0 与圆 ρ=2sinθ 的公共点的个数为8.若 a,b ∈R ， ab >0 ，则 a 4+4b 4+1ab 的最小值为9.在 △ABC 中， ∠A =60° ， AB =3 ， AC =2 .若 BD →=2DC →， AE →=λAC →−AB →(λ∈R) ，且 AD →⋅AE →=−4 ，则 λ 的值为三、解答题（题型注释）第3页，总12页…………订…………○…………线级：___________考号：___________…………订…………○…………线10.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 a >b ， a =5,c =6 ，sinB =35. （Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；（Ⅱ）求 sin(2A +π4) 的值.11.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC ， ∠BAC =90° .点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C-EM-N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 √721 ，求线段AH 的长. 12.已知 {a n } 为等差数列，前n 项和为 S n (n ∈N ∗) ， {b n } 是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2+b 3=12 , b 3=a 4−2a 1 ， S 11=11b 4 . （Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列 {a 2n b 2n−1} 的前n 项和 (n ∈N ∗) .13.设椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 12 .已知 A是抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 12 . （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点A ），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 △APD 的面积为 √62 ，求直线 AP 的方程.14.设 a ∈Z ，已知定义在R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3−3x 2−6x +a 在区间 (1,2) 内有一个零点 x 0 ， g(x) 为 f(x) 的导函数. （Ⅰ）求 g(x) 的单调区间； （Ⅱ）设 m ∈[1,x 0)∪(x 0,2] ，函数 ℎ(x)=g(x)(m −x 0)−f(m) ，求证：ℎ(m)ℎ(x 0)<0 ；答案第4页，总12页（Ⅲ）求证：存在大于0的常数 A ，使得对于任意的正整数 p,q ，且 pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2], 满足 |pq−x 0|≥1Aq 4.第5页，总12页……○…………订………______班级：___________考号：______……○…………订………参数答案1.D【解析】1.目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中 A(0,1),B(0,3),C(−32,3),D(−23,43) ，所以直线 z =x +y 过点B 时取最大值3，选D. 2.B【解析】2.由题意得 a =b,4−c=−1⇒c =4,a =b =2√2⇒x 28−y 28=1 ，选B.3.C【解析】3.4.A【解析】4.由题意 {5ωπ8+φ=2k 1π+π211ωπ8+φ=k 2π，其中 k 1,k 2∈Z ，所以 ω=43(k 2−2k 1)−23，又 T =2πω>2π ，所以 0<ω<1 ，所以 ω=23， φ=2k 1π+112π ，由 |φ|<π 得φ=π12，故选A ．5.A答案第6页，总12页……○…………订…………○…………线…………○※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…………线…………○【解析】5.所以 −2√3≤a ≤2 ， 综上 −4716≤a ≤2 ．故选A ．6.−2【解析】6. a−i2+i =(a−i)(2−i)(2+i)(2−i)=(2a−1)−(a+2)i5=2a−15−a+25i 为实数， 则 a+25=0,a =−2 .7.2【解析】7.直线为 2√3x +2y +1=0 ，圆为 x 2+(y −1)2=1 ，因为 d =34<1 ，所以有两个交点8.4【解析】8. a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab≥4 ，当且仅当 a =2b =1 时取等号9.311第7页，总12页…………装…………○…………订…………○…………线…………○…校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________…………装…………○…………订…………○…………线…………○…【解析】9.10.【解析】10.11.（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设 ，为平面BDE 的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.答案第8页，总12页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○所以，线段AH 的长为 或 .【解析】11.【知识点】高考真题第9页，总12页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…12.（I ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由 ，，有，故，，上述两式相减，得得 .所以，数列 的前 项和为 .【解析】12. 13.（Ⅰ）解：设的坐标为 .依题意， ， ， ，解得， ， ，于是 . 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为.答案第10页，总12页…外…………○…装…………○…………订…………○…………线…………○※※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…内…………○…装…………○…………订…………○…………线…………○所以，直线 的方程为，或.【解析】13. 14.（Ⅰ）由，可得， 进而可得.令 ，解得 ，或 .当x 变化时， 的变化情况如下表：+↗所以，的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.第11页，总12页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…（III ）证明：对于任意的正整数， ，且 ，令，函数 .由（II ）知，当时， 在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以.所以，只要取，就有 .【解析】14.答案第12页，总12页。

2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x≤5}，则(A ∪B)∩C= ( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{ x ∈R|-1≤x≤5}1.B 【解析】 (A ∪B)∩C={1，2，4，6}∩[1,5]={1,2,4}．故选B ．2. (2017年天津理)设变量x,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z=x+y 的最大值为（ ） A. 23B.1C. 32D.32. D 【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），则可行域为四边形ABCD 及其内部，其中A （0，1），B （0，3），C （-32，3），D （-23，43），易得直线y=-x+z 过点B （0，3）时，z=x+y 取最大值为3.故选D ．3. (2017年天津理)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A.0B.1C.2D.33. C 【解析】初始N=19，进入循环后N 的值依次为N=18,N=6,N=2，结束循环，输出N=2.故选C ．4. (2017年天津理)设θ∈R ，则“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. A 【解析】|θ-π12|＜π12⇔0＜θ＜12，但θ=0时，sin θ=0＜12，不满足|θ-π12|＜π12，所以“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件.故选A.5. (2017年天津理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A. x 24-y 24=1B. x 28-y 28=1C. x 24-y 28=1D. x 28-y 24=15. D 【解析】由题意得a=b ，4-00-（-c ）=1⇒c=4，a=b=22⇒x 28-y 28=1.故选B ．6. (2017年天津理)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a,b,c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a6. C 【解析】因为f （x ）是奇函数且在R 上是增函数，所以当x ＞0时，f （x ）＞0，从而g （x ）=xf （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，a=g(-log 25.1)= g(log 25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log 25.1＜3，所以0＜20.8＜log 25.1＜3，g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3），所以b ＜a ＜c.故选C.7. (2017年天津理)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A. ω=23，φ=π12B. ω=23，φ=-11π12 C. ω=13，φ=-11π24D. ω=13，φ=7π247. A 【解析】由题意得⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2，11ωπ8+φ=k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω=43（k 2-2k 1）-23，又T=2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=23，11212k ϕ=π+π，由|φ|＜π得φ=π12，故选A ．8. (2017年天津理)已知函数f （x ）=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x+3，x≤1，x+2x ，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥|x2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C. [-23，2]D. [-23，3916]8. A 【解析】不等式f （x ）≥|x 2+a|可化为-f （x ）≤x2+a≤f （x ），（*）当x≤1时，（*）式即-x 2+x-3≤x 2+a≤x 2-x+3，即-x 2+x 2-3≤a≤x 2-32x+3，又-x 2+x 2-3=-（x-14）2-4716≤-4716（当x=14时取等号），x 2-32+3=（x-34）2+3916≥3916（当x=34时取等号），所以-4716≤a≤3916，当x ＞1时，（*）式为-x-2x ≤x 2+a≤x+2x ，-32x-2x ≤a≤x 2+2x .又-32x-2x =-（32x+2x ）≤23（当x=233时取等号），x 2+2x ≥2x 2·2x =2（当x=2时取等号），所以-23≤a≤2．综上，-4716≤a≤2．故选A ．9. (2017年天津理)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a-i2+i 为实数，则a 的值为___________．9. -2 【解析】a-i 2+i =(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i 5=2a-15-a+25i 为实数，则a+25=0,a=-2．10. (2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．10. 9π2 【解析】设正方体的边长为a ，则6a 2=18⇒a=3，其外接球直径为2R=3a=3，故这个球的体积V=43πR 3=43π×278=9π2．11. (2017年天津理)在极坐标系中，直线4ρcos （θ-π6）+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为___________．11. 1 【解析】直线为23x+2y+1=0，圆为x 2+（y-1）2=1，因为d=34＜1，所以有两个交点．12. (2017年天津理)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab 的最小值为___________．12. 4 【解析】a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥24ab·1ab=4，前一个等号成立的条件是a 2=2b 2，后一个等号成立的条件是ab=12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2=22，b 2=24时取等号．13. (2017年天津理)在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD =2→DC ，→AE =λ→AC -→AB （λ∈R ），且→AD ·→AE=-4，则λ的值为___________． 13. 311 【解析】由题可得→AB ·→AC =3×2×cos 60°=3，→AD =13→AB +23→AC ，则→AD ·→AE =（13→AB +23→AC ）（λ→AC -→AB ）=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4 λ=311．14. (2017年天津理) 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）14. 1 080 【解析】A 4 5+C 1 4C 3 5A 44=1 080.15. (2017年天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a=5，c=6，sin B=35．（1）求b 和sin A 的值； （2）求sin （2A+π4）的值．15. 解：（1）在△ABC 中，因为a ＞b ，故由sin B=35，可得cos B=45. 由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B=13，所以b=13. 由正弦定理a sin A =b sin B ，得sin A=asin B b =31313. 所以，b 的值为13，sin A 的值为31313. （2）由（1）及a ＜c ，得cos A=21313，所以sin 2A=2sin Acos A=1213，cos 2A=1-2sin 2A=-513. 故sin （2A+π4）=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7226.16. (2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 16.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P （X=0）=（1-12）×（1-13）×（1-14）=14，P （X=1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×13×（1-14）+（1-12）×（1-13）×14=1124， P （X=2）=（1-12）×13×14+12×（1-13）×14+12×13×（1-14）=14， P （X=3）=12×13×14=124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E （X ）=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.（2）设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P （Y+Z=1）=P （Y=0，Z=1）+P （Y=1，Z=0）=P （Y=0）P （Z=1）+P （Y=1）P （Z=0）=14×1124+1124×14=1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．17. (2017年天津理)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC=90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2． （1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C -EM -N 的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．17.解：如图，以A 为原点，分别以→AB ，→AC ，→AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）．（1）易得→DE =（0，2，0），→DB =（2，0，2-）． 设n =(x,y,z)为平面BDE 的法向量，则⎩⎨⎧n ·→DE =0，n ·→DB =0，即⎩⎨⎧2y=0，2x-2z=0. 不妨设z=1，可得n =（1，0，1）．又→MN =（1，2，1-），可得→MN ·n =0． 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ． （2）易知n 1=（1，0，0）为平面CEM 的一个法向量.设n 2=（x ，y ，z ）为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·→EM =0，n 2·→MN =0，因为→EM =（0，-2，-1），→MN =（1，2，-1），所以⎩⎨⎧-2y-z=0，x+2y-z=0.不妨设y=1，可得n 2=（-4，1，-2）.因此有cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-421，于是sin<n 1,n 2>=10521.所以，二面角C-EM-N 的正弦值为10521.（3）依题意，设AH =h （0≤h≤4），则H （0，0，h ），进而可得→NH =（-1，-2，h ），→BE =（-2，2，2）．由已知，得|cos<→NH ,→BE >=→NH ·→BE |→NH ||→BE |=|2h-2|h 2+5×23=721， 整理得10h 2-21h+8=0，解得h=85或h=12．所以，线段AH 的长为85或12．18. (2017年天津理)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *)．18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12，得b 1（q+q 2）=12，而b 1=2，所以q 2+q-6=0. 又因为q ＞0，解得q=2.所以b n =2n.由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8，① 由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，②联立①②，解得a 1=1,d=3，由此可得a n =3n-2．所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n-2，数列{b n }的通项公式为b n =2n．（2）设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n-2，b 2n-1=2×4n-1，有a 2n b 2n-1=（3n-1）×4n ， 故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）×4n +(3n-1)×4n+1， 上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)×4n+1=12×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8，得T n =3n-23×4n+1+83． 所以，数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n-23×4n+1+83．19. (2017年天津理)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 19.解：（1）设F 的坐标为（-c ，0）．依题意，c a =12，p 2=a ，a-c=12，解得a=1，c=12，p=2，于是b 2=a 2-c 2=34． 所以，椭圆的方程为x 2+4y 23=1，抛物线的方程为y 2=4x ． （2）设直线AP 的方程为x=my+1（m≠0），与直线l 的方程x=-1联立，可得点P （-1，-2m ），故Q （-1，2m ）． 将x=my+1与x 2+4y 23=1联立，消去x ，整理得（3m 2+4）y 2+6my=0， 解得y=0或y=-6m3m 2+4．由点B 异于点A ，可得点B （-3m 2+43m 2+4，-6m 3m 2+4）．由Q （-1，2m ），可得直线BQ 的方程为（-6m 3m 2+4-2m ）（x+1）-（-3m 2+43m 2+4+1）（y-2m ）=0， 令y=0，解得x=2-3m 23m 2+2，故D （2-3m 23m 2+2，0），所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2. 又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2+2×2|m|=62， 整理得3m 2-26|m|+2=0，解得|m|=63，所以m=±63.所以，直线AP 的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.20. (2017年天津理)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g(x)为f(x)的导函数． （1）求g(x)的单调区间；（2）设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，求证：h(m)h(x 0)＜0；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p,q ，且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2]满足|pq-x 0|≥1Aq 4．20.解：（1）由f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a ，可得g(x)=f′(x)=8x 3+9x 2-6x-6， 进而可得g′(x)=24x 2+18x-6．令g′(x)=0，解得x=-1或x=14．当x 变化时，g′(x), g(x)的变化情况如下表：`所以，g(x)的单调递增区间是(-∞,-1)，(14,+∞)，单调递减区间是(-1, 14)． （2）由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，得h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m)， h(x 0)=g(x 0)(m-x 0)-f(m)．令函数H 1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x)，则H 1′(x)=g′(x)(x -x 0)．由（1）知，当x ∈[1,2]时，g′(x)＞0，故当x ∈[1，x 0]时，H 1′(x)＜0，H 1(x)单调递减； 当x ∈（x 0，2]时，H 1′(x)＞0，H 1(x)单调递增．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x)＞H 1(x 0)=-f(x 0)=0，可得H 1(m)＞0，即h(m)＞0． 令函数H 2(x)=g(x 0)(x-x 0)-f(x)，则H 2′(x)= g(x 0)-g(x)．由（1）知，g(x)在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1,x 0)时，H 2′(x)＞0，H 2(x)单调递增； 当x ∈（x 0，2]时，H 2′(x)＜0，H 2(x)单调递减．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x)＜H 2(x 0)=0，可得H 2(m)＜0，即h （x 0）＜0． 所以，h （m ）h （x 0）＜0．（3）对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2]， 令m=pq ，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m).由（2）知，当m ∈[1,x 0)时，h （x ）的区间（m ，x 0）内有零点；当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点，所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h(x 1)=g(x 1)(p q -x 0)-f(pq )=0.由（1）知g(x)在[1,2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2）， 于是|pq -x 0|=|f （p q ）g （x 1）|≥|f （pq ）|g （2）=|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|g （2）q 4．因为当x ∈[1,2]时，g(x)＞0，故f （x ）在[1,2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而p q ≠x 0，故f （pq ）≠0．又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1，所以|p q -x 0|≥1g （2）q 4．所以，只要取A=g （2），就有|p q -x 0|≥1Aq 4．。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2017?天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x}≤5，则目标函数yx，满足约束条件2017?（2．5分）（天津）设变量z=x+y的最大值为（）D．C．3A．B．13．（5分）（2017?天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）3．DC．2BA．0．1）”＜的（“sinθ”|＜﹣|，则∈天津）设（5．4（分）2017?θR“θ是．必要而不充分条件．充分而不必要条件ABC．充要条件D．既不充分也不必要条件﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为5．（5分）（2017?天津）已知双曲线F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）．=1=1A．B=1=1D．C．．若）上是增函数，g（x）=xf（x．6（5分）（2017?天津）已知奇函数f（x）在R0.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（a=g（﹣log5.1），b=g（2）2A．a ＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a7．（5分）（2017?天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=，，设a∈R，若关于8．（5分）（2017?天津）已知函数f（x）=，＞x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.为实数，则a的值为∈R，i为虚数单位，若．a．9（5分）（2017?天津）已知10．（5分）（2017?天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）（2017?天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为．12．（5分）（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．﹣=λ，=2若．AC=2，AB=3，A=60°∠中，ABC在△天津）2017?（分）5（．13．．=﹣4，则λ的值为（λ∈R），且组成没有重复数8，9，5，6，7，514．（分）（2017?天津）用数字1，2，3，4（用个．字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有数字作答）分．解答应写出文字说明，证明过程或演算小题，共80三.解答题：本大题共6步骤．已．a，b，c所对的边分别为2017?天津）在△ABC中，内角A，B，C．15（13分）（．sinB=，a=5，c=6，知a＞b（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）（2017?天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）（2017?天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；，求线NH与直线BE所成角的余弦值为上，且直线在棱（Ⅲ）已知点HPA的长．AH段+），{b（n∈N}2017?分）（天津）已知{a}为等差数列，前n项和为S18．（13nnn 是首项为2的等比数列，且公比大于0，b+b=12，b=a﹣2a，S=11b．43113412（Ⅰ）求{a}和{b}的通项公式；nn+）N．n项和（n∈b（Ⅱ）求数列{a}的前12n2n﹣19．（14分）（2017?天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为2=2px （p＞0）的焦点，A是抛物线yF到抛物线的准线l．已知A，离心率为的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．4323x=2x﹣+3x）a∈Z，已知定义在R上的函数f（x．20（14分）（2017?天津）设﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x，g（x）为f（x）的导函数．0（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x）∪（x，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m），求证：000h（m）h（x）＜0；0（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x）0∪（x，2]，满足|﹣x|≥．00。

2017年高考真题天津卷理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年普通高等学校招生统一考试（天津卷）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯= （11）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点（12）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号 （13）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R，且4AD AE ⋅=- ，则λ的值为___________.【答案】311（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.【答案】 (1) b =2616.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)1312 (2) 1148【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. （17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE AH 的长.【答案】 （1）证明见解析（2 （3）85 或12（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB=（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n.所以，线段AH 的长为或12.18.（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前项和为1328433n n +-⨯+. （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D .若APD △AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）330x -=，或330x -=. 【解析】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. （20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x mx f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈满足041||p x q Aq -≥. 【答案】（1）增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，减区间是1(1,)4-.（2）（3）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由432()2336f x xxx x a=+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，，且00[1)(,],2px x q∈ ， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.- 11 - 所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第1卷1 至2页，第【【卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I卷注意班项：1・每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦T•净后，再选涂其他答案标号。

2•本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A, 〃互斥，那么•如果事件A,〃相互独立，那么P(A U B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A) P(B).♦棱柱的体积公式V=Sh..棱锥的体积公式其中S表不棱柱的底面面积，其中S表不棱锥的底而而积，方表不棱锥的高.〃表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•(1)设集合A={1,2,6},B={2,4),C={XG RI-1<X<5),则(AUB)r)C =(A) {2} (B) {1,2,4} (C) {1,2,4,6} (D) {xeRI-l<x<5}2x+y>0,⑵设变S满足约束条件：：?4o,则目标函数“宀的最大值为(A) - (B) 1 (C) - (D) 3 3 2(3) 阅读右而的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24,则输出N 的值为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (4) 设0wR,贝I]k —"是 “sin0v 丄”的 12 12 2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5) 已知双曲线g - 4 = l(a>0,/?>0)的左焦点为F,学科&网离心率为若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为X 2V 2X 2V 2X 2V 2X 2V 2(A) ---^- = 1 (B) ---^- = 1 (C)---丄=1 (D) ---^-=14 4 8 8 48 8 4g(x) = xf(x)Ma = g(-log 2 5.1),乃=&(2"“)，c = g ⑶ (•的大小关系为xeR,其中e>(),⑷匕兀.若/•(竺) = 2, /(—) = o,且/'(x)的最小8 8正周期犬于"，则x 2 -x + 3,x<l, 2 设若关于x 的不等式+ 在R 上恒成立，则a 的取 x + -,x> 1. 2x值范甬是(A) H —,2] (B) H —](C) [-275,2] (D) [-2^,—]16 16 16 16(A) a <h <c (B) c <h<a (C) b <a <c (D) b<c <a / A x 2 n (A 丿<y = — , (p =— 3 12 7n (p =—24(B)2 11冗 M = — 9 (P — ---------------------------------------312(c )g?厂一罟 < D ) “冷(6)已知奇函数(7)设函数 f(x) = 2sin(ft}x+(p), (8)已知函数/(x) =注意事项:1. 用黑色噩水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A )P (B )．·棱柱的体积公式V=Sh ．·球的体积公式343V R =π． 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()AB C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B 【解析】(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}AB C =-=，故选B ．（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】C【解析】初始：24N =，进入循环后N 的值依次为8,7,6,2N N N N ====，输出2N =，故选C ． （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ．（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,2210()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ． （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． （8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16- 【答案】A当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+． 又3232()2322x x x x --=-+≤-（当233x =时取等号）， 222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟。

第I 卷1至2页，第n 卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！注意事项:1•每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。

2•本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A , B 互斥，那么 P(A U B)=P(A)+P(B). 棱柱的体积公式 V=Sh 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有(1)设集合 A ={1,2,6}, B ={2,4}, C 叫x R | 一1 乞5}，则(AUB )r|C -(A) {2} ( B ) {1,2,4} (C ) {1,2,4,6} ( D ) {x R | -仁 X 乞 5}‘2x + y 工0, x+2v —2 艺0(2)设变量x, y 满足约束条件则目标函数z =x • y 的最大值为|x ",心，(A) 3 ( B ) 1 (C ) 3 (D ) 33 2绝密★启用前如果事件A , B 相互独立，那么 P(AB)=P(A) P(B).43球的体积公式V R .3其中R 表示球的半径.项是符合题目要求的(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24,则输出N的值为(A)0 (B)1(C) 2(D)3n (4)设才R，则“ | |冗”12’ 12(A )充分而不必要条件2 2(5)已知双曲线笃-每a b sin —丄”的2(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D )既不充分也不必要条件=1(a 0,b 0)的左焦点为F，离心率为 2 若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为2 2x y (B)18 8 (C)2 2x y1 (D)4 8x2(6)已知奇函数 f (x)在R上是增函数, g(x)二xf(x).若a =g(-log25.1)，b=g(2°.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为(A) a :::b :::c (B) c ::: b ::: a b ::: a :::c(7)设函数f (x)二2si n(・・x •「)，x •二R，其中>0，| h 二.若f(• ) =2，81 1兀f ( .)=0，且f(X)的最小8正周期大于2二，则1211JI甲=12(C)lln甲=24(D) -=~3 24(8 )已知函数-x 3,x <1,2设a • R，若关于x ,x 1.xx的不等式f (x)」a |在R上恒成立, 则a的取值范围是（A ）卜（ B ）追曙（C ）[^ 3,2] 234注意事项: 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式343V R =π.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x===∈-≤≤R，则()A B C=【B】（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为【D 】 （A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为【C 】（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的【A 】（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B 】（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【C 】（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a << （7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5(28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则【A 】（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是【A 】（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[-（D）39[16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[- （D ）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ； • 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}|15x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4A B C =-=U I I ，故选B ． （2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ）（A ）23（B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，故选D ．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =，故选C ．（4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<，0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以是充分不必要条件，故选A ．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点为F 2F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） （A ）22144x y -= （B ）22188x y -= （C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===-=-，故选B ．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.15.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.85.1202log 3<<<，()()()0.85.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ．（7）【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33kk ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C ）[3,2]-（D ）39[23,]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2xf x a f x -≤+≤，当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）， 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >，()*式为222x x a x x x--≤+≤+，322222x x x a x x --≤+≤+，又32322322x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭（当23x =时取等号），222222x x xx+≥⨯（当2x =时取等号），所以232a -≤，综上47216a -≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2017年天津，理9，5分】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． （10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183aa =⇒=，外接球直径为344279233,πππ3382R a V R ===⨯=．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ． 【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1xy +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ． 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号． （13）【2017年天津，理13，5分】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 ． 【答案】311 【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r，1233AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r ，则()1233AD AE AB AC AC ABλ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15，13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin(2)4A +的值． 解：（1）在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =sin sin a bA B=，得sin 313sin a B A b ==．所以b 13，sin A 313．（2）由（1）及a c <，得213cos A ，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππ72sin(2)sin 2cos cos2sin 444A A A +=+． （16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=， 11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=． 所以，随机变量X 的分布列为X0 1 2 3P 14 112414 124随机变量X 的数学期望1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． （17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =． （1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值； （3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7，求线段AH 的长． 解：如图，以A 为原点，分别以AB u u u r ，AC u u u r ，APu u u r 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =uu u r ，()2,0,2DB =-u u u r．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n ， 即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-u u u u r，可得MN ⋅=u u u u rn ．因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ． （2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur n n ，因为(0,2,1)EM =--u u u u r ，(1,2,1)MN =-u u u u r ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n．因此有121212cos ,|||21⋅<>==n n n n|n n 12105sin ,<>=n n．二面角C EM N--105（3）依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--u u u u r，(2,2,2)BE =-u u u r．由已知， 得2||7|cos ,|||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===+⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，整理得2102180hh -+=，解得85h =，或12h =． 所以，线段AH 的长为85或12． （18）【2017年天津，理18，13分】已知{}na 为等差数列，前n 项和为()nS n *∈N ，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}nb 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2nnb =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32na n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}nb 的通项公式为2nnb =．（2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(31)4n nT n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L 112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n nn T +-=⨯+．所以，数列{}221n n a b-的前n 项和为1328433n n +-⨯+．（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆6，求直线AP 的方程； 解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，22234ba c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24yx=．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-． 将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60my my ++=，解得0y =，或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+． 所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆的面积为6，故2216262||32m m m ⨯⨯=+，整理得 2326|20m m -+=，6||m ，6m =．直线AP的方程为3630x +-=，或3630x -=．（20）【2017年天津，理20，14分】设a ∈Z ，已知定义在R上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2 内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q ∈U 满足041||p x q Aq-≥． 解：（1）由432()2336f x xx x x a=+--+，可得32()()8966g x f x xx x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或14x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：x (),1-∞- 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ' + - + ()g x ↗ ↘ ↗所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，0()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0H m >，()0h m >．令函数2()()()()H x g x x x f x =--，则2()()()H x g x g x ''=-．由（1）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <． 所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2p x x q ∈U ，令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=． 由（1）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p pf f p p p q p q pq aq q q x qg x g g q +--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q≠． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q-≥．只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥．。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=15.1），6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log2b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{an }为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m），求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x）∪（x0，2]，满足|﹣x|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊊（﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1，由2x﹣1=﹣，可得x=，切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．由图象平移可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y ﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080 个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴线段AH的长为或．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{an }为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{an }的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，数列{an }的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为Tn，由a2n =6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m），求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x）∪（x0，2]，满足|﹣x|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m），h（x0）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x，2]时，H1（x）＞H1（x）=﹣f（x）=0，可得H1（m ）＞0即h （m ）＞0，令函数H 2（x ）=g （x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则H′2（x ）=g （x 0）﹣g （x ）．由（Ⅰ）知，g （x ）在[1，2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0）时，H′2（x ）＞0，H 2（x ）单调递增；当x ∈（x 0，2]时，H′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 2（x ）＞H 2（x 0）=0，可得得H 2（m ）＜0即h （x 0）＜0，． 所以，h （m ）h （x 0）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p ，q ，且，令m=，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当m ∈[1，x 0）时，h （x ）在区间（m ，x 0）内有零点； 当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点．所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h （x 1）=g （x 1）（﹣x 0）﹣f （）=0．由（Ⅰ）知g （x ）在[1，2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2）， 于是|﹣x 0|=≥=．因为当x ∈[1，2]时，g （x ）＞0，故f （x ）在[1，2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f （）≠0． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数， 从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1． 所以|﹣x 0|≥．所以，只要取A=g （2），就有|﹣x 0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . ·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。