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第6单元整理和复习1.数与代数第3课时数的运算（1）【教学目标】1.归纳整理整数、小数、分数计算法则的异同点，进一步总结计算时应遵循的一般规律及四则运算中的一些特殊情况。
2.培养学生运用法则熟练计算的能力和对学过知识进行归纳整理、比较异同、形成知识结构的能力。
3.引导学生探索知识间的内在联系，认识事物本质。
【教学重难点】重难点：1.整理四则运算的意义及计算法则。
2.对四则运算法则本质的认识和理解。
【教学过程】一、创设情境（1）教师：“六一”快到了。
同学们为欢庆“六一”在精心准备，瞧，有的折幸运星，有的做蝴蝶结，有的用彩带做中国结，还有的买来了矿泉水，真热闹，我们一起去看看吧！（2）多媒体课件出示教师创设的问题情境。
如下所示：（有条件的教师可通过这些问题创设情境图）①同学们折了37颗红星，23颗蓝星，一共折了多少颗星？②同学们买了40瓶矿泉水，每瓶0.9元，一共要付多少钱？1做蝴蝶结，做蝴蝶结用去了多少米？③有24m的彩带，用3④有24米的彩带，用21做中国结。
做中国结用去了多少米？教师组织学生分小组讨论这些问题。
（3）教师：在解决问题中，你们使用了哪些运算？学生可能说出：加法、减法、乘法、除法。
二、复习讲授1.复习整理四则运算的意义。
（1）学生自己编题并列式回答。
（写在练习本上）（2）小组合作学习，教师要求小组同学互相补充纠正编题和列式出现的错误。
说出运用了哪种运算，这种运算的意义是什么？（3）小组汇报，其他同学注意补充纠正。
说说用到的每种运算的意义是什么？教师板书28+36= 36-28= 36÷28= 28÷36=0.9×40= 40÷0.9= 24×12= 12÷24==⨯+⨯21243124 =⨯⨯3124-2124 （4）根据同学们的回答，指名说说整数、小数、分数的哪些运算的意义相同？哪些意义有扩展？（5）你能用图示的形式表示出四则运算之间的关系吗？师生总结：2.整理四则运算的法则。
六年级下册数学教案第六单元第3节数的运算(二) 人教版教学内容本节教学内容为《数的运算（二）》，涉及多位数乘除法的基本运算规则，包括竖式计算方法、分配律和结合律在乘除法中的应用，以及解决实际问题时乘除法运算的运用。
课程旨在通过系统讲解和练习，使学生熟练掌握乘除法运算技巧，提高解决复杂运算问题的能力。
教学目标1. 知识与技能：学生能够正确、迅速地进行多位数的乘除法运算，并能够运用分配律、结合律简化计算过程。
2. 过程与方法：通过实例分析、小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生耐心、细心的学习态度和数学思维。
教学难点教学难点在于分配律和结合律在乘除法中的应用，以及如何指导学生运用这些法则简化计算过程。
如何将乘除法运算与实际问题结合，让学生在实际情境中运用所学知识，也是教学的难点。
教具学具准备教师准备：计算器、多媒体教学设备、PPT课件、练习题纸张。
学生准备：练习本、铅笔、橡皮。
教学过程1. 导入：通过简单的数学游戏或问题引入乘除法运算，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：系统讲解多位数乘除法的基本规则，包括竖式计算方法和分配律、结合律的应用。
3. 实例演示：通过具体例题演示如何运用分配律、结合律简化计算过程。
4. 小组合作：学生分组进行练习，互相讨论，合作解决实际问题。
5. 课堂练习：布置课堂练习题，让学生独立完成，教师巡回指导。
板书设计板书设计要清晰、有条理，将乘除法运算的步骤、分配律和结合律的应用等要点明确展示出来。
同时，结合具体例题，展示解题过程。
作业设计设计不同难度的练习题，包括基础运算题和综合应用题，让学生在课后进行练习，巩固所学知识。
课后反思本教案严格按照人教版六年级下册数学教材的要求编写，内容详实，结构清晰，旨在通过系统的教学，帮助学生掌握数的运算（二）的相关知识和技能，培养其数学思维和解决问题的能力。
在教学过程中，注重启发式教学和学生主体作用的发挥，力求达到教学目标，为学生的数学学习奠定坚实的基础。
六年级下册数学教案《第6单元第1部分 2 数的运算》人教版一、教学目标1.认识正数、负数的概念，掌握正负数加法、减法的运算规律。
2.熟练掌握整数加减法运算，能够正确应用到实际问题中。
3.提高学生的运算能力和解决问题的能力。
二、教学重点1.掌握正负数之间的运算规律。
2.熟练运用整数加减法计算。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三、教学内容1.正数、负数的概念理解。
2.正负数加减法的运算规则。
3.整数的加减法运算练习。
4.将所学知识应用到实际问题中解决。
四、教学过程第一课时1.引言：通过实际生活中的例子引入正数、负数的概念。
2.讲解正负数的表示方法和加法规则。
3.带领学生进行简单的正负数加法练习。
第二课时1.复习上节课内容，强化正负数加法的运算规律。
2.讲解正负数的减法规则。
3.给学生布置正负数加减法练习题，以巩固所学内容。
第三课时1.引入整数的概念，讲解整数的加法、减法规则。
2.给学生讲解整数加减法运算的技巧和方法。
3.练习整数的加减法计算，加强学生的运算能力。
第四课时1.针对上节课内容进行复习和强化。
2.给学生提供一些综合运算题目，并指导学生如何解题。
3.鼓励学生在实际生活中找到与整数运算相关的问题，并尝试解决。
五、教学反馈1.对学生进行课堂练习和作业批改，及时纠正学生的错误。
2.鼓励学生互相讨论，共同解决难题。
3.定期组织小测验，检验学生对整数运算的掌握程度。
六、教学延伸1.给学生拓展更多整数运算的应用场景，如温度计算、海深计算等。
2.引导学生深入理解整数运算背后的数学概念，培养学生的抽象思维能力。
3.培养学生解决实际问题的能力和创新思维。
以上是教学计划的大致内容，希望能够有效帮助学生掌握本单元的知识内容，提高他们的数学运算能力。
苏教版四年级数学下册第六单元第2课《应用加法运算律进行简便计算》教案一. 教材分析本节课是苏教版四年级数学下册第六单元第2课，内容是应用加法运算律进行简便计算。
教材通过生活实例和数学问题，引导学生发现加法运算律在实际计算中的应用，培养学生运用运算律进行简便计算的能力。
二. 学情分析四年级的学生已经掌握了加法运算的基本知识，对加法运算律也有了一定的了解。
但是，学生在实际运用中，可能还不太会灵活运用加法运算律进行简便计算。
因此，在教学中，需要通过实例和问题，让学生充分理解加法运算律的应用，并在实际操作中加以巩固。
三. 教学目标1.理解加法运算律的意义，掌握加法运算律的应用。
2.培养学生运用加法运算律进行简便计算的能力。
3.培养学生解决问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.加法运算律的理解和应用。
2.如何在实际计算中运用加法运算律进行简便计算。
五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过生活实例和数学问题，引导学生发现加法运算律在实际计算中的应用，培养学生运用运算律进行简便计算的能力。
同时，学生进行小组合作学习，让学生在讨论和交流中，进一步理解和掌握加法运算律的应用。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学素材，如生活实例、数学问题等。
3.小组合作学习分组。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如购物场景，引导学生发现加法运算律在实际计算中的应用。
例如，一件商品30元，另一件商品20元，如何快速计算总价？引导学生发现，可以先计算20+10=30，再加上另外一件商品的30元，总价就是60元。
通过这个实例，让学生感受加法运算律在实际计算中的简便性。
2.呈现（10分钟）呈现一些数学问题，让学生运用加法运算律进行简便计算。
例如，计算456+789，可以引导学生先计算6+9=15，然后再计算5+8=13，最后计算4+7=11，将这三个结果相加，得到最终答案1350。
第六章整理和复习第1节数与代数-数的计算1 教学目标1.1 知识与技能：1.使学生进一步理解整、小数、分数四则运算的意义。
2、体会数的运算意义之间的联系。
1.2过程与方法：在数的运算的过程中，培养学生初步的计算能力以及抽象、概括能力。
1.3情感态度与价值观：引导学生进一步体会数字计算的练习，感受数学探索活动本身的乐趣，增强学好数学的信心。
2教学重点/难点/考点2.1教学重点：整数、小数、分数的运算方法。
2.2 教学难点：能够进一步掌握整数、小数和分数的相互计算。
2.3 考点分析：利用对数的计算方法的理解，能够在以后的学习中正确计算整数、小数、分数的相关为题，并正确进行三者之间的交叉计算。
3专家建议（1）在教师演示时一定要把整数、小数、分数的性质和计算原则讲解清楚。
（2）在利用课件讲解整数、小数、分数三个方面的计算时，要配合适量的练习并让学生主动参与达到复习的目的。
（3）在整个课堂中练习环节一定要做到合理分组，让学生自己思考、讨论解决问题，以提高学生的合作能力，体现学生的主体地位。
4 教学方法多媒体演示、提问式教学法。
5教学用具课件、多媒体设备等6 教学过程6.1情境导入师：同学们，在前面的学习中我们都学过哪些运算？每一种运算都有其自己的含义，也有其自己的计算法则。
具体怎样的呢？生：同学们举手进行回答。
师：加法、减法、乘法、除法。
这些运算方法我们还记得吗?①加法：加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。
表达加法的符号为加号“+”。
进行加法时以加号将各项连接起来。
把和放在等号“=”之后。
②减法：减法是四则运算之一，从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
表示减法的符号是“-”，读作减号。
用来计算减量。
③乘法：是指将相同的数加起来的快捷方式。
其运算结果称为积。
④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
《计算方法》课程简介及教学大纲一、课程简介1.课程编号：201100112.课程名称：计算方法3.开课学院：数学课程组4.学时：325.类别：公共选修课6.先修课程：高等数学，线性代数7.课程简介：《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
内容包括引论、线性代数方程组求解方法、非线性方程求根、函数插值、函数拟合、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、自治微分方程稳定区域的计算等。
本课程的任务是通过各个教学（和实践）环节，运用各种教学手段和方法，使学生掌握数值计算的基本原理和各种方法的基本思想，并藉此培养学生分析问题和解决问题的能力，为学习后续课程、从事工程技术研究工作打下坚实的基础。
Course Code:20110011Name of Course:Computational MethodFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 32Classification: Elective coursePrerequisite:Advanced Mathematics, Linear AlgebraCourse Outline:Computational Method induces the calculation methods used in Scientific and Engineering roundly，and makes specific introduction to the calculation method of basic theory and practical application of these methods. It also makes a brief analysis of the calculation of effectiveness, stability, convergence effect, scopeand characteristics of the advantages and disadvantages. It includes introduction, method for solving linear algebraic equations, finding roots of nonlinear equations, function interpolation, function fitting, numerical differentiation and numerical integration, numerical methods for initial value problem for ordinary differential equations, autonomous differential equation and stability calculations.Through various teaching and practice, students will master the basic principles and methods of numerical calculation of the basic idea. This course aims to develop students' ability to analyze and solve problems, and lay a solid foundation for follow-up courses and engagment in engineering work.二、课程教学大纲1. 课程编号：20110011 6. 先修课程：高等数学，线性代数2. 课程类别：公共选修课 7.课内总学时：323. 开课学期：第二学年一学期 8.实验/上机学时：04. 适用专业：全校各专业 9.执笔人：陈丙振5.考核方式：考查1．课程教学目的《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
第六章数值微分与数值积分§1 引言§2 数值微分公式§3 Newton-cotes求积公式§4 复化求积公式§5 Romberg求积算法§6 Gauss型求积公式西北工业大学理学院欧阳洁1西北工业大学理学院欧阳洁2二积分学基本定理)()()(a F b F dx x f ba−=∫应用中碰到如下情况：①f (x )的原函数无法用初等函数给出；②f (x )用表格形式给出；③f (x )的原函数能用初等函数表示，但表达式过于复杂。
所以有必要研究积分的数值方法。
§1 引言一函数f (x )的表达式十分复杂，或需要利用函数在相关离散节点处的函数值计算其导数，则有必要研究微分计算的数值方法。
§2 数值微分一插值法二Taylor展开法三Richardson外推法西北工业大学理学院欧阳洁3西北工业大学理学院欧阳洁15①在数值微分的计算中，并非步长越小精度越高。
因为数值微分对舍入误差非常敏感，它随步长h 的缩小而增大。
所以，当步长h 缩小时，可能导致计算不稳定。
③为了避免上述问题，可以用样条插值函数的导函数来代替f (x )的导函数。
Remarks②在数值微分计算中，当插值多项式收敛到函数f (x )时，不一定收敛到f ′(x )。
)(x P n ′)(x P n§3 Newton-cotes 求积公式一求积公式的代数精（确）度二插值型求积公式三Newton-cotes 公式四几种低阶求积公式的截断误差五求积公式的收敛性与稳定性西北工业大学理学院欧阳洁16西北工业大学理学院欧阳洁17可以看成函数值的线性组合的极限。
∑∫=→==ni ii h ba h f dx x f I 1)(lim )(ξ设i i i i i i n x x x x h b x x x a ≤≤−=≤<<<≤−−ξ1110,,L 去掉极限过程就得到一种近似方法。
一元可积函数的定积分∑∫==≈=ni ni i ba I x f A dx x f f I 0)()()(∫∑=+=+==bani n n n i i f E I f E x f A dx x f f I 0][][)()()(或称为求积公式。
),2,1,0(n i x i L =称为求积节点。
称为求积系数。
),2,1,0(n i A i L =仅与求积节点的选取有关，它不依赖于f (x )。
i A i x 称为求积公式的余项（截断误差）；][f E n西北工业大学理学院欧阳洁18二求积公式的代数精（确）度定义：如果对于任意不高于m 次的代数多项式准确成立。
则称上述求积公式具有m 次代数精（确）度。
∫∑=≈bani i i x f A dx x f 0)()(而对于某一个m +1次多项式并不准确成立。
定理求积公式具有m 次代数精度的充分必要条件是),,1,0(0m k xA dx x ni kii ba kL ==∑∫=∑∫=++≠ni m ii b am xA dx x11西北工业大学理学院欧阳洁19∫∑==ba ni i A dx 0M ∫∑==ba ni ii x A xdx 0∫∑==ban i m ii m x A dx x 0∫∫∫+++bam m ba ba dx x a xdx a dx a L 10∑∑∑===+++=n i m ii m ni ni i i i xA a x A a A a 010L ∑∫=+++=+++ni m im i i bamm x a x a a A dx x a x a a 01010)()(L L 证明*：充分性若故若满足此方程组，求积公式至少具有m 次代数精度。
i A 则即∑∫∑∫=++=≠==ni m i i b am ni ki i bakxA dx xm k x A dx x 011),,1,0(L ∑∫=++≠ni m ii b a m xA dx x011再由知求积公式具有m 次代数精度西北工业大学理学院欧阳洁20∫∫∫∫++++++bam m bamm ba ba dxxa dx x a xdx a dx a 1110L ∑∑∑∑=++===++++≠ni m ii m ni m ii m ni ni i i i xA a x A a x A a A a 011010L 必要性若求积公式具有m 次代数精度，则有由于求积公式对于某一个m +1次多项式并不准确成立，故有利用上述m +1个等式，则有∑∫=++≠ni m ii b am xA dx x11),,1,0(0m k x A dx x ni k i i bakL ==∑∫=西北工业大学理学院欧阳洁21M ∫∑==bani kk x A xdx 0∫∑==ban i n kk n x A dx x 0∫∑==ba ni k A dx 0给定n +1个节点的求积公式，取m =n ，则可以通过求解下列方程组而得到n +1个求积系数，从而使得该求积公式至少具有n 次的代数精度。
),,1,0(0m k xA dx x ni k ii bakL ==∑∫=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++1/)(2/)(111112210110n a b a b a b A A A x xx x x x n n n n n n n n MM L M M M M L L即若求积节点互异，则系数矩阵非奇异。
西北工业大学理学院欧阳洁22在区间[a ,b ]上，对于给定的n +1个互异节点，总存在求积系数，使求积公式至少有n 次代数精度。
并且，这种求积公式是惟一的。
n A A A L ,,10b x x a n ≤<<≤L 0定理：Remark ：定出，则求积公式至少具有n 次代数精度，但并不一定它具有n 次代数精度。
要将代入求积公式，如果等式不准确成立，则求积公式具有n 次代数精度，否则代数精度将大于n 。
1+n x ),,1,0(n i A i L =对于至少具有零次代数精度的求积公式：∫∑==bani iAdx 0∑∫=≈ni i i bax f A dx x f 0)()(有即ab A ni i −=∑=0西北工业大学理学院欧阳洁27充分性：设求积公式则对于不高于n 次的多项式，上述等式精确成立。
有根据插值型求积公式定义知，其求积公式为插值型求积公式。
∫∑=≈bani i i x f A dx x f 0)()(至少具有n 次代数精度。
),,1,0()()(n j x l x f j L ==特别地，取∫∑==bani i j i j x l A dx x l 0)()(),,1,0()(n j dx x l A ba j j L ==∫jii j x l δ=)(注意)()()(1100n j n j j x l A x l A x l A +++=L西北工业大学理学院欧阳洁30定理节点数n ＋1为奇数时，Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是n +1；节点数n ＋1为偶数时，Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是n 。
证明略积分第二中值定理∫∫=babadxx g f dx x g x f )()()()(ξ如果f (x )，g (x )在区间[a ,b ] 连续，且g (x )在区间(a ,b )不变号，则存在ξ∈(a ,b ), 使得西北工业大学理学院欧阳洁36在五求积公式的收敛性与稳定性∫∑=+=+==bani n n n i i f E I f E x f A dx x f I 0][][)()(即求积公式的截断误差定义为∑∫=−=−=ni i i ba n n x f A dx x f I I f E 0)()(][如果则称该求积公式收敛。
∑∫=∞→=ni ba i i n dx x f x f A 0)()(lim 0][lim =∞→f E n n 或称为求积公式的余项（截断误差）。
][f E n§4 复化求积公式一复化求积算法二区间逐次分半求积法西北工业大学理学院欧阳洁38西北工业大学理学院欧阳洁39当n ≤7时，cotes 系数均为正；但从n =8开始，cotes 系数有正有负（见课本156页）。
这会使计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。
实际计算时，一般不采用n 较大的Newton-cotes 公式，而是将区间[a ,b ]等分为n 个小区间。
在每个小区间上应用低阶的Newton -cotes 公式，然后对所有小区间上的计算结果求和，这样建立的求积公式称为复化（Newton -cotes ）求积公式。
一复化求积算法将[a,b ]等分为n 个子区间1,,1,0],[1−=+n i x x i i L 在每个子区间上用低阶的Newton -cotes 公式公式，且记h =(b −a )/n 。
二区间逐次分半求积法使用复化求积公式时，①若事先估计需要的节点个数，需要对被积函数的高阶导数做估计，其工作量可能很大；②被积函数的高阶导数无法估计时（如被积函数的解析表达式未知），节点数目无法事先估计。
③即使估计出应采用的节点数目，该节点数有可能偏大，从而增加了不必要的计算量。
实际中常用“事后误差估计”法。
“事后误差估计”法：在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算。
并同时查看相继两次计算结果的差值是否达到要求，直到所求得的积分值满足精度要求为止。
西北工业大学理学院欧阳洁47。
