江苏省淮安中学高二数学《二项式定理》同步练习一

2022-2023学年高二下数学：二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•通州区期中）在（x﹣2）5的展开式中，x4的系数为（）
A．﹣5B．5C．﹣10D．10 2．（2021•四川模拟）若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（）
A．2B．3C．4D．5 3．（2021秋•建邺区校级期中）已知（1﹣2x）n的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含x2的系数为（）
A．﹣312B．312C．﹣220D．220 4．（2021秋•常州期中）已知（1﹣2x）2021＝a0+a1x+…+a2021x2021，
则
＝（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
5．（2021秋•莎车县期中）已知（x3+a ）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）
A．80B．160C．240D．320 6．（2021
春•湖北期中）二项式（）n的展开式中有且仅有第3项的二项式系数
最大，则展开式中所有项的系数和为（）
A．729B．243C．81D．27 7．（2021春•河南期中）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为15，则a的值为（）A ．B ．C ．D．1
8．（2021春•红桥区校级期中）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n＝（）
A．11B．10C．9D．8
二．填空题（共4小题）
9．（2021秋•普陀区校级期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开
第1页（共13页）。

人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理A 组基础同步训练（原卷版）一、选择题1．（2021·北京高二期末）在4(x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．6B ．12C ．24D ．482．化简23133x x x +++=（）A ．4x B ．()31x +C ．()41+x D ．()31x -3．（2021·山东菏泽三中高二月考）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年､1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，x 的系数为（）A ．10B ．52-C ．54D ．54-4．（2021·云南高二期末）51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．10B ．10-C ．5D ．5-5.（多选题）（2021·江苏苏州市高二月考）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．66．（多选题）（2021·全国高二专题练习）若二项式6(x展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2二、填空题7．展开5212-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_____．8．（2021·全国高二课时练习）在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．9．（2021·全国高二课时练习）若9(a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a =．10．（2021·云南省保山第九中学高二月考）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________．三、解答题11．（2021·湖北荆门市高二月考）已知4530n n A C =，设()nf x x ⎛= ⎝．（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的常数项．12．（2021·江西高二期末）在二项式122x ⎫-⎪⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理A 组基础同步训练（解析版）一、选择题1．（2021·北京高二期末）在4(x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【详解】4(x -展开式的通项为(44rr r C x -，由42-=r ，解得2r =，则2x 的系数为(2246212C=⨯=，故选：B2．化简23133x x x +++=（）A ．4xB ．()31x +C ．()41+x D ．()31x -【答案】B【详解】()3230312223333331331111x x x C C x C x C x x +++=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+.3．（2021·山东菏泽三中高二月考）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年､1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，x 的系数为（）A ．10B ．52-C ．54D ．54-【答案】D【详解】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()251031551122k kk kk k k k T C xx C x---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1031k -=，解得3k =，所以二项式展开式中，x 的系数为3351524C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.4．（2021·云南高二期末）51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．10B ．10-C ．5D ．5-【答案】B【详解】要求51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项，只需求51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数.因为51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为()3351C 10-=-，所以51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为10-.5.（多选题）（2021·江苏苏州市高二月考）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】BD【详解】因为1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第1r +项为()()2111r r r n r r rn r r n n T C x x C x ---+=-=-，若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则只需20n r -=，即2n r =，又*n N ∈，r N ∈，所以n 只需为正偶数即可，故AC 排除，BD 可以取得；故选：BD.6．（多选题）（2021·全国高二专题练习）若二项式6(x展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】AB【详解】二项式6x⎛ ⎝展开式的通项为，661rr r r C x T -+=3626r r r x m C -=，令3602r -=，得4r =，常数项为44615C m =，41m =，得1m =±，故答案为±1.二、填空题7．展开5212-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_____．【答案】52471080401013280x x x x x x-+-+-【详解】()()()()()154555355222222343205212455511111122·2222x C x C x C x C x C x x C x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--+⎭+⎝52471080401013280x x x x x x=-+-+-．8．（2021·全国高二课时练习）在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52.【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==-⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.9．（2021·全国高二课时练习）若9(a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a =．【答案】1【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=.10．（2021·云南省保山第九中学高二月考）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________．【答案】3【详解】()5552222211121121x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()52101552111rr rr r r r R C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，所以，()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()()()2210210282101,155********k r k rk k r r k k r r k r T x C x C x C x C x ----++=⋅-⋅+⋅-⋅=⋅-⋅+⋅-⋅，由2802100k r -=⎧⎨-=⎩，可得45k r =⎧⎨=⎩，因此，()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为()()4545551213C C ⋅-+⋅-=.三、解答题11．（2021·湖北荆门市高二月考）已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝．（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的常数项．【详解】（1）由已知4530n n A C =得：()()!30!4!5!5!n n n n =--，()()()!30!45!1205!n n n n n =---解得:8n =．（2）8x ⎛ ⎝展开式的通项为()()48831881kkk k k k k T C x C x --+骣ç=-=-çç由4803k-=得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T =．12．（2021·江西高二期末）在二项式122x ⎫-⎪⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.【详解】(1)设第1k ＋项为362112(2)kk kk T C x-+=-，令363,2k -=解得2k ＝，故展开式中含3x 项的系数为()22122264C -=.(2)∵第3k 项的二项式系数为3112k C -，第2k +项的二项式系数为112k C +，∵3111212=k k C C -+，故31+1k k －＝或31++112r r －＝，解得1k ＝或3k ＝.。

选修2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是() A．C r n B．C r＋1nC．C r－1n D．(－1)r－1C r－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410[答案] D[解析]∵T r＋1＝C r10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2018·全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8x x)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 的系数为2.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n(n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10[答案] B [解析]T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r nx 3n －5r. 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5.6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207[答案] D[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.7．(2018·北京)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D [解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r nx 2n －3r，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.8．(2018·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2[答案] D[解析] C r 5·x r (a x )5－r＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·a ＝10，得a ＝2. 9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25[答案] A[解析] 由⎩⎨⎧T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 10．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项[答案] A [解析]T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r，∵系数为有理数， ∴(2)r 与220－r 3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20. ∴r ＝2,8,14,20. 二、填空题11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． [答案] －16212．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． [答案] 5[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15(－1)＝5. 13．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)．[答案] 2 [解析]C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a 3x 3＝52x 3，∴a ＝2.14．(2018·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．[答案] －5[解析] (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r6x 6－r (－1)r x －r ＝C r6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解． 令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.三、解答题15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． [解析] 根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析](1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r·(－123x)r＝C rn ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3. ∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2， ∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5，C 810·(－12)8·x －2.18．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析] 通项为：T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r .由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8.记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有： ⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.∴⎩⎨⎧29－k≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 74.。

问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
问题探究
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究