转变教材功能，挖掘教材的思想内涵
——谈高中数学教师如何用好教材
铜梁中学校 唐永立
随着新课程的实施，教材的观念呈现出新的转向，根本特征是范例性，教材是学生发展的“文化中介”，教师的教学行为由“教教材”变成“用教材”，使教学活动以教材为基础，但又不囿泥于教材，让学生多角度、多渠道、全方位地从课内外丰富的课程资源中，获得情感体验、生活经验，提高综合素质．同时在教学实践中又经常遇到：同一个课题，不同的教师在基础相同的学生中执教，会产生不同的教学效果．原因何在？高效的教学过程的设计与精湛的教学方法的选择是产生优良效果的前提条件．因此，教师应发挥处理教材的创造性和自主性，转变教材功能，挖掘教材的思想内涵，能动地乃至个性化地解读教材和运用教材于教学实践中．下面仅就本人在这方面的探索谈点体会．
1、在公式性质的推导中，应揭示数学思维的过程
充分暴露数学思维的过程，是数学教学的一项指导性原则．对定理、公式、性质的教学过程的设计不能仅停留在教材的层面上，需要再造教材．如何深入地挖掘教材，捕捉发现思维过程的因素，暴露数学思维的过程，是一个值得重视的问题．下面以公式()βα+cos 的推导过程为例予以说明．
教材上推导公式()βαβαβαsin sin cos cos cos ⋅-⋅=+时，作出“β-”是关键，因此教学程序的设计应着重揭示作出“β-”的思维过程．在实际教学中，一些教师往往只要求记住公式，会正确运用就行了，至于证明尤其是证明的思维过程常常被忽略．很多教师即使这样做了也做得不够．例如，在单位圆内作βα=∠=∠3221,OP P OP P （如图１）于是有)()()()(
βαβα++sin ,cos ,0,1
31P P ，其中()βα+cos 正是我们要研究的．但这里还缺乏公式βα+C 中的
βαβαs i n ,s i n ,c o s ,c o s ，而点2P 的坐标为()ααsin ,cos 2P ，不．
得已．．再作β-=∠41OP P
，于是有()()()ββ--sin ,cos 4P ，由4231P P P P =及两点间的距离公式，得：
()[]()=++-+βαβα22s i n 1c o s ()[]()[]22s i n s i n c
o s c o s αβαβ--+-- 展开、整理、化简，
得公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
这里的问题在于：
⑴作“β-”的思维过程掩盖在“不得已”三字后面； ⑵4231P P P P =未作任何交代，来得十分突然．
以上两个重要的思维环节，没有掌握时机充分地揭示．
要再现数学发现的过程，即用逻辑的方法顺理成章地再现被直觉所掩盖了的思维过程，确实很困难．这时，常可用反思的方法来分析思维过程，加深对问题的理解：如在()βα+cos 的计算公式的教学中，可以先把公式推导的过程直接“端”出来，然后再和学生一起寻找使人想到这个推导过程的根据和背景，挖掘其蕴含的思想．分析如下：上面证明的关键步骤在于作出＂β-＂，从而得到4231P P P P =，这样由同一个量31P P 的两种不同表示方法，架起了沟通α、β与βα+的三角函数的桥梁．但是，是什么使你想到作＂β-＂的呢？我们知道，＂旋转＂变换是几何中常见的变换方法，想到它也就自然了．因此，在处理教材的设计过程中，当制定再发现的方案有困难时，采用＂发现后的反思＂这种策略，可以达到暴露数学思维过程的效果．
事实上，对于数学思维活动的成果总可以设计出一个理想的＂再发现＂方案加以模拟．现在我们把()βα+cos 的计算公式的推导放在更为广阔的背景下进行，一个理想的＂再发现＂方案也就形成了．
⑴引入新课，提出问题
思考：下列两个等式成立吗？为什么？
①()︒+︒=︒+︒=︒3045cos 3045cos 75cos
②()︒-︒=︒-︒=︒30cos 45cos 3045cos 15cos
学生回答后，提出问题：怎样用α、β的三角函数来表示βα+、βα-的三角函数？即推导计算()βα±sin 、()()βαβα±±tg ,cos 的公式．
⑵分析问题，明确目标
指出：上述６个公式中，只要推出()βα±sin 与()
βα±cos
中的任何一个计算公式，就可以借助诱导公式推出另外的计
算公式．
⑶三角几何，联想推导
什么叫做已知α、β的三角函数？什么叫做βα+、
βα-的三角函数？由三角想几何，返回定义．如图２，在单
位圆中，作ββα=∠=∠=∠325121,,OP P OP P OP P ，则
βαβα+=∠-=∠3125,OP P OP P ，(
)()()()()βαβααα++sin ,cos ,sin ,cos ,0,1321P P P ，()ββsin ,cos 5P ．
⑷出师不利，推导受阻（推导()βα+cos ）
在31OP P ∆中，联想到余弦定理有：()222cos 2
313
12312321P P OP OP P P OP OP -=⋅⋅-+=+βα. 再由两点间的距离公式，有：()[]()()2cos 2sin 1cos 22
231++-=++-+=βαβαβαP P ．显然两式是同一关系，推导过程受阻．
⑸另辟蹊径，尝试探索（尝试()βα-cos ）
在图２中，还有βα-=∠25OP P 的关系，能否利用这个关系推出()βα-cos 的计算公式呢？在52OP P ∆中，由余弦定理有：
()522522522
2cos OP OP P P OP OP ⋅⋅-+=-βα＝222
52P P - ① 又由两点间的距离公式
()()()βαβαβαβαsin sin cos cos 22sin sin cos cos 2
2252+-=-+-=P P ② 将②代入①有：()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- ③
到此推导终于成功．
⑹跟踪追击，扩大战果
公式③的推导成功，给()βα+cos 公式的推导展示了广阔的前景：
()()[]()()βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+-=--=+④ ⑺反思探索，重新推导（()βα+cos ）
我们能否用单位圆直接推出()βα+cos 呢？上面的推导过程表明，从③推出④的关键是用＂β-＂代替β，那么用＂β-＂代替β的几何意义是什么呢？
这样，在图２中作出4OP ，使β-=∠41OP P ，这就很自然地得到课本中的图．
⑻继续深入，标新立异
公式的导出，都用了圆内等弧对等弦的关系，而在图2中，还有：=32P P 51P P ，即有：
