四川省德阳市2020届高三(高中2017级)“二诊”考试 数学(理)试题及其详细解析

2020届四川省德阳市高考（理科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．2 D．2．函数的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为A．1 B．2 C．3 D．44．函数在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．5．要得到函数的图象，只须将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．1607．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d 的最小值是（）A．B．4 C．2 D．8．不等式组表示的平面区域为Ω，则（）A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5C．D．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，且．则向量在上的投影为（）A．2 B．﹣2 C．D．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．1≤a≤5B．2≤a≤5C．a≥1D．a≤512．△ABC是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，沿EF把OAEF折起，使点A 翻折到点P的位置，连接PB、PC，当四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积最小时，四棱锥P﹣BCFE 的体积为（）A．B．C．D．二、填空题13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P （172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有种选派方法．15．已知已知a、b为正实数，直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，则的最小值为16．在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C＝sin A，O为坐标原点，若点P的坐标为（4，0），则的取值范围为三、解答题：解答）写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2对一切n∈N*成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）若PD⊥PB，求二面角C﹣PA﹣B的余弦值大小．19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．经统计A，B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如表：A市场：需求量（吨）90 100 110频数20 50 30 B市场：需求量（吨）90 100 110频数10 60 30把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品，在A，B两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润．（1）求X＞200的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量n＝190吨还是n＝200吨？并说明理由．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为抛物线y2＝4x的焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON 斜率之积为﹣．求证：△MON的面积为定值．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+mx+1．（1）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，x[f（x）+x]≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；（2）若正数m、n满足m+2n ＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．2 D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：z＝＝1﹣i．∴|z|＝＝．故选：D．2．函数的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，log2（x+1）＞1，可得x＞1，即B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x≤2}，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据程序框图一步一步倒着进行运算．解：由于输出结果y＝3，根据跳出循环时条件可知：若3＝log2（x+1），解之得x＝7，符合题意；若3＝x2﹣1，解之得x＝±2，符合题意；所以x可以取7，±2，故选：C．4．函数在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性可排除选项B，再由特殊点的函数值可排除C，由函数在时的范围可排除D．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；又，故可排除C；又时，x cos x＜ln（e x+e﹣x），故，由此可排除D．故选：A．5．要得到函数的图象，只须将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【分析】令y＝f（x）＝sin2x，则f（x+）＝sin2（x+）＝sin（2x+），从而可得答案．解：令y＝f（x）＝sin2x，则f（x+）＝sin2（x+）＝sin（2x+），∴要得到函数y＝sin2（x+）的图象，只须将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．6．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．160【分析】根据二项式的通项公式：T r+1＝C（）5﹣r（﹣x2）r，可讲此式化简得到C25﹣r x（﹣1）r，因为求常数项，所以x的指数应为零，可得，﹣+＝0，解得r＝1，代入通项公式求出常数项．解：T r+1＝C（）5﹣r（﹣x2）r＝C25﹣r（x）5﹣r（﹣1）r（x2）r＝C25﹣r x（﹣1）r∵取常数项，∴﹣+＝0，解得r＝1，常数项为25﹣1（﹣1）1＝﹣80，故选：A．7．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d 的最小值是（）A．B．4 C．2 D．【分析】由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且仅当P，F，M三点共线时，且P，M在F的同一侧时|MP|+d取到最小值．解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选：B．8．不等式组表示的平面区域为Ω，则（）A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5C．D．【分析】画出对应的平面区域，转化为求z＝x+2y和k＝的取值范围，数形结合求解即可．解：不等式组对应的平面区域如图：⇒A（1，2）；⇒B（2，1）；令z＝x+2y，平移x+2y＝0，则当其过点A时，z＝x+2y取最大值：1+2×2＝5，当其过点O时，z＝x+2y取最小值：0+2×0＝0；即：0≤x+2y≤5；故AB都错；∵设k＝表示平面区域内的点与定点D（1，﹣2）连线的斜率；由图可得：k≥k BD＝＝3或k≤k OD＝﹣2；∴C错D对；故选：D．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，且．则向量在上的投影为（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据其数量积以及已知条件可以求得cos∠DAB，再代入投影的定义求解即可．解：如图；因为AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，所以：AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2；∵＝（+）•（+）＝（+）•（﹣+）＝﹣•﹣＝×32﹣×3×4×cos∠DAB×42．∴cos∠DAB＝；向量在上的投影为：||cos∠DAB＝3×＝．故选：C．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】设CD＝DB＝x，利用两次余弦定理求得c2＝2x2+；再利用角A＝60°，即可求出c，进而求得结论．解：如图；设CD＝DB＝x；则cos∠ADC＝＝＝；①cos∠ADB＝＝＝；②∵∠ADC+∠ADB＝180°；∴①+②＝0⇒c2＝2x2+③；∵A＝60°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos∠CAB⇒（2x）2＝c2+32﹣2c×3×＝c2+9﹣3c④③④联立得：c2+3c﹣40＝0⇒c＝5（﹣8舍）；∴△ABC的面积为：bc sin A＝．故选：B．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．1≤a≤5B．2≤a≤5C．a≥1D．a≤5【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当x＜1，f（x）＝a x，由指数函数的性质分析可得a＞1①，当x≥1，f（x）＝x2++alnx，由导数与函数单调性的关系可得f′（x）＝2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，变形可得a≥2②，再结合函数的单调性，分析可得a≤1+4③，联立三个式子，分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝在R上单调递增，当x＜1，f（x）＝a x，若f（x）为增函数，则a＞1，①当x≥1，f（x）＝x2++alnx，若f（x）为增函数，必有f′（x）＝2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，变形可得：a≥﹣2x2，又由x≥1，分析可得﹣2x2≤2，若a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，则有a≥2，②若函数f（x）在R上单调递增，则有a≤1+4，③联立①②③可得：2≤a≤5，故选：B．12．△ABC是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，沿EF把OAEF折起，使点A 翻折到点P的位置，连接PB、PC，当四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积最小时，四棱锥P﹣BCFE 的体积为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，BC的中点O为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心，可知要使四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O为四棱锥P﹣BCFE的外接球的球心，由此可得OP，求解三角形得到P到平面BCFE的距离，再求出等腰梯形BCFE的体积，代入棱锥体积公式求解．解：如图，由题意，BC的中点O为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心，则四棱锥P﹣BCFE的外接球的球心在过O且垂直于平面BCFE的直线上，要使四棱锥P﹣BCFE的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O为四棱锥P﹣BCFE的外接球的球心，此时OP＝OB＝，PG＝OG＝，则cos∠POG＝，∴P到平面BCFE的距离为d＝OP•sin∠POG＝．又．∴四棱锥P﹣BCFE的体积为V＝．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为3000【分析】由题意可知正态分布密度函数关于x＝172对称，所以结合P（172＜ξ≤180）＝0.4可计算P （ξ＞180），则用30000乘以P（ξ＞180）即为所求．解：∵ξ～N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，所以P（ξ＞180）＝，故身高高于180cm的学生数为30000×0.1＝3000．故答案为：3000．14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有24种选派方法．【分析】先从两个医生中挑一个去A，甲乙中挑一个去A，再从余下的四个护士中挑两个去A，余下的都去B即可．解：先选到A地的医生和护士，有••＝24种；其余人去B地；故共有选派方案24种；故答案为：24．15．已知已知a、b为正实数，直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，则的最小值为3+【分析】由已知可得a+b＝1（a＞0，b＞0），再由＝＝（）（a+b），展开后利用基本不等式求最值．解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4的圆心坐标为（a，b），半径为2，圆心到直线x+y+1＝0距离为d＝，又直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，∴，即a+b＝1（a＞0，b＞0）．∴＝＝（）（a+b）＝．当且仅当，即a＝，b＝2﹣时上式取等号．故答案为3+2．16．在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C＝sin A，O为坐标原点，若点P的坐标为（4，0），则的取值范围为（12，+∞）【分析】根据sin B﹣sin C＝sin A，结合正弦定理得到点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上；设出A的坐标，代入数量积即可求解结论．解：设A（x，y），因为在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C＝sin A，所以：b﹣c＝a；即|AC|﹣|AB|＝×4＝4＜|BC|＝4；∴点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上且a＝2，c＝2；∴﹣＝1（x＜﹣2）；则＝（﹣x，﹣y）•（4﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣6；∵x＜﹣2；∴＞12；∴的取值范围为（12，+∞）；故答案为：（12，+∞）．三、解答题：解答）写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2对一切n∈N*成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【分析】本题第（1）题先将n＝1代入题干中表达式计算出a1的值，当n≥2时，由21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2，可得21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•a n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减，进一步计算可得a n的表达式，再验证下a1是否符合表达式，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和S n．解：（1）由题意，当n＝1时，21•a1＝2，解得a1＝1，当n≥2时，由21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2，可得21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•a n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减，可得2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n﹣2＝[2（n﹣1）﹣（n﹣2）]•2n＝n•2n，∴a n＝n，当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴a n＝n，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣），∴S n＝++++…++＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）若PD⊥PB，求二面角C﹣PA﹣B的余弦值大小．【分析】（1）设AB的中点为N，连接MN，DN，由已知证明DN∥BC，可得DN∥平面PBC，再证明MN∥PB，得到MN∥平面PBC，再由平面与平面平行的判定可得平面DMN∥平面PBC，进一步得到DM∥平面PBC；（2）设BD的中点为O，连接AO，CO，证明PO⊥平面ABC，设AB＝2，则AO＝，求出PO ＝，建立直角坐标系如图，分别求出平面PAB的一个法向量与平面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣PA﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：设AB的中点为N，连接MN，DN，∵△ABD为等边三角形，∴DN⊥AB，∵DC＝CB，∠DCB＝120°，∴∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即CB⊥AB．∵DN⊥AB，∴DN∥BC．∵BC⊂平面PBC，DN⊄平面PBC，∴DN∥平面PBC，∵MN为△PAB的中位线，∴MN∥PB，∵PB⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，∴MN∥平面PBC，∵MN、DN⊂平面DMN，且MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面PBC，而DM⊂平面DMN，则DM∥平面PBC；（2）解：设BD的中点为O，连接AO，CO，∵△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且∠BCD＝120°，∴AO⊥BD，CO⊥BD，则A、C、O共线，∵PC⊥BD，BD⊥CO，PC∩CO＝C，∴BD⊥平面PCO，∵PO⊂平面PCO，∴BD⊥PO，∵平面PBD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABC，设AB＝2，则AO＝．在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，又BC＝CD，∴22＝2BC2﹣2BC2•cos120°，∴CB＝CD＝，CO＝．∵PD⊥PB，O为BD的中点，∴PO＝．建立直角坐标系如图，则C（，0，0），P（0，0，1），A（，0，0），B（0，1，0），∴＝（，﹣1，0），＝（）．设平面PAB的一个法向量为，则，取x＝1，得．平面PAC的一个法向量为．cos＜，＞＝．∵二面角C﹣PA﹣B为锐角，∴二面角C﹣PA﹣B的余弦值为．19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．经统计A，B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如表：A市场：需求量（吨）90 100 110频数20 50 30 B市场：需求量（吨）90 100 110频数10 60 30 把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品，在A，B两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润．（1）求X＞200的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量n＝190吨还是n＝200吨？并说明理由．【分析】（1）设“A市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件A1，A2，A3，“B市场需求量为90，100，110吨“分别记为事件B1，B2，B3，P（A1）＝0.2，P（A2）＝0.5，P（A3）＝0.3，P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.6，P（B3）＝0.3，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出X＞200的概率．（2）X可取180，190，200，210，220，分别求出相应的概率，由此求出数学期望，得到n＝200时，平均利润大，从而下个销售周期内生产量n＝200吨．解：（1）设“A市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件A1，A2，A3，“B市场需求量为90，100，110吨“分别记为事件B1，B2，B3，P（A1）＝0.2，P（A2）＝0.5，P（A3）＝0.3，P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.6，P（B3）＝0.3，X＞200的概率P（X＞200）＝P（A2B3+A3B2+A3B3）＝0.5×0.3+0.3×0.6+0.3×0.3＝0.42．（2）X可取180，190，200，210，220，P（X＝180）＝P（A1B1）＝0.2×0.1＝0.02，P（X＝190）＝P（A2B1+A1B2）＝0.5×0.1+0.2×0.6＝0.17，当n＝190时，E（Y）＝（180×5﹣10×2）×0.02+190×5×（1﹣0.02）＝948.6，当n＝200时，E（Y）＝（180×5﹣20×2）×0.02+（190×5﹣10×2）×0.17+200×5×（1﹣0.02﹣0.17）＝985.3，∵948.6＜985.3，∴n＝200时，平均利润大，∴下个销售周期内生产量n＝200吨．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为抛物线y2＝4x的焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为﹣．求证：△MON的面积为定值．【分析】（1）由题意可知，c＝1，再结合离心率可求出a的值，再利用a2＝b2+c2求出b的值，即可得到椭圆C的标准方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由k OM•k ON＝﹣可得4x1x2+5y1y2＝0，当直线MN的斜率不存在时，易求S△MON＝＝，当直线MN的斜率存在时，设y＝kx+b，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入4x1x2+5y1y2＝0，可得4+5k2＝2b2，利用弦长公式求出|MN|＝4，又原点（0，0）到直线MN的距离d＝，所以S△MON＝，故△MON的面积为定值．解：（1）由题意可知，F（1，0），∴c＝1，又∵e＝，∴a＝，b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的标准方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），∴k OM•k ON＝，∴4x1x2+5y1y2＝0，①当直线MN的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2，∴，又∵，∴，，∴S△MON＝＝；②当直线MN的斜率存在时，设y＝kx+b，联立方程，消去y得：（4+5k2）x2+10kbx+5b2﹣20＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝＝，∴4x1x2+5y1y2＝+＝＝0，∴4+5k2＝2b2，∴|MN|＝＝4＝4，又∵原点（0，0）到直线MN的距离d＝，∴S△MON＝＝4•＝，综上所求，△MON的面积为定值．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+mx+1．（1）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，x[f（x）+x]≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）f（x）有两个零点⇔a＝有两个相异实根，令g（x）＝，根据单调性的情况分函数值域的情况即可求出满足两个零点的a的范围；（2）x[f（x）+x]≥g（x），利用分离变量得出对任意的m≤e x﹣﹣，x∈（0，+∞）恒成立，φ（x）＝e x﹣﹣，x＞0，则m≤φ（x）min，利用导数求解函数φ（x）的最小值．解：（1）f（x）有两个零点⇔关于x的方程e ax＝x有两个相异实根，由e ax＞0，知x＞0，∴f（x）有两个零点⇔a＝有两个相异实根，令g（x）＝，∴g′（x）＝，由g′（x）＞0，可得0＜x＜e，由g′（x）＜0，可得x＞e，∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∵g（1）＝0，∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，当x→+∞时，g（x）→0，∴f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）．（2）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x，∴原命题等价于xe x≥lnx+mx+1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于m≤e x﹣﹣，x＞0，令φ（x）＝e x﹣﹣，x＞0，∴m≤φ（x）min，∴φ′（x）＝e x+＝，令h（x）＝x2e x+lnx，x∈（0，+∞），则h′（x）＝x2e x+2xe x+＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝e＞0，h（）＝﹣1＜e0﹣1＝0，∴∃x0∈（，1），使得h（x0）＝0，即+lnx0＝0，①，当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴φ（x）min＝φ（x0）＝﹣﹣，由①可得＝﹣lnx0，∴＝﹣＝ln＝（ln），∵函数y＝xe x在（0，+∞）上单调递增，∴x0＝ln，即x0＝﹣lnx0，∴φ（x）min＝﹣﹣＝+1﹣＝1，∴m≤1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）设点M的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM中，有ρ＝4sinθ，所以点M的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（2）设射线OA：θ＝α，（α∈（）），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．由得到|OA|＝ρ1＝2cosα．由得：，所以＝＝＝．由于α∈（），所以，当，即，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；（2）若正数m、n满足m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．【分析】（1）将所求不等式转化为不等式组求解即可；（2）利用基本不等式可知m+2n≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．解：（1）f（x）≤4﹣|2x﹣3|等价于或或，解得或或，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤2}；（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n＝mn，∴，∴m+2n≥8，当且仅当m＝4，n＝2时取等号，∴f（m）+f（﹣2n）＝|m+1|+|﹣2n+1|≥|m+2n|≥8，当且仅当﹣2n+1≤0时取等号，∴f（m）+f（﹣2n）≥8．。

2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. 2 D.2.函数的定义域为A，集合，则A. B.C. D.3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为A. 1B. 2C. 3D. 44.函数在的图象大致为A. B.C. D.5.要得到函数的图象，只须将函数的图象A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移6.二项式的展开式中，常数项为A. B. 80 C. D. 1607.已知l为抛物线的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为，则的最小值是A. B. 4 C. 2 D.8.不等式组表示的平面区域为，则A. ，B. ，C. D.9.平行四边形ABCD中，已知，，点E、F分别满足，且则向量在上的投影为A. 2B.C.D.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，AD为BC边上的中线，若，则的面积为A. B. C. D.11.已知实数，，函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，沿EF把OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高单位：服从正态分布，且，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为______14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有______种选派方法．15.已知已知a、b为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为______16.在中，B、C的坐标分别为，且满足，O为坐标原点，若点P的坐标为，则的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足：对一切成立．求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面ABCD中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，平面平面ABCD，M为PA中点．求证：平面PBC；若，求二面角的余弦值大小．19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．经统计A，B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如表：需求量吨90100110频数205030B市场：需求量吨90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在，两市场同时销售，以单位：吨表示下一个销售周期两市场的需求量，单位：万元表示下一个销售周期两市场的销售总利润．求的概率；以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨？并说明理由．20.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点F．求椭圆C的标准方程；为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为．求证：的面积为定值．21.已知函数e为自然对数的底数，．若有两个零点，求实数a的取值范围；当时，对任意的恒成立，求实数m的取值范围．22.已知点A为圆C：上的动点，O为坐标原点，过作直线OA的垂线当A、O重合时，直线OA约定为y轴，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求点M的轨迹的极坐标方程；直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．23.已知函数．求不等式的解集；若正数m、n满足，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：．．故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：集合，，可得，即，则，故选：A．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.答案：C解析：解：由于输出结果，根据跳出循环时条件可知：若，解之得，符合题意；若，解之得，符合题意；所以x可以取7，，故选：C．根据程序框图一步一步倒着进行运算．本题考查程序框图，注意每次循环写出当时所有参数的值，不容易出错，属于基础题．4.答案：A解析：解：，故函数为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；又，故可排除C；又时，，故，由此可排除D．故选：A．由函数的奇偶性可排除选项B，再由特殊点的函数值可排除C，由函数在时的范围可排除D．本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．5.答案：C解析：解：令，则，要得到函数的图象，只须将函数的图象向左平移个单位，故选：C．令，则，从而可得答案．本题考查函数的图象变换，掌握图象变化的方向与平移单位是关键，属于中档题．6.答案：A解析：解：取常数项，，解得，常数项为，故选：A．根据二项式的通项公式：，可讲此式化简得到，因为求常数项，所以x的指数应为零，可得，，解得，代入通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，求常数项，利用通项公式求得常数项7.答案：B解析：解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，所以，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选：B．由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且仅当P，F，M三点共线时，且P，M在F的同一侧时取到最小值．本题考查抛物线的性质，三点共线时取到最值，属于中档题．8.答案：D解析：解：不等式组对应的平面区域如图：；；令，平移，则当其过点A时，取最大值：，当其过点O时，取最小值：；即：；故AB都错；设表示平面区域内的点与定点连线的斜率；由图可得：或；错D对；故选：D．画出对应的平面区域，转化为求和的取值范围，数形结合求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合．9.答案：C解析：解：如图；因为，，点E、F分别满足，所以：，，；．；向量在上的投影为：．故选：C．根据其数量积以及已知条件可以求得，再代入投影的定义求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：B解析：解：如图；设；则；；；；，联立得：舍；的面积为：．故选：B．设，利用两次余弦定理求得；再利用角，即可求出c，进而求得结论．本题考查的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．11.答案：B解析：解：根据题意，函数在R上单调递增，当，，若为增函数，则，当，，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，分析可得，若在上恒成立，则有，若函数在R上单调递增，则有，联立可得：，故选：B．根据题意，对于函数分2段分析：当，，由指数函数的性质分析可得，当，，由导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，联立三个式子，分析可得答案．本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质．12.答案：D解析：解：如图，由题意，BC的中点O为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心，则四棱锥的外接球的球心在过O且垂直于平面BCFE的直线上，要使四棱锥的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O为四棱锥的外接球的球心，此时，，则，到平面BCFE的距离为．又．四棱锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，BC的中点O为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心，可知要使四棱锥的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O为四棱锥的外接球的球心，由此可得OP，求解三角形得到P到平面BCFE的距离，再求出等腰梯形BCFE的体积，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体的外接球，考查数学转化思想方法，训练了多面体体积的求法，是中档题．13.答案：3000解析：解：，且，所以，故身高高于180cm的学生数为．故答案为：3000．由题意可知正态分布密度函数关于对称，所以结合可计算，则用30000乘以即为所求．本题考查了正态分布密度函数的特点以及相应概率的计算问题，属于基础题，难度不大．14.答案：24解析：解：先选到A地的医生和护士，有种；其余人去B地；故共有选派方案24种；故答案为：24．先从两个医生中挑一个去A，甲乙中挑一个去A，再从余下的四个护士中挑两个去A，余下的都去B 即可．本题考查排列组合及计数原理，问题在解答过程中最主要的是看清条件中对于元素的限制，注意要做到不重不漏，本题是一个基础题．15.答案：解析：解：圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线距离为，又直线截圆所得的弦长为，，即．．当且仅当，即，时上式取等号．故答案为．由已知可得，再由，展开后利用基本不等式求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16.答案：解析：解：设，因为在中，B、C的坐标分别为，且满足，所以：；即；点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上且，；；则；；；的取值范围为；故答案为：．根据，结合正弦定理得到点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上；设出A的坐标，代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用以及轨迹方程的求解，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．17.答案：解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，，当时，也符合上式，，．由知，，．解析：本题第题先将代入题干中表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减，进一步计算可得的表达式，再验证下是否符合表达式，即可得到数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：证明：设AB的中点为N，连接MN，DN，为等边三角形，，，，，，即．，．平面PBC，平面PBC，平面PBC，为的中位线，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，、平面DMN，且，平面平面PBC，而平面DMN，则平面PBC；解：设BD的中点为O，连接AO，CO，为等边三角形，是等腰三角形，且，，，则A、C、O共线，，，，平面PCO，平面PCO，，平面平面ABCD，平面ABC，设，则．在中，由余弦定理可得，又，，，．，O为BD的中点，．建立直角坐标系如图，则0，，0，，0，，1，，，设平面PAB的一个法向量为，则，取，得．平面PAC的一个法向量为．，．二面角为锐角，二面角的余弦值为．解析：设AB的中点为N，连接MN，DN，由已知证明，可得平面PBC，再证明，得到平面PBC，再由平面与平面平行的判定可得平面平面PBC，进一步得到平面PBC；设BD的中点为O，连接AO，CO，证明平面ABC，设，则，求出，建立直角坐标系如图，分别求出平面PAB的一个法向量与平面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：设“A市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“B市场需求量为90，100，110吨“分别记为事件，，，，，，，，，的概率．可取180，190，200，210，220，，，当时，，当时，，，时，平均利润大，下个销售周期内生产量吨．解析：设“A市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“B市场需求量为90，100，110吨“分别记为事件，，，，，，，，，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出的概率．可取180，190，200，210，220，分别求出相应的概率，由此求出数学期望，得到时，平均利润大，从而下个销售周期内生产量吨．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.答案：解：由题意可知，，，又，，，椭圆C的标准方程为：；设，，，，当直线MN的斜率不存在时，，，，又，，，；当直线MN的斜率存在时，设，联立方程，消去y得：，，，，，，，又原点到直线MN的距离，，综上所求，的面积为定值．解析：由题意可知，，再结合离心率可求出a的值，再利用求出b的值，即可得到椭圆C的标准方程；设，，由可得，当直线MN的斜率不存在时，易求，当直线MN的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，可得，利用弦长公式求出，又原点到直线MN的距离，所以，故的面积为定值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：有两个零点关于x的方程有两个相异实根，由，知，有两个零点有两个相异实根，令，，由，可得，由，可得，在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为当时，，原命题等价于对一切恒成立，等价于，，令，，，，令，，则，在上单调递增，又，，，使得，即，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，由可得，，函数在上单调递增，，即，，，实数m的取值范围为．解析：有两个零点有两个相异实根，令，根据单调性的情况分函数值域的情况即可求出满足两个零点的a的范围；，利用分离变量得出对任意的，恒成立，，，则，利用导数求解函数的最小值．本题考查了函数零点的在问题和不等式恒成立的问题，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属难题．22.答案：解：设点M的极坐标为，所以根据题意，在中，有，所以点M的极坐标方程为：．设射线OA：，，圆C的极坐标方程为．由得到．由得：，所以．由于，所以，当，即，故．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价于或或，解得或或，综上，不等式的解集为；证明：，，，，，当且仅当，时取等号，，当且仅当时取等号，．解析：将所求不等式转化为不等式组求解即可；利用基本不等式可知，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式绝对值不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。

2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A B C ．2D【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z =. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A【解析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．【考点】程序框图． 4．函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在x π=时函数范围的判断进行排除，即可得答案. 【详解】解：由已知()()()()()cos cos ln ln x x x xx x x xf x f x e e e e -----==-=-++，则函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-上是奇函数，故排除B ；又()()()()cos 0,1ln ln ln ln f e e e e e e e πππππππππππππ---==-<->-=-+++，故排除CD ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题. 5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．6．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr r rr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 7．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A ．17B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.8．不等式组201230 xyy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（）A．(),x y∀∈Ω，23x y+>B．(),x y∃∈Ω，25x y+> C．(),x y∀∈Ω，231yx+>-D．(),x y∃∈Ω，251yx+>-【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1yz x y zx+=+=-，分析12,z z的几何意义，可得12,z z的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组201230x yy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A，()1,2B，设12z x y=+，则122zxy=-+，1z的几何意义为直线122zxy=-+在y轴上的截距的2倍，由图可得：当122zxy=-+过点()1,2B时，直线12z x y=+在y轴上的截距最大，即25x y+≤，当122zxy=-+过点原点时，直线12z x y=+在y轴上的截距最小，即20x y+≥，故AB错误；设221yzx+=-，则2z的几何意义为点(),x y与点()1,2-连线的斜率，由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C【解析】将,AF BE u u u r u u u r用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r，再利用投影公式AD ABAB⋅u u u r u u u ru u u r 可得答案. 【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u ur u u u r ， 得6AD AB ⋅=u u u r u u u r，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u ru u ur . 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r表示是关键，是基础题.10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B C ．154D 【答案】B【解析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积. 【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.11．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12．ABC V是边长为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A．4B．4C．4D．4【答案】D【解析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到PO OC ==的体积公式求出体积.如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心， 当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V . 故选：D.本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.二、填空题13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为__________. 【答案】3000【解析】根据正态曲线的对称性求出()180P ξ>，进而可求出身高高于180cm 的高中男生人数. 【详解】解：全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，则()10.421800.12P ξ-⨯>==， 该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为300000.13000⨯=. 故答案为：3000. 【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 【答案】24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有132640C C =，若甲乙两名护士到同一地的种数有11124216C C C =，则甲乙两名护士不到同一地的种数有401624-=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.15．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为1a ab+的最小值为__________.【答案】3+【解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得10a b +-=，代入1a ab+整理得()112131a ab a a +=-+-++，利用基本不等式求得最值.【详解】解：圆()()224x a y b -+-=的圆心为(),a b ，则(),a b 到直线10x y ++=，由直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为222+=，整理得()214a b ++=， 解得10a b +-=或30++=a b (舍去)，令1(0,0)a m a b ab+=>> ()()()()21111211312131a a a m ab a a a a a a +++∴====--+++--+-++，又()211a a ++≥+1a +=,等号成立, 则()21331a a -+-+≤-+ ()132131m a a ∴=≥=+-+-++故答案为：3+【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.16．在ABC V 中，B 、C 的坐标分别为()-，()，且满足sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________. 【答案】()12,+∞【解析】由正弦定理可得点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+u u u r u u u r ，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得范围. 【详解】解：由正弦定理得422AC AB BC -==⨯=<， 则点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则221,244x y x -=<-，()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+u u u r u u u r，又224y x =-，()22242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+u u u r u u u r ， 因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=u u u r u u u r ，即AO AP ⋅u u u r u u u r的取值范围为()12,+∞. 故答案为：()12,+∞. 【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()()()35412n n n S n n +=++【解析】（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+Q ①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n nn a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =， 故n a n =；（2）()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()()35412n n n n +=++.【点睛】本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小. 【答案】（1）见解析；（221【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，QV ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =Q ，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥， DN AB ⊥Q ，//DN BC ∴，BC ⊂Q 平面PBC ，DN ⊄平面PBC ， //DN ∴平面PBC ，MN Q 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂Q 平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，MN Q 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂Q 平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COQV ABD 为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒ AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥Q ，BD CO ⊥，PC CO C =I ，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂Q 平面PCOBD PO ∴⊥Q 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD V 中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠ 又BC CD =Q ，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒，CB CD ∴==，CO =， PD PB ⊥Q ，O 为BD 中点，112PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()0,1,0B . )3,1,0BA ∴=-u u u r ，)3,0,1PA =-u u u r，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则，300030x y n BA n PA x z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，则3y z ==(3,3n ∴=r，平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =u u u r，21cos ,7n OB n OB n OB⋅==⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，Q 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为217.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：A 市场：需求量90100110B 市场：把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由.【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析【解析】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；（2）X 可取180，190，200，210，220，()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-= 当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--985.3=.9486985.3<Q .，200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值. 【答案】（1）22154x y +=；（2）见解析 【解析】（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为45-列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为45-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解. 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1c ∴=，5e =Q，c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=；（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN的方程为：()0x t t t =<<≠代入22154x y +=得：,M t ⎛ ⎝，,N t ⎛- ⎝，2122455t k k t-∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-，解得：252t =，12MONS t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+由()2222245105200154y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k -⋅=+4·5OM ON k k =-Q ，121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++=()2222252010545504545m km k mk m k k-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠MN === O 到MN的距离d =12MON S MN d ∴=△===综上：MON S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.21．已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞ 【解析】（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x a x =有两个相异实根，令()ln x G x x =求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为ln 1x x m e x x≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x=-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】 （1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ，知0x >()f x ∴有两个零点ln x a x ⇔=有两个相异实根. 令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=， 由()0G x '>得：0x e <<，由()0G x '<得：x e >，()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==， 又()10G =Q∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）当1a =时，()xf x e x =-， ∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立ln 1x x m e x x⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 10xx F x e x x x=-->()min m F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+= 令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则 ()2120x h x xe x e x'=++> ()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭ 01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=① 当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==-- 由①知0200ln x x ex =- 001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ Q 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=， 1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.22．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.【答案】（1）4sin ρθ=；（2【解析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=，即可得结果；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB，则计算可得1sin 2438OAOB πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos 4ααα=)1sin 2cos 218αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q 242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max OA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， OAOB ∴. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.23．已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析 【解析】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >Q ，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥， 当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。

德阳市高中2017级“二诊”考试数学试卷（理工农医类）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A.B. C. 2D.2.函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ） A. {}12x x <≤ B. {}22x x -≤≤ C. {}23x x -<< D. {}13x x << 3.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 4.函数()()cos ln x x x x f x e e -=+在[],ππ-图象大致为（ ） A.B. C. D. 的5.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 6.二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A. 80- B. 80 C. 160- D. 1607.已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A. B. 4 C. 2D. 18.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A. (),x y ∀∈Ω，23x y +>B. (),x y ∃∈Ω，25x y +>C. (),x y ∀∈Ω，231y x +>-D. (),x y ∃∈Ω，251y x +>- 9.平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r ，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为（ ）A 2 B. 2- C. 32 D. 32- 10.已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ） A.B. C. 154D. 11.已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a <≤ B. 5a < C. 35a << D. 25a ≤≤ .12.ABC V是边长为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ）A.B.C.D. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为__________.14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.15.已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为，则1a ab +的最小值为__________.16.在ABC V 中，B 、C的坐标分别为()-，()，且满足sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足：()12311232222122n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18.如图，四棱锥P ABCD-底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：A 市场：B 市场：把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.（1）求200X >的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值.21.已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++. （1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 22.已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA 的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.A3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.C10.B11.D12.D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13. 300014. 2415. 3+16. ()12,+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）()12311232222122n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+Q ①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n n n a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =，故n a n =；（2）()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ ()()()35412n n n n +=++. 18. （1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，QV ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =Q ，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥，DN AB ⊥Q ，//DN BC ∴，BC ⊂Q 平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，//DN ∴平面PBC ，MN Q 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂Q 平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，MN Q 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂Q 平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COQV ABD 为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥Q ，BD CO ⊥，PC CO C =I ，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂Q 平面PCOBD PO ∴⊥Q 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD V 中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠又BC CD =Q ，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒，CB CD ∴==，CO =， PD PB ⊥Q ，O 为BD 中点，112PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，)A ，()0,1,0B .)1,0BA ∴=-u u u r ，)1PA =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =r ，则，0000y n BA n PA z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，则y z ==(n ∴=r ， 平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =u u u r ，cos ,7n OB n OB n OB⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u u r ， Q 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为7. 19.（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =，()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =，()()233233200P X P A B A B A B >=++()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；（2）X 可取180，190，200，210，220，()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-- 985.3=.9486985.3<Q .，200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.20.（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ， 1c ∴=，5e =Q，5c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=； （2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN的方程为：()0x t t t =<<≠ 代入22154x y +=得：,M t ⎛ ⎝，,N t ⎛- ⎝，2122455t k k t-∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-， 解得：252t =，12MON S t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+ 由()2222245105200154y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k -⋅=+4·5OM ON k k =-Q ， 121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++= ()2222252010545504545m km k mk m k k -⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+代入①得：0m ≠MN === O 到MN的距离d =12MON S MN d ∴=△===综上：MON S =△.21.（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根 由0>ax e ，知0x >()f x ∴有两个零点ln x a x ⇔=有两个相异实根. 令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=， 由()0G x '>得：0x e <<，由()0G x '<得：x e >，()G x ∴()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==， 又()10G =Q∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）当1a =时，()xf x e x =-， ∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立 ln 1x x m e x x⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 10xx F x e x x x =--> ()min m F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+= 令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则 ()2120x h x xe x e x'=++> ()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭ 01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=① 当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==-- 由①知0200ln x x ex =- 001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ Q 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=， 1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.22.（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=，∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ 1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos 44ααα=+()1sin 2cos 2188αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q 242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，maxOA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， OAOB ∴. 23.（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >Q ，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥， 当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥， 当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.。

2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数21z i=+，其中i 为虚数单位，则||(z = ) A ．5B ．3C ．2D ．22．（5分）函数24y x =-的定义域为A ，集合2{|log (1)1}B x x =+>，则(A B =I ) A ．{|12}x x <…B ．{|22}x x -剟C ．{|23}x x -<<D ．{|13}x x <<3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）函数cos ()()x x x xf x ln e e -=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只须将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移3π B ．向右平移3π C ．向左平移6π D ．向右平移6π 6．（5分）二项式25)x -的展开式中，常数项为( )A ．80-B ．80C ．160-D ．1607．（5分）已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为(4,1)，则||MP d +的最小值是( )AB ．4C ．2 D．18．（5分）不等式组201230x y y x x y -⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩……„表示的平面区域为Ω，则( )A ．(,)x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(,)x y ∃∈Ω，25x y +>C ．2(,),31y x y x +∀∈Ω>- D ．2(,),51y x y x +∃∈Ω>- 9．（5分）平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F分别满足2,AE ED DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，且6AF BE =-u u u r u u u rg ．则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为( )A ．2B ．2-C ．32 D ．32-10．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC ∆的面积为( ) ABC ．154D11．（5分）已知实数0a >，1a ≠，函数2,1()4,1x a x f x x alnx x x ⎧<⎪=⎨++⎪⎩…在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．15a 剟B ．25a 剟C ．1a …D ．5a „12．（5分）ABC ∆是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( ) ABCD二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13．（5分）随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：)cm 服从正态分布2(172,)N σ，且(172180)0.4P ξ<=…，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为14．（5分）春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 种选派方法．15．（5分）已知已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆22()()4x a y b -+-=所得的弦长为1a ab+的最小值为 16．（5分）在ABC ∆中，B 、C的坐标分别为(-，且满足sin sin B C A -，O 为坐标原点，若点P 的坐标为(4,0)，则AO AP u u u r u u u rg 的取值范围为三、解答题：解答）写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{}n a 满足：12311232222(1)22n n n a a a a n ++++⋯+=-+g g g g g 对一切*n N ∈成立．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}n n a a +g 的前n 项和n S ． 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD ∆为等边三角形，BCD ∆是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点． （1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小．19．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．经统计A，B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如表：A市场：需求量（吨)90100110频数205030B市场：需求量（吨)90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品，在A，B两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润．（1）求200X>的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n=吨还是200n=吨？并说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>5，右焦点为抛物线24y x=的焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；。

数学二诊( 理工农医类)第1页( 共4 页)函数 f ( x ) = ln( ex e -x cos x + ) 在[ - π,π] 的图象大致为 为了得到函数 y = s i n (2x + π)的图象,可将函数 y = s i n 2x 的图象2. 3四川德阳市2020届高三“ 二诊” 考试数 学 试 卷( 理工农医类)说明:1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷 1—2 页,第Ⅱ卷 3—4 页. 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后,将答题卡交回. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.第Ⅰ卷( 选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z = 1 2+ i,其中 i 为虚数单位,则 z =A. 5B. 3C. 2D. 2. 函数y = 4 -x 2 的定义域为A ,集合B = {x 则 A ∩ B = A. {x 1 < x ≤ 2} B. {x - 2 ≤ x ≤ 2} C. {x - 2 < x < 3} D. {x 1 < x < 3}log 2(x + 1) > 1} , 3. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为 A. 1 B. x 2 C. 3 D. 44.5. π π π πA. 向右平移 3B. 向左平移3C. 向左平移6D. 向右平移 62数学二诊( 理工农医类)第2页( 共4 页)xM d x - 1x - 1 2 44, 、 , ,12 △ 2 3 , 、 、 , △ , 4444已知 为抛物线 4 的准线 , 点 2 6. 二项式(2- x2)5的展开式中,常数项为7. A. - l 80 x 2= B.y 80 , C. - 160 D. 160(4,1), 则 MP + d 的最小值是A.17⎧⎪2x B. 4 C. 2 D. 1 + 17- y ≥ 0 8. 不等式组⎪y ≥ 1x 表示的平面区域为 Ω,则⎨ ⎪ ⎪⎩x + y - 3 ≤ 0A. ∀( x ,y ) ∈ Ω,x + 2y > 3B. ∃( x ,y ) ∈ Ω,x + 2y > 5C. ∀( x ,y ) ∈ Ω,y + 2 > 3D. ∃( x ,y ) ∈ Ω,y + 2> 5 9. 平行四边形 A B CD 中,已知 A B = 4,A D = 3,点 E 、F 分别满足A →E = 2E →D ,D →F =F →C ,且 A →F ·B →E = - 6,则向量A →D 在A →B 上的投影为A. 2B. - 2C. 3D. - 310. 已知 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 2 c ,且 A = 60°,b = 3, 2为 BC 边上的中线,若AD = b 、 AD7 ,则 △ABC 的面积为A. 25 3 C.15{a x,x < 111. 已知实数 a > 0,a ≠ 1,函数 f ( x ) =x 2+ 4x+ a l n x ,x ≥ 1在 R 上单调递增,则实数 a 的取 值范围是A. 1 < a ≤ 2B. a < 5C. 3 < a < 5D. 2 ≤ a ≤ 5. ABC 是边长为 的等边三角形 E F 分别为 AB AC 的中点 沿 EF 把 AEF 折起 使点A 翻折到点 P 的位置 连接 PB PC 当四棱锥 P - BCFE 的外接球的表面积最小时 四棱锥P - BCFE 的体积为 A.5 3B.3 3 C.6 D.3 6第 Ⅱ 卷( 非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 ~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 将答案填在答题卡上. 抛物线上的点 到 的距离为 的坐标为 l P数学二诊( 理工农医类)第3页( 共4 页)ab13. 随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大 幅提高. 为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000 名高中男生的身高 ξ( 单位:cm) 服从正态分布 N (172,σ2 ),且 P (172 < ξ ≤ 180) = 0. 4,那么该市身高高于 180cm 的高中男生人数大约为 .14. 春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院 选派2 名医生,6 名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作,每地一名医生,3 名护士,其中甲乙两名护士不到同一地,共有种选派方法.15. 已知 a 、b 为正实数,直线 x + y + 1 = 0 截圆( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = 4 所得的弦长为 2 2 ,则a + 1的最小值为 . 16. 在△ABC 中,B 、C 的坐标分别为( - 2 2 ,0),(2 2 ,0),且满足sin B - sin C = 2sin A ,O→ → 2为坐标原点,若点 P 的坐标为(4,0),则A O ·A P 的取值范围为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ( 本题满分 12 分)已知数列{ a n } 满足:21 ·a 1 + 22 ·a 2 + 23 ·a 3 + … + 2n ·a n = ( n - 1)·2n +1 +2 对一切n ∈ N ∗ 成立.(1) 求数列{ a n } 的通项公式;(2) 求数列{a1n ·a n + 2} 的前 n 项和 S n.18. ( 本题满分 12 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 中,△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120°,PC ⊥ BD , 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ,M 为 PA 中点.(1) 求证:DM ∥ 平面 PBC ;(2) 若 PD ⊥ PB ,求二面角 C - PA - B 的余弦值大小.19. ( 本题满分 12 分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标. 党的十九届四中全会提出“ 坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制” 对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标. 为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作. 对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5 万元,未售出的商品,每吨亏损2 万元. 经统计 A ,B 两市场以往 100 个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表: A 市场:B 市场:需求量( 吨) 90 100 110频数205030需求量( 吨) 90 100 110频数106030x2535把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品,在A、B 两市场同时销售,以X(单位:吨) 表示下一个销售周期两市场的需求量,Y(单位:万元) 表示下一个销售周期两市场的销售总利润.(1)求X >200 的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量n = 190 吨还是n = 200 吨? 并说明理由.20.(本题满分12 分)已知椭圆C:a2+y2b2= 1( a > b > 0) 的离心率为5 ,右焦点为抛物线y2= 4x 的焦点F.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)O 为坐标原点,过O 作两条射线,分别交椭圆于M、N 两点,若OM、ON 斜率之积为-4求证:△MON 的面积为定值.21.(本题满分12 分)已知函数f( x) = e ax- x( a ∈ R,e 为自然对数的底数),g( x) = ln x + mx + 1.(1)若f(x) 有两个零点,求实数a 的取值范围;(2)当a = 1 时,x[f(x) + x] ≥g(x) 对任意的x ∈ (0, + ∞) 恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在22、23 二题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4 - 4:坐标系与参数方程]( 本题满分10 分)已知点A 为圆C:( x - 1)2 + y2= 1 上的动点,O 为坐标原点,过P(0,4) 作直线OA 的垂线(当A、O 重合时,直线OA 约定为y 轴),垂足为M,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M 的轨迹的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程为ρs i n(θ+π)=4,连接O A并延长交l 于B,求23.[选修4 - 5:不等式选讲]( 本题满分10 分)已知函数f(x) = x + 1 .(1)求不等式f( x) ≤4 - 2x - 3 的解集;(2)若正数m、n 满足m + 2n = mn,求证:f( m) + f( - 2n) ≥8.的最大值. OAOB,数学二诊( 理工农医类)第4页( 共4 页)高2017级数学( 理工农医类) 答案第1页( 共8 页)n (n · n n 2) 2 德阳市高中 2017 级“ 二诊” 试题数学参考答案与评分标准( 理工农医类)一、选择题( 每小题 5 分,共 60 分)二、填空题( 每小题 5 分,共 20 分)13. 3000 14. 24 15. 3 + 2 2 16. (12, + ∞ ) .三、解答题17. 解:(1) ∵ 21 ·a 1 + 22 ·a 2 + 23 ·a 3 + … + 2n ·a n = ( n - 1)·2n+ 1+ 2 ①∴ 当 n = 1 时,21 ·a 1 = 2∴ a 1 = 1 ................................................................................. 2 分 当 n ≥ 2 时,21·a 1 + 22·a 2 + 23·a 3 + … + 2n -1·a n -1 = ( n - 2)·2n + 2②① - ② 得:2n ·a n = n ·2n ∴ a n = n适合 a 1 = 1,故 a n = n ........................................................................................... 6 分 (2) a 1a +2= n ( 1+ = 1 ( 1n - n +1 2 )…………………………………… 8 分∴ S = 1 ⎡⎢ 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + … + (1 - +1 )⎤⎥2 ⎢⎣ 13 24 35 n 2 ⎥⎦ = 1 (1 +1 -n +1 - +1 )2 2 1 n 2= n (3n + 5). 4( n + 1)( n + 2)………………………………………………… 12 分18. (1) 证明:设 AB 中点为 N ,连接 MN 、DN∵ △ABD 为等边三角形 ∴ DN ⊥ AB∵ DC = CB ,∠DCB = 120°n高2017级数学( 理工农医类) 答案第2页( 共8 页)2∴ ∠CBD = 30°∴ ∠ABC = 60° + 30° = 90° 即 CB ⊥ AB ∵ DN ⊥ AB∴ DN ∥ BC∵ BC ⊂ 平面 PBC ,DN ⊄ 平面 PBC∴ DN ∥ 平面 PBC .................................................................................... 2 分 ∵ MN 为 △PAB 的中位线 ∴ MN ∥ PB∵ PB ⊂ 平面 PBC ,MN ⊄ 平面 PBC∴ MN ∥ 平面 PBC .................................................................................... 4 分 ∵ MN 、DN 为平面 DMN 内二相交直线 ∴ 平面 DMN ∥ 平面 PBC ∵ DM ⊂ 平面 DMN∴ DM ∥ 平面 PBC ................................................................................... 6 分(2) 解:设 BD 中点为 O ,连接 AO 、CO∵ △ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120° ∴ AO ⊥ BD ,CO ⊥ BD∴ A 、C 、O 共线∵ PC ⊥ BD ,BD ⊥ CO ,PC ∩ CO = C ,PC ,CO ⊂ 平面 PCO∴ BD ⊥ 平面 PCO ........................................................................................ 7 分 ∵ PO ⊂ 平面 PCO∴ BD ⊥ PO∵ 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ,交线为 BD ,PO ⊂ 平面 PBD∴ PO ⊥ 平面 ABCD ...................................................................................... 8 分 设 AB = 2,则 AO = 3在 △B CD 中,由余弦定理,得:B D 2 = B C 2 + CD 2 - 2B C ·CD ·c o s ∠B CD 又 ∵ B C = CD∴ 22 = 2B C 2 - 2B C 2 ·c o s 120°∴ CB = CD,CO 33∵ PD ⊥ PB ,O 为 BD 中点 ∴ PO =1BD = 1高2017级数学( 理工农医类) 答案第3页( 共8 页)→n · O →B→n ·O →B 3→n ·B →A = 0⇒ 7建立直角坐标系 O - xyz ( 如图), 则 C (-3,0,0 ),P (0,0,1),A ( 3 ,0,0), B (0,1,0) ................................. 9 分 ∴ B →A = ( 3 , - 1,0),P →A = ( 3 ,0, - 1) 设平面 P AB 的法向量为→n = ( x ,y ,z ),则{→n ·P →A = 0{3 x - y = 03 x - z = 0 取 x = 1, 则 y = z = 3∴ →n = (1, 3 , 3 ) ………………………………………………………… 10 分 平面 P A C 的法向量为O →B = (0,1,0)c osn ,O →B > ==21 7………………………………… 11 分∵ 二面角 C - PA - B 为锐角 ∴ 二面角 C - PA - B 的余弦值大小为 21. ……………………………12 分 19. 解:(1) 设“ A 市场需求量为90,100,110 吨” 分别记为事件 A 1 ,A 2 ,A 3 ,“ B 市场需求量为 90,100,110 吨” 分别记为事件 B 1 ,B 2 ,B 3 ,则P ( A 1 ) = 0. 2,P ( A 2 ) = 0. 5,P ( A 3 ) = 0. 3P ( B 1 ) = 0. 1,P ( B 2 ) = 0. 6,P ( B 3 ) = 0. 3. P ( X > 200) = P ( A 2 B 3 + A 3 B 2 + A 3 B 3 )………………………………… 2 分 = P ( A 2 ) P ( B 3 ) + P ( A 3 ) P ( B 2 ) + P ( A 3 ) P ( B 3 )= 0. 5 × 0. 3 + 0. 3 × 0. 6 + 0. 3 × 0. 3 = 0. 42 ................... 5 分(2) X 可取 180,190,200,210,220P ( X = 180) = P ( A 1 B 1 ) = 0. 2 × 0. 1 = 0. 02 ..................................... 6 分 P ( X = 190) = P ( A 2 B 1 + A 1 B 2 ) = 0. 5 × 0. 1 + 0. 2 × 0. 6 = 0. 17 ……… 7 分 当 n = 190 时,E (Y ) = (180 × 5 - 10 × 2) × 0. 02 + 190 × 5 × (1 - 0. 02) = 948. 6…………………………………………………………………………… 9 分 当 n = 200 时,E ( Y ) = (180 × 5 - 20 × 2) × 0. 02 + (190 × 5 - 10 × 2) ×高2017级数学( 理工农医类) 答案第4页( 共8 页)= t ( - 5 5 - t 25 - 2 5 - t 2 5 555 4 + 5 2k 4 0. 17 + 200 × 5 × (1 - 0. 02 - 0. 17) = 985. 3 ∵ 948. 6 < 985. 3………………………… 11 分 ∴ n = 200 时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量 n = 200 吨. 20. 解:(1) 抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F (1,0)∴ c = 1 … 12 分∵ e = 5ca 5∴ a = 5 ,b = 2 ∴ 椭圆方程为x2+ y 24= 1 ........................................................... 3 分(2) 当 MN 与 x 轴垂直时,设直线 MN 的方程为:x< t < 5 ,t ≠ 0)x 2 代入 5 + y 24= 1 得:M (t ,2 5 - t 2 ) ,N (t , - 2 )∴ k ·k = 5 - t 2 5 ·= - 4 ·5 - t 21 2t t 5 t 2∴ - 4 ·5 - t 2 = - 4解得:t 2 = 55 ∴ S △MON t2= 125 t ·42 = 5 ............................................ 4 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,设 M ( x 1 ,y 1 ),N ( x 2 ,y 2 ),MN 的方程为 y = kx + m ⎧⎪y = kx + m⎪由⎨x 2 ⎪⎩ 5 y 2 = 1 ⇒(4 + 5k 2 ) x 2 + 10kmx + 5m 2 - 20 = 0 …………… 5 分由 △ > 0⇒5k 2 + 4 > m 2 .......... ① x 1 + x 2 = - 10km4 + 5k 2 ,x 1 ·x 2 =5m 2 - 20 ........................................ 6 分∵ k ·k= - 4∴ y 1 ·y 2 = - 4∴ 5y y + 4x x = 0 …… 7 分OMON5x 1 x 2 51 21 2即(5k 2 + 4) x 1 ·x 2 + 5mk ( x 1 + x 2 ) + 5m 2 = 05 - t 25 ∴ 2 +高2017级数学( 理工农医类) 答案第5页( 共8 页)5k 2 + 4 - m 2 2m 2 - m 2 ) 4 + 52k ∴=S △x∴ (5k 2+ 4)·5m 2- 20+ 5mk · ( - 10km )+ 5m 2 = 0 4 + 5k 2 整理得:2m 2 = 5k 2 + 4 代入 ① 得:m ≠ 04 + 5k 2………………………………………………… 9 分 M N = 1 + k 2 ( x 1 + x 2 ) 2- 4x 1 ·x 2= 1 + k 2= 4 5 1 + k25k 2 + 4 - m 2 ……………………………… 10 分O 到 MN 的距离 d =m1 + k 2………………………………………… 11 分1MON2MN d = 2 5 = 2 5 = 5m 4 + 5k 2 m 2m 2综上:S △MON = 5 为定值. ………………………………………………21. 解:(1) f ( x ) 有两个零点 ⇔ 关于 x 的方程 e ax = x 有两个相异实根由 e ax > 0,知 x > 012 分∴ f ( x ) 有两个零点 ⇔ a =ln x有两个相异实根. 令 G ( x ) = ln x ,则 G′( x ) = 1 - ln x………………………… 1 分 xx 2由 G′( x ) > 0 得:0 < x < e ,由 G′( x ) < 0 得:x > e ∴ G ( x ) 在(0,e ) 单调递增,在( e , + ∞ ) 单调递减 ∴ G ( x ) ma x = G ( e ) = 1e .........................................................................................2 分又 ∵ G (1) = 0∴ 当 0 < x < 1 时,G ( x ) < 0,当 x > 1 时,G ( x ) > 0高2017级数学( 理工农医类) 答案第6页( 共8 页)e 0x x 当 x → + ∞ 时,G ( x ) → 0 ............................................................ 3 分 ∴ f ( x ) 有两个零点时,实数 a 的取值范围为(0,1e ) ...............4 分 (2) 当 a = 1 时,f ( x ) = e x - x∴ 原命题等价于 xe x ≥ ln x + mx + 1 对一切 x ∈ (0, + ∞ ) 恒成立⇔m ≤ e x - ln x - 1对一切 x ∈ (0, + ∞ ) 恒成立 ................. 5 分令 F ( x ) = e x - ln x - 1( x > 0) ∴ m ≤ F ( x ) minxxF′( x ) = e x+ ln x = x 2 e x + ln x x 2 x 2令 h ( x ) = x 2 e x + ln x ,x ∈ (0, + ∞ ),则 h ′( x ) = 2x e x + x 2 e x +1x> 0 ∴ h ( x ) 在(0, + ∞ ) 上单增又 h (1) = e > 0,h ( 1)= e 1e - 2 - 1 < e 0 - 1 = 0∴ ∃x 0 ∈( 1e ,1 ) ,使 h ( x 0) = 0 即 x 2 ex 0+ l n x 0 = 0①当 x ∈ (0,x 0 ) 时,h ( x ) < 0,当 x ∈ ( x 0 , + ∞ ) 时,h ( x ) > 0即 F ( x ) 在(0,x 0 ) 递减,在( x 0 , + ∞ ) 递增………… 7 分∴ F ( x ) m in = F (x 0 ) = e x 0 - ln x 0 - 1 ……………………………………… 8 分 x 0 x 0 由 ① 知 x 2 e x 0 = - ln x∴ x e x 0 = -ln x 0= 1 ln 1= (l n 1 )e l n x10 0 0x 0 xx 0∵ 函数 φ( x ) = xe x 在(0, + ∞ ) 单调递增 ∴ x 0 = ln x 1即 x 0 = - ln x 0 ………………………………………………… 10 分∴ F ( x ) = e -l n x 0 - - x 0 - 1 = 1 + 1 - 1= 1 ……………………… 11 分min ∴ m ≤ 1x 0 x 0 x 0 x 0∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,1] .............................................. 12 分x高2017级数学( 理工农医类) 答案第7页 ( 共8 页)OA OB{4 -π3822. 解:(1) 设 M 的极坐标为( ρ,θ),在 △OPM 中,有 ρ = 4sin θ∴ 点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ..................................................... 4 分(2) 设射线 OA :θ = α,α ∈ (- π , π),圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ2 由ρ = 2cos θ得 OA = ρ θ = α 1⎧⎪ρs i n (θ + π )= 42= 2cos α ............................................................. 5 分由⎪ 3 得: OB = ρ2 =……………………… 6 分 ⎪⎩θ = α ∴=2cos α s i n (α + 3 )4s i n (α + π= 1 c o s α·s i n (α +π )2= 1 c o s α (s i n αc o s π3 + cos αsin π )2 3 3= 1 sin αcos α2 α 4 4 = 1 sin2αα + 1)8 8= 1 s i n (2α + π)+………………………………………… 8 分4 3 8∵ α ∈ (- π , π ) ∴ -2π< 2α + π < 4π2 23 33∴ 当 2α + π = π ,即 α = π时,=9 分3212 OBmax8∴ 的最大值为2 + 3. . ………………………………………… 10 分23. 解:(1) f ( x ) ≤ 4 - 2x - 3 等价于 {x < - 1或OA OB) ⎨高2017级数学( 理工农医类) 答案第8页 ( 共8 页)⎨⎪ ⎪x 3 ⎪ 2⎪ 2 n = 22 ⎧⎪- 1 ≤ x ≤3 ⎧⎪- 1 ≤ x ≤ 3⎧⎪x > 3 ⎪ 2 或 ⎨ 2 ⎪⎩( x + 1) - (2x - 3) ≤ 4 ⎧⎪x < - 1 ⎪⎩( x + 1) + (2x - 3) ≤ 4 由 得:⎨ ⎩≥ - 2 ⇒x ∈ Ø由 得:⎨⎪⎩x ≥ 0 ⎧⎪x > 3 2 ⇒0 ≤ x ≤ 3 由 得:⎨2 ⇒3 < x ≤ 2 ⎪⎩x ≤ 2∴ 原不等式的解集为{x 0 ≤ x ≤ 2} .......................................... 5 分 (2) ∵ m > 0,n > 0,m + 2n = mn∴ m + 2n = 1 ( m ·2n ) ≤ 1×( m + 2n ) 22 2 4∴ m + 2n ≥ 8 .......................................................................... 7 分 m = 2n m + 2n = mn,即{m = 4时取等号∴ f ( m ) + f ( - 2n ) = m + 1 + - 2n + 1 ≥ m + 2n≥ 8 ……… 9 分当且仅当 - 2n + 1 ≤ 0 即 n ≥ 1时取等号∴ f ( m ) + f ( - 2n ) ≥ 8.…………………………………………………10 分⎪ 当且仅当{。

2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则|1+i i|=( )A. √2B. 2C. √22D. 122. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}3. 已知实数x ∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为( )A. 514 B. 914 C. 59 D. 494. 函数f(x)=xe cosx (x ∈[−π,π])的图象大致是( )A.B.C.D.5. 要得到函数y =sin (2x +1)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位6. 二项式(√x −3x)6的展开式中的常数项为( )A. −540B. 135C. 270D. 5407. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF|等于( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 若不等式组：{2x −y +2≥0y −2≤0y ≥k (x +1)表示的平面区域Ω的面积为3，则实数k 的值为 ( )A. 13B. 12C. 45D. 329. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7C. 25D. −710. 在△ABC 中，已知BC =1，B =π3，△ABC 的面积为√3，则AC 的长为( )A. 3B. √13C. √21D. √5711. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,√2]C. [−1,+∞)D. [−√2,+∞)12. 棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E −BCD 的底面重合，由它们构成的多面体ABC −DE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E −BCD 的表面积为( )A. 3+√34a 2B. 3+√36a 2C. 3−√36a 2D. 3−√34a 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ>−2)=0.964，则P(−2≤ξ≤6)等于______． 14. 把2名医生4名护士分配到两所医院，每个医院1名医生2名护士，不同的分配方有多少种______ ．15. 圆x 2+y 2+4x −2y +a =0截直线x +y −3=0所得弦长为2，则实数a 等于___________． 16. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 2+b 2−c 2=√3ab ，且acsinB =2√3sinC ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 己知数列{a n }的满足a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =1a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和T n ．18.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．(Ⅰ)求证：PA//平面BFD；(Ⅱ)求二面角C−BF−D的余弦值．19.在《新冠病毒肺炎诊疗标准(试行第七版)》中，出院标准为连续两次痰、鼻咽拭子等呼吸道标本核酸检测为阴性，即对患者两次核酸检测结果均为阴性，才能出院．由于病毒的含量达到一定程度才能检测出来，在少数情况下，病毒携带者可能检测为阴性，也就是常说的“假阴性”.．假定核酸检测对痊愈者检测结果一定为阴性，对病毒携带者检测结果为阳性的概率为45(1)求一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率．(2)假设有5名患者经过治疗后，仍有2名病毒携带者，现对这5名患者逐一进行核酸检测，若第一次检测为阳性，则认为该患者为未康复，不再进行检测，继续治疗，若第一次检测为阴性，第二次检测为阳性，则认为该患者未康复，继续治疗，若连续两次检测为阴性则判断为符合出院标准，可以出院，设对5名患者共需要检测的次数为X，求X的分布列及期望．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆C的离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，P是椭圆C的右顶点，过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A，B，若直线PA，PB的斜率之积为−94，求△OAB的面积的最大值．21.已知函数f(x)=x+1−ln x．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若e x−1+x≥axf(x)，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵1+ii =(1+i)⋅ii⋅i=1−i，∴|z|=√2，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．2.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x|0<x<3}，∴A∩B={1,2}．故选：C．利用交集的定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了程序框图，考查学生的计算能力，属于基础题．解：由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x=x 0，则输出的x=2[2(2x 0+1)+1]+1≥103，所以8x 0≥96，即x 0≥12，故输出的x不小于103的概率为P=30−1230−2=1828=914．故选B．4.答案：B本题主要考查函数的图像，属于基础题．解：∵f(−x)=−xe cos(−x)=−xe cosx=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除A，C，又，所以，f(x)先增后减．故选B．5.答案：A解析：y=sin(2x+1)=sin[2(x+12)]，根据函数图象的“左加右减”原则，知应该将函数y=sin2x的图象向左平移12个单位．6.答案：B解析：本题考查二项展开式的特定项，属于基础题．根据题意，二项式(√x 3x)6的通项公式为T r+1=C6r(√x)6−r(−3x)r=(−3)r C6r x−3+32r，令−3+32r=0，得r=2，即可求出结果．解：由题意，二项式(x 3x)6的通项公式为T r+1=C6r(√x)6−r(−3x)r=(−3)r C6r x−3+32r，令−3+32r=0，所以r=2，所以常数项为(−3)2×C62=135．故选B．7.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．8.答案：B解析： 【试题解析】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于一般题． 首先作出不等式组表示的平面区域，为三角形及其内部部分，其中y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线，然后求出三角形顶点坐标，利用k 表示区域面积，求出k ． 解：y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线， 由已知不等式组得到平面区域大致如图：由图得直线y =k(x +1)过第一象限，且在第一象限的部分在直线2x −y +2=0的右侧， 则0<k <2，由{2x −y +2=0y =2得到A(0,2)， 由{y =2y =k (x +1)得到D (2k −1,2)， 所以平面区域的面积为S =12|AD|·ℎA =12×(2k −1)×2=3， 解得k =12，满足0<k <2． 故选B ．9.答案：D本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可． 解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．10.答案：B解析：由已知利用三角形面积公式可求AB 的值，进而利用余弦定理可求AC 的值． 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 解：∵BC =1，B =π3，△ABC 的面积为√3=12BC ⋅AB ⋅sinB =12×AB ×1×√32，∴AB =4，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√16+1−2×4×1×12=√13． 故选B ．11.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围． 本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2．当a ≥0时，f(a)=−a 2+a =−(a −12)2+14≤2恒成立； 当a <0时，f(a)=a 2≤2，解得−√2≤a <0，则实数a的取值范围是a≥−√2，故选：D．12.答案：A解析：本题考查了正三棱锥的表面积，属于一般题．由正三棱锥和正四面体可知球心在高线上，利用直角三角形列方程即可解得．解：棱长为a的正四面体ABCD所在的外接球直径为√62a，因为正三棱锥E−BCD与正四面体ABCD的底面重合，所以AE为外接球的直径，所以在三角形AEB中，利用勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，解得BE=√22a，则三角形EBC的高为√12a2−14a2=12a，∴S E−BCD=12×a×12a×3+12×a2×√32=3+√34a2，故选：A．13.答案：0.928解析：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解决概率问题，属于基础题．根据正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称，即可求得P(−2≤ξ≤6)．解：根据题意，正态分布N(2,σ2)的密度函数图象关于直线x=2对称，∵P(ξ>−2)=0.964，∴P(−2≤ξ≤6)=2(0.964−0.5)=0.928．故答案为0.928．14.答案：12解析：解：第一步，安排两名医生，共有A22种方法；第二步，安排四名护士，共有C42种方法故不同的分配方案共有A22×C42=2×6=12种方法故答案为：12．此问题可以分两步解决，先安排两名医生共有A22种，再安排护士共有C42种方法，再相乘求出总数本题考查计数原理的应用，正确解答本题关键是将此问题分为两步，利用乘法原理来求解．15.答案：−4解析：主要考查直线和圆的位置关系，解题的关键是灵活运用点到直线的距离公式．解：因为圆的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=5−a，r2=5−a，则圆心(−2,1)到直线x+y−3=0的距离为√2=2√2，由12+(2√2)2=5−a，得a=−4.故答案为−4．16.答案：3解析：解：在△ABC中，∵a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =√3ab2ab=√32，则C =π6，∵acsinB =2√3sinC ，∴由正弦定理得ac ⋅b =2√3c ，即ab =2√3，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =abcosC =2√3×√32=3， 故答案为：3．根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简，结合向量数量积的定义进行求解即可．本题主要考查向量数量积的求解，根据正弦定理和余弦定理进行化简是解决本题的关键．考查学生的转化能力．17.答案：解：(Ⅰ)∵a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3，①当n =n −1时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(2n −5)⋅2n−1+3，②，由①−②可得，2n−1a n =(2n −1)2n−1，∴a n =2n −1，当a =1时，a 1=1成立，故a n =2n −1，(Ⅱ)c n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(1)由a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3，①当n =n −1时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(2n −5)⋅2n−1+3，②，相减求解即可得出通项公式．(2)c n =1a n a n+1=12(12n−1−12n+1)，根利用裂项求和法能求出数列S n 的前n 项和，放缩证明即可 本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.答案：(Ⅰ)证明：连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ．∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点．∵点F 为PC 的中点，∴OF //PA ．∵OF ⊂平面BFD ，PA ⊄平面BFD ，∴PA//平面BFD ．(Ⅱ)解：如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令PA =AD =AC =1，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(√32,12,0)，B(√32,−12,0),D(0,1,0)，F(√34,14,12)． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,34,12)． 设平面BCF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 由n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{y =0−√34x +34y +12z =0，∴{y =0z =√32x， 令x =1，则z =√32，∴n ⃗ =(1,0,√32)． ∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC ．∵OF //PA ，∴OF ⊥AC ．∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∵OF ∩BD =O ，∴AC ⊥平面BFD ．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BFD 的一个法向量，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)．∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√1+34×1=√217， ∴二面角C −BF −D 的余弦值是√217．解析：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ，利用三角形中位线的性质，证明OF//PA ，再利用线面平行的判定定理证明PA//平面BFD ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面BCF 、平面BFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C −BF −D 的余弦值．19.答案：解：(1)由题意可得一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P =(1−4)×(1−4)=1; (2)3名康复者一定需要6次检测，2名病毒携带者可能需要2次或3次或4次检测，所以X 可能的取值为8，9，10，P(X =8)=45×45=1625，P(X =9)=15×45+45×15=825， P(X =10)=(1−45)×(1−45)=125，分布列为：所以E(X)=8×1625+9×825+10×125=425．解析：本题主要考查随机事件的概率，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．(1)利用对立事件和独立事件的概率可以得出病毒携带者两次检测均为阴性的概率；(2)由题意知3名康复者一定需要6次检测，2名病毒携带者可能需要2次或3次或4次检测，所以X可能的取值为8，9，10，分别求出相应的概率，由此求出X 的分布列和数学期望．20.答案：解：(Ⅰ)依题意：{a 2=b 2+c 2c a =12c =1，解得a =2,b =√3， 即椭圆C ：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线AB ：x =ty +m(−2≤m ≤2)，则{x =ty +m x 24+y 23=1⇒3(ty +m)2+4y 2=12， 即(3t 2+4)y 2+6tmy +3m 2−12=0，y 1+y 2=−6mt 3t 2+4,y 1⋅y 2=3m 2−123t 2+4； 设A(ty 1+m,y 1)，B(ty 2+m,y 2)，而P(2,0)，则由k PA ⋅k PB =−94得y 1ty 1+m−2⋅y 2ty 2+m−2=−94 ⇔4y 1y 2+9(ty 1+m −2)(ty 2+m −2)=0，∴(4+9t 2)y 1y 2+9t(m −2)(y 1+y 2)+9(m −2)2=0，即(4+9t 2)3m 2−123t 2+4+9t(m −2)−6mt3t 2+4+9(m −2)2=0， 整理得m 2−3m +2=0，解得m =1或m =2(舍去)，∴直线AB ：x =ty +1，知直线AB 过椭圆C 的右焦点F(1,0)，S △OAB =12|OF||y 1−y 2|=12|y 1−y 2| =12√(6tm)2−4(3t 2+4)(3m 2−12)3t 2+4=12√(6t)2−4(3t 2+4)(3−12)3t 2+4=6√t 2+13t 2+4，令u =√t 2+1≥1，则S △OAB =12|OF||y 1−y 2|=6u 3u 2+1=63u+1u 注意到f(u)=63u+1u 在[1,+∞)上递减，f(u)max =f(1)=32，综上可知，△OAB 的面积的最大值为32．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． (Ⅰ)利用抛物线的焦点坐标，求解椭圆的焦点坐标，结合椭圆的离心率求解椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线AB：x=ty+m(−2≤m≤2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过直线PA，PB的斜率之积为−94，求解直线方程，得到直线过定点，表示出△OAB的面积，结合函数的单调性可得答案．21.答案：解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x，f′(x)=0可得x=1;当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f min=f(1)=2，所以f(x)的最小值为2(2)由(1)得，x+1−lnx>0，∴x(x+1−lnx)>0，∴a≤e x−1+xx(x+1−lnx)=e x−1+xx2+x−xlnx令g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx ，则g′(x)=(x−1)[(x−lnx)ex−1−x](x2+x−xlnx)2，由(1)可知x−1−lnx≥0，∴x−lnx≥1，x−1≥lnx，∴e x−1≥x，∴(x−lnx)e x−1−x≥e x−1−x≥0，当且仅当x=1时等号成立∴当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;所以g(x)最小值为g(1)=1，∴a≤1，所以实数a的取值范围(−∞,1]．解析：本题重点考查利用导数研究函数的最值，属于一般题．(1)求出定义域和导函数，得单调性，进而求得最小值；(2)分离a，构造g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx，利用导数求出g(x)的最小值，即可得a的范围．22.答案：解：(1)曲线C1：ρ=2sinθ，所以：曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2−2y=0；曲线C2：ρcosθ=3，所以：曲线C2的直角坐标方程为：x=3．(2)P的直角坐标为(−1,0)，设直线l的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα， 整理得，4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换． 23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。