Bochner-Riesz算子的极大交换子的加权Lipschitz估计

低于临界阶bochner-riesz算子交换子的有界
性
有界性是bochner-riesz算子交换子的重要特征。

它可以用来控
制函数空间中函数的大小和表示函数空间之间的距离。

因此，它
可以用来控制回归和分类算法的泛化性能。

Bochner-Riesz算子交换子的有界性与临界阶有关。

如果算子交
换子的阶低于临界阶，则该算子被认为是有界的。

如果高于临界阶，则该算子可能是无界的，并将导致函数空间中的表示不同步。

实际上，如果算子交换子的阶低于临界阶，则该算子将保持指定
的有界性。

这意味着，为了保持指定的有界性，必须保持bochner-riesz算子交换子的指定阶低于临界阶。

例如，如果要
使Bochner-Riesz算子交换子保持最大区分机制，则必须满足它
的阶低于临界阶以保证Bochner-Riesz算子交换子的有界性。

此外，bochner-riesz算子交换子的阶低于临界阶也可以减少函
数空间中函数之间的距离。

有界性可以限制函数空间中不同函数
的大小，这有助于减少函数之间的距离。

总之，bochner-riesz算子交换子的有界性取决于其是否低于临
界阶。

为了保持指定的有界性，必须使bochner-riesz算子交换子的阶低于临界阶。

此外，这种有界性也可以减少函数空间中函数之间的距离。

齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子构成的多线性交换子的Lipschitz估计孙爱文;陈红;束立生【摘要】利用“广义恒等逼近”及齐型空间上测度μ的双倍条件,对齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子T与函数b(b∈Lipβ)生成的多线性交换子Tb进行有界估计,得到了Lp (X)到Lq(X)的一个结果.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)003【总页数】5页(P398-402)【关键词】齐型空间;Lipschitz函数空间;广义恒等逼近;多线性交换子【作者】孙爱文;陈红;束立生【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241003;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241003;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241003【正文语种】中文【中图分类】O174.20 引言Rn上的奇异积分算子及其交换子是调和分析研究的主要内容. 自Duong等[1]给出带非光滑核的奇异积分算子的定义及Pérez等[2]给出多线性交换子的定义以来,关于带非光滑核的奇异积分算子生成的多线性交换子的研究已取得许多结果[3-10]. 本文讨论带非光滑核的奇异积分算子T与函数b(b∈Lipβ)生成的多线性交换子,得到了其是从Lp(X)到Lq(X)有界的.定义1[3] 设X是一个集合,在X上赋予一个正则的Borel测度μ及一个拟距离d. 对于d,存在常数kd≥1,使得∀x,y,z∈X,有d(x,y)≤kd(d(x,z)+d(z,y));若μ满足双倍条件,即存在常数C≥1,使得∀x∈X和r>0,有μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))<∞,其中B(x,r)表示以x为中心、 r为半径的拟球. 则称(X,d,μ)是一个Coifman-Weiss意义下的齐型空间.由于齐型空间上的μ满足双倍条件,因此有如下性质[4]:1) 存在常数C>0,γ≥1,齐型空间的维数n,使得μ(B(x,γr))≤Cγnμ(B(x,r));2) 存在常数C和N(0≤N≤n),使得μ(B(y,r))≤C(1+d(x,y)/r)Nμ(B(x,r)), ∀x,y∈X, r>0.(1)定义2[5] 如果对任意的t>0,算子At可由核at(x,y)表示为对任意的f∈Lp(X),1≤p<∞,at(x,y)还满足|at(x,y)|≤ht(x,y)=(μ(B(x,t1/δ)))-1·s(d(x,y)δt-1),其中: δ是大于零的常数;s是一个正的有界递减函数,且满足:(2)这里的0<ε<1. 则称一族算子{At}t>0为“广义恒等逼近”.定义3[6] 如果算子T在L2(X)上有界,且存在核K(x,y),使得则称算子T为带非光滑核的奇异积分算子. 这里表示有界、有紧支集函数组成的集合,同时满足如下条件:1) 存在“广义恒等逼近”{Bt}t>0,使得TBt是以kt(x,y)为核的算子,T-TBt是以K(x,y)-kt(x,y)为核的算子,并且存在常数c1,ρ>0,使得该核满足2) 存在“广义恒等逼近”{At}t>0,使得AtT是以Kt(x,y)为核的算子,T-AtT是以K(x,y)-Kt(x,y)为核的算子,且该核满足|Kt(x,y)|≤c2(μ(B(x,t1/δ)))-1, d(x,y)≤c3t1/δ,(3)这里α>0.定义4[7] 设(X,d,μ)是一个齐型空间,0<β<1,齐型空间上的Lipschitz空间定义为设b=(b1,b2,…,bm),bj∈Lipβ(j=1,2,…,m)为X上固定的局部可积函数,则由带非光滑核的奇异积分算子T和b生成的多线性交换子定义为本文出现的常数C>0,在不同之处表示不同的值.1 引理引理1[1] 1<p<∞,T为带非光滑核的奇异积分算子,则T在Lp(X)上有界.引理2[8] 对0<β<1,1≤r≤∞,令设r<p<1/β,且1/q=1/p-β,则‖Mβ,r(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.引理3[9] 对0<β<1,1≤p≤∞,有其中:为齐型空间上的拟球.引理4[10] 假设B1⊂B2,f∈ Lipβ(X),则|fB1-fB2|≤C‖f‖Lipβ μ(B2)β,其中B1,B2均为齐型空间上的拟球.引理5 令{At}t>0为“广义恒等逼近”,0<β<1,b∈Lipβ(X),1≤p≤∞. 则对一切f∈Lp(X)和x∈X,有:其中:表示拟球B的半径;证明：1) 设f∈Lp(X),1≤p≤∞,对任意的x∈X,B为包含x的任意拟球,则先估计Ⅰ. 通过式(1),可得μ(B)≤C2Nμ(B(x,rB)),对于任意的x∈B,如果x∈B,y∈2B,则有因此,由引理3和引理4,可得对于Ⅱ,x∈B,y∈2k+1B\2kB,则d(x,y)≥2k-1rB,由齐型空间的性质,有类似于Ⅰ的估计,有Ⅱ≤C‖b‖LipβMβ,1(f)(x). 综合Ⅰ,Ⅱ的估计,1)得证.同理,可以证2).2 主要结果定理1 设0<β<1/m,1<p<∞,b=(b1,b2,…,bm),其中bj∈Lipβ(X)(1≤j≤m),Tb为带非光滑核的奇异积分多线性交换子,当1/p=1/q-mβ/n时,Tb是从Lp(X)到Lq(X)的有界算子.证明：固定B=B(x0,r),x∈B. 记f=f1+f2,其中: f1=fχ2B;f2=fχ(X\2B). 设bB=((b1)B,(b2)B,…,(bm)B)∈X,其中对于任意的正整数m(1≤j≤m),为{1,2,…,m}中任意j个不同元素的集合},记σc={1,2,…,m}\σ,对于b=(b1,b2,…,bm),bj∈Lipβ(X)(1≤j≤m)和记‖bσ‖Lipβ=‖bσ(1)‖Lipβ…‖bσ(j)‖Lipβ,‖b‖Lipβ=‖b1‖Lipβ‖b2‖Lipβ…‖bm‖L ipβ,(b(x)-bB)σ=(bσ(1)(x)-(bσ(1))B)(bσ(2)(x)-(bσ(2))B)…(bσ(m)(x)-(bσ(m))B). 又由于因此对于J1(x),应用引理2及引理3,有对于J2(x),固定1<r<p,1/r+1/r′=1,应用Hölder不等式、 T的Lr有界性及引理2和引理3,有类似地,可得由引理5,可证明下式成立:对于J7(x),由式(3)及μ的双倍条件,有因此综上估计,有由引理2及T在Lp(X)上的有界性,有参考文献【相关文献】[1] Duong X T,Mcintosh A. Singular Integral Operators with Non-smooth Kernel on Irregular Domains [J]. Rev Mat Iberoamericana,1999,15(2): 233-265.[2] Pérez C,Trujillo-Gonzlez R. Sharp Weighted Estimates for Multilinear Commutators [J]. J London Math Soc,2002,65(3): 672-692.[3] HU Guo-en,WANG Wei-hong. A Weighted Estimate for the Maximal Commutators on Space of Homogeneous Type [J]. Acta Mathematica Sinica: Chinese Series,2010,53(1): 141-152. (胡国恩,王卫红. 齐型空间上极大交换子的一个加权估计 [J]. 数学学报: 中文版,2010,53(1): 141-152.)[4] Coifman R,Weiss G. Analyse Harmonique Non-commutative Sur Certains Espaces Homognes [M]. Lecture Notes in Math. New York: Springer,1971: 242.[5] Duong X T,YAN Li-xin. Commutators of BMO Functions and Singular Integral Operators with Non-smooth Kernels [J]. Bull Austral Math Soc,2003,67(2): 187-200. [6] XU Jing-shi. Multilinear Commutators of Singular Integral Operators with Non-smooth Kernels [J]. Taiwanese Journal of Mathematics,2007,11(2): 483-496.[7] Pérez C. Endpoint Estimates for Commutators of Singular Integral Operators [J]. J Func Anal,1995,128(1): 163-185.[8] ZHANG Qian,LIU Lan-zhe. A Good λ Estimate for Multilinear Commutator of Singular Integral on Spaces of Homogeneous Type [J]. Armenian Journal of Mathematics,2010,3(3): 105-126.[9] Paluszynski M. Characterization of the Besov Spaces via the Commutator Operator of Coifman,Rochbeg and Weiss [J]. Indiana Univ Math J,1995,44(1): 1-17.[10] Genebashvili I,Gogatishvili A,Kokilashvili V,et al. Weighted Theory for Integral Transforms on Space of Homogeneous Type [M]. Longman: Piman Monogr and Survey in Pure and Appl Math,1998.。

齐型空间上Lipschitz函数的一个新刻画
李富民
【期刊名称】《西安石油大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(017)005
【摘要】在θ阶正规齐型空间上,设算子列{Sk}k∈z是恒等逼近,记Dk＝Sk-Sk-1.用算子列{Dk}k∈z给出了函数空间Lipα(Lipschitz函数类,0＜α＜min{σ,ε})的一个新刻画.
【总页数】4页(P80-82,85)
【作者】李富民
【作者单位】西安石油学院信息科学系,陕西西安,710065
【正文语种】中文
【中图分类】O174.41
【相关文献】
1.齐型空间上极大奇异积分算子的一个加权端点估计 [J], 张昊;黄莉
2.齐型空间上的Lipschitz函数空间 [J], 李文明;许春蕊
3.齐型空间上Littlewood—Paley算子在Lipschitz函数类上的有界性 [J], 常心怡;石智
4.齐型空间上Lipschitz函数空间定义的弱化 [J], 李刚;左大伟;赵建华
5.齐型空间上Lipschitz函数空间的特征 [J], 赵建华;赵丛肖;李刚
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Bochner-Riesz算子交换子在加权Morrey空间上的有界性张姗姗;瞿萌;束立生【摘要】In this paper, we use a method of sharp maximal function to show the boundedness of commutator generated by Bochner-Riesz operators and weighted BMO function on the weighted Morrey spaces under ap-propriate conditions on the weight.% 运用了 Sharp 极大函数估计的方法证明了当权函数满足一定条件时， Bochner-Riesz算子与加权BMO函数生成的交换子在加权Morrey空间上的有界性。

【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】7页(P214-220)【关键词】Bochner-Riesz算子;加权Morrey空间;加权BMO空间【作者】张姗姗;瞿萌;束立生【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003【正文语种】中文【中图分类】O174.2经典的Morrey空间Lp,λ首先是由Morrey[1]在研究二阶椭圆型偏微分方程解的局部性质时所引进的.2009年,Komori和Shirai[2]建立了加权Morrey空间Lp,κ(ω)并且研究了调和分析中一些主要算子,比如Hardy-Littlewood极大算子,Calder´on-Zygmund奇异积分算子以及分数次积分算子在这些加权Morrey 空间上的有界性问题.在ℝn(n≥2)中阶为δ＞0 的Bochner-Riesz算子起初是通过Fourier变换,对Schwartz函数来定义的,其中表示Fourier变换.与之相联系的极大Bochner-Riesz算子定义为:这些算子首先是由Bochner引进的,它们与多重Fourier级数的求和密切相关并且在调和分析的研究中起着很重要的作用.设b是ℝn上的一个局部可积函数,对于任意给定的R＞0, b和所生成的交换子定义如下:从而完成了定理的证明.【相关文献】[1]Morrey C B.On the solutions of quasi-linear elliptic partial differentialequations[J].Trans.Amer.Math. Soc.,1938,43:126-166.[2]Komori Y,Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integraloperator[J].Math.Nachr.,2009,282(2): 219-231.[3]王华.关于Calder´on-Zygmund算子在加权Morrey空间上的一些交换子估计[J].中国科学:A 辑,2012, 42(1):31-45.[4]Muckenhoupt B.Weighted norm inequalities for the Hardy maximalfunctions[J].Trans.Amer.Math.Soc., 1972,165:207-226.[5]陆善镇,王昆扬.Bochner-Riesz平均[M].北京:北京师范大学出版社,1988.[6]Stein E M,Weiss G.Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces[M].New Jersey:Princeton Univ. Press,1971.[7]Paluszy´nski M.Characterization of the Besov spacea via the commutator operator of Coifman,Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.,1995,44:1-17.[8]Garcia-Cuerva J.Weighted Hpspaces[J].Dissertations Math.,1979,62:1-63.[9]Hu Guoen,Lu Shanzhen.The maximal operator associated with the commutator of the Bochner-Riesz operator[J].Beijing Math.,1996,21:96-106.[10]周民强.调和分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1995.[11]王华.Bochner-Riesz算子在加权Morrey空间上的一些估计[J].数学学报,2012,55(3):552-560.[12]P´erez C.Endpoint estimates for commutators of singular integraloperators[J].Funct.Anal.,1995,128:163-185.[13]Stein E M.Harmonic Analysis:Real-Variable Methods,Orthogonality,and Oscillatory Integrals[M].Princeton:Princeton University Press,1993.。

一类奇异积分算子的估计
近半个世纪以来,现代调和分析理论取得了许多重大进展,其思想、方法和技巧在很多数学领域中得到广泛的应用.以
Calderon-Zygmund(C-Z)奇异积分算子为代表的算子理论自创立以来,便在调和分析中处于中心地位.本文主要研究有关变形核的单边C-Z奇异积分算子的加权估计,单边Cohen型奇异积分算子交换子在加权Triebel-Lizorkin空间的Lipschitz估计,以及在单边加权Morrey空间中满足一定尺寸条件的单边次线性算子的有界性.本文的主要内容安排如下：在第一章中,我们将内容分为六个小节.首先主要介绍有关核函数的奇异积分算子的研究背景和研究现状.然后给出了经典的C-Z理论和Ap权函数的定义和双边情形下变形的Hormander条件.其次引入单边权函数和单边C-Z奇异积分算子及其交换子的定义及性质.接下来主要讨论本文中用到的几类单边函数空间的定义形式和将要用到的一些必要引理.最后简单的介绍本文的主要研究工作.在第二章中,我们首先给出满足变形的Lipschitz条件的单边C-Z奇异积分算子T+的定义.然后,以单边sharp极大函数为桥梁来求得此类单边奇异积分算子的加权Lp(p1)有界性.对于p=1时,运用单边C-Z分解来完成单边奇异积分算子T+的弱(1,1)有界性估计.第三章分成两个主要的部分.我们主要利用单边权的外推方法,来分别讨论单边Cohen型奇异积分算子交换子和分数次积分算子交换子在单边加权Triebel-Lizorkin空间的Lipschitz的有界性估计.在第四章中,首先介绍了满足一定尺寸条件的单边次线性算子和单边分数次积
分算子.然后在单边加权Morrey空间中讨论这两类单边算子的有界性.。

Bochner-Riesz算子的极大多线性交换子在加权Hardy空间
上的有界性
刘长荣
【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(033)001
【摘要】引入了一类由Bochner-Riesz算子和BMO函数构成的极大多线性交换子,并利用原子分解的方法证明了该极大多线性交换子在Hardy型空间中的加权有界性.
【总页数】3页(P131-133)
【作者】刘长荣
【作者单位】湖南大学,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.Marcinkiewicz算子的多线性交换子在一类B1ock-Hardy空间上的加权有界性[J], 吕志军
2.Littlewood—Paley算子的多线性交换子在加权Herz型Hardy空间上的有界性[J], 李志鹏;束立生
3.Marcinkiwicz算子的多线性交换子在一类Block-Hardy空间上的加权有界性[J], 周肖沙;杨东;吴柏森
4.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在一类Block-Hardy空间上的加权有界
性 [J], 曾甲生
5.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在块Hardy空间上的加权有界性 [J], 易涤尘
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