加权Hardy算子及其交换子在广义Morrey空间上的有界性

高校应用数学学报　２０１１，２６（４）：４８１—４８８　

加权Ｈａｒｄｙ算子及其交换子　

在广义Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性　

吴小梅　

（浙江大学数学系，浙江杭州３１００２７；　

浙江师范大学行知学院，浙江金华３２１００４）　

摘要：讨论了］￣ｌＫＨａｒｄｙ算子，Ｃｅｓ￣ｒｏ算子及它们与ＢＭ０函数生成的交换子的有界　

性．在假设　（ｒ）满足一类条件时，得到了这些算子及它们的交换子在广ＫＭｏｒｒｅｙ　间　

上有界，且证明了这类条件是必要的．　

关键词：加权Ｈａｒｄｙ算ｑ－；交换子；广ＫＭｏｒｒｅｙ￣间；ＢＭＯ，￣　中图分类号：Ｏ１７４．２　

文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—４４２４（２０１１）０　０４８１—０８　

§１　引　言　

假设　：［０，１】一【０，。。），ｆ∈ＬＰ（Ｒ　），则加权的Ｈａｒｄｙ算子　，定义为　

ｆｌ　，（　）＝／ｆ（ｔｘ）￣（ｔ）ｄｔ，　∈Ｒ　．　

１９８４ｆｇ，Ｃａｒｔｏｎ—Ｌｅｂｒｕｎ￣Ｆｏｓｓｅｔ［　］首先定义了加权Ｈａｒｄｙ算子，并且证明了当　满足一定条　

件时，　，在ＢＭＯ（Ｒ　）上有界．２００１年，Ｘｉａｏ［　】得到了　

命题１．１　，是ＬＰ（Ｒ　）有界的当且仅当　

／ｔ－詈　（￡）出＜。。．　（１）　

当取　）三１及礼＝１ｍｒ，　是经典￣Ｈａｒｄｙ算子　：　

，（　）＝・１／０　，（ｔ）ｄ￡，　≠。．　

Ｈａｒｄｙ［。］证明了上述算子满足下列不等式　

ＩＩＶ／ｌｌ　Ｒ　）　｝ｆ，ｆｌ　Ｌｐ（Ｒ１）ｊ　

收稿日期：２０１１．０３—３０　修回日期：２０１１一１０—２０　基金项目：国家自然科学基金（１０９３１００ｌ；１０８７１１７３）

　４８２　高校应用数学学报　第２６卷第４期　

其中１＜Ｐ＜。。，且　是最佳常数．　

由于加权Ｈａｒｄｙ算子与经典的Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏ０ｄ极大算子密切相关，近年来，它受到了很多　

科研工作者的关注，如文献［２，４－７］．　

加权的Ｃｅｓ　ｒｏ算子　定义为　

）＝　／班　）ｄｔ，ｘ　Ｅ　Ｒ　．　

当　三１，ｎ：１时，　是经典的Ｃｅｓ　０算子　

裁　

加权Ｈａｒｄｙ算子　和加权ｃｅｓ　ｒ０算子　是共轭算子，即　

／９（ｚ）　ｆ（ｘ）ｄｘ＝／，（　）Ｖ￣，ｇ（ｘ）ｄｘ，　ＪＲｎ　ＪＲｎ　

其中　

＿厂∈　ｐ（Ｒ”），９∈Ｌｑ（Ｒｎ），１＜ｐ＜。。，　＋　：１．　

证明可以参看文献［２］．　

定义１．１令ｂ∈Ｌｌ。　（Ｒ”）．我们称６∈ＢＭＯ（Ｒ“）当且仅当　

ｓｕｐ　／＝ｌ６～ｂＱＩ＜。。，　～＜　

其中上确界取遍Ｒ”中所有的方体Ｑ，ｂＱ＝南　ｂ，ＩＱＩ表示Ｑ的体积．６的ＢＭ０范数定义为　

ＩｌＶｌｌ—ｓｕｐＱＣＲ　／。Ｉ６　“Ｉ　Ｉ　Ｑ　

最近，傅尊伟等［　］研究了加权Ｈａｒｄｙ算子与ＢＭ０函数６生成的交换子　在　（Ｒｎ）中的有界　

性．　如下定义．　

定义１．２令６是局部可积的可测函数，　如前定义．加权Ｈａｒｄｙ算子的交换子　定义为　

，：：ｂＵｆｆ一　（６，）．　

加权Ｃｅｓ　。算子的交换子　ｂ定义为　

＿，：：ｂ　．，一　（ｂｊＰ）．　

他们得到　命题１．２对任意的６∈ＢＭＯ（Ｒ　），　是　（Ｒ　）有界的当且仅当　

／＝　一苦　（ｔ）ｌ。ｇ　２ｄ　＜。。．

　吴小梅：￣．Ｈａｒｄｙ算子及其交换子在广义Ｍ０ｒｒｅｙ空间上的有界性４８３　

广义Ｍｏｒｒｅｙ空间是近年来调和分析研究的热点，如［８—１２］等．　

先给出该空间的定义．　

定义１．３令１　Ｐ＜。。，假设　（ｒ）是Ｒ　上非负可测函数，满足　

）　

且　单调递减，则广义Ｍｏｒｒｅｙ空Ｉ＇￣Ｌｐ，　（Ｒ　）定义为　

’　（Ｒ　）＝｛，∈Ｌｆｏ　（Ｒ　）：　，　（Ｒｎ）＜。。｝　

其中　

ｌＩ，ｌｌ驯Ｒｎ　∈　＞。南Ｉｌ，１　，　

Ｂ（ｘ，ｒ）是以　为中心，ｒ为半径的球体．　

注１．１　若　（ｒ）＝ｒＡ时，　，　（Ｒ　）正是经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间　

，　（Ｒ　）：｛，∈Ｌ　。（Ｒ　）：Ｉ１ｆｉｌｌ　＜。。）　

其中　１　

。∈　南　ＬＰｒ＞０　（　０∈Ｒ”

，　７…　

这类空间是Ｍｏｒｒｅｙ［。】为了研究二阶椭圆偏微分方程引进的．当Ａ：０时，Ｌｐ，　（Ｒ　）＝　

。（Ｒ　）＝Ｌｐ（Ｒ　）．　

注１．２　当ｕ（ｒ）＝ｒ　ｌｎ（ｒ＋２）时，空间　，　（Ｒ　）不再是经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间．因此可以看出　

广义Ｍｏｒｒｅｙ空间是经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间和　空间的推广．　

注１．３在定义１．３中，　单调递减，因此，易知ｕ（７’）满足双倍条件　

ｗ（２ｒ）　ｃ　（ｒ），　

ｃ为与ｒ无关的常数．　

１９７６年，Ｃｏｉｆｍａｎ［１２］等给出了Ｒｉｅｓｚ变换生成的交换子的ＢＭＯ等价刻画，自此算子有界性　与ＢＭＯ空间的等价刻画受到很多学者的关注．２００４年，ＢｕｒｅｎｋｏｖＩｓ】研究了极大算子在局部广　

义Ｍｏｒｒｅｙ空间的等价条件．２００６年，Ｓａｔｏｒｕ［　】得到了分数次交换子在Ｍｏｒｒｅｙ空问上有界的等价　

刻画等等．　

可见．讨论加权Ｈａｒｄｙ算子及其交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空间的有界性及其等价刻画是有意义　

的．　

§２广义Ｍｏｒｒｅｙ空间上的Ｈａｒｄｙ算子　

以下给出本文的主要结论．　

定理２．１　ｉ）令１＜Ｐ＜∞，则下列两个条件等价　

ａ）　在　ｐ，　（Ｒ　）上有界；

　４８４　高校应用数学学报　第２６卷第４期　

ｂ）　（ｒ）满足　一　ｒｌ　ｓｕｐ　ｉ／ｏ　ｐ（ｔｒ）ｔ—　ｎ　（￡）　＜。。・　（３）　

ｉｉ）令１＜Ｐ＜。。，则下列两个条件等价．　

ｃ）　在　，　（Ｒ　）有界；　

ｄ）　（ｒ）满足　ｒｌ　ｓｕｐ　１／ｏ　（ｒ／ｔ）　（￡）　一ｎ　ｄｔ＜∞・　

注２．１　若取　（ｒ）＝ｒ　，０＜　＜ｎ，则得到加权Ｈａｒｄｙ算子　在经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间　ｐ，　（Ｒｎ）　

有界的充要条件．　

／ｔ下　（ｔ）ｄｔ＜ｏ。．　（４）　ｔ，０　经过简单计算，易知（４）式与文献［６１中（１．３）式是等价的．当取ｕ（　）＝１时，得到　在Ｌ　（Ｒｎ）有界　

的等价刻画，条件（３）化为条件（１）．因此定理２．１推广了Ｆｕ（６Ｉ与Ｘｉａｏ［２１的结论．　

根据　和　的相似性，只给出定理２．１中　部分的证明．　定理２．１的证明　

首先证明ｂ）＝＝｝ａ），先来估计Ｉ１　ｆｉｌｌ　（Ｂ（　，　））．根据广义Ｍｉｎｋ０ｗｓｋｉ不等式有　

ｆｉｌｌ　（Ｂ（　））＝　

＜　（　）Ｉｆｏｌ￣㈤　）吉　

（　）ｄ￡（　（。，　）Ｉ．厂（￡　）ｆ　ｄ　）吉　

／　（ｔ）ｔ一　ｄｔ（／　Ｉｆ（ｚ）ｌ　ｄｚ）　．　

由条件（３）得　

ｌｌｕ．ｆｌｌ胁　（Ｒ　）　觚ｓｕ　ｐ＞。南　，Ｉ　）　

觚ｓｕ　ｐ＞。　ｌ　ｑｏ㈣　（　Ｉ　

＝雠Ｒｎ，ｔ　两（／Ｂ　）　南１Ｗｌｉｐｓｕｐ　Ｉｆ（）ｌＰｄｚ　）　ｎ　）出　雠

，　丽（　１　）　（刎　（　）出　

ｃｌｌｆｌｌＬ　，　（Ｒｎ）．　

以下来证ａ）　ｂ），取　

）＝（　

则可证，０（　）∈Ｌｐ，　（Ｒ　）．　

１．当　＞３ｒ时，由于Ｉｘ—Ｙｌ　ｒ，所以　＞２ｒ．利用　（ｒ）／　单调递减，有　

‘　１　ｒ１ｌ　１　ｗ（２ｒ）　ｒ）Ｉ）吉＜∞．

　吴小梅：加权Ｈａｒｄｙ算子及其交换子在广￣Ｍｏｒｒ　窒　查墨竺　塑　

２．当　≤３ｒ时，由于ｌ　一　ｊ　ｒ，所以　４ｒ．再由　（ｒ）满足双倍条件（２）得　

ｃ　ｒ）１　ｒ）ｌ　ｌ　ｆｏ　ｔ　＜。。　

综上可知，，０（　）∈Ｌｐ，　（Ｒ　）．则可计算　，０的　，　（Ｒ　）范数为　

ＩｌＵ，ｆｏｌｌ　俐＝一ｓｕｐ伽（南　）ｌ　１　

令Ｚ＝ｔｙ，则上式化为　

一ｓｕｐ＞ｏ（　１　

∽Ｉ　１酬　向圳ｐｔ－ｎｄｚ　ｐ　

：　Ｒｓｕ　ｐ　（　州（　ｐ南．，。ｗｌ／ｐ　ｄ　

＝　）南１　ｗｌ／ｐ（∽　）　

由于，０　）∈Ｌｐ，　（Ｒ　），所以　ｆｏ∈Ｌｐ，　（Ｒ　），于是有　

１丽１ｗｌ／Ｐ（打）ｔ一詈　ｄ　＜。。．　

定理２．１得证．　

§３广义Ｍｏｒｒｅｙ空间上的Ｈａｒｄｙ交换子　

在给出本文的第二个主要结论之前，先介绍几个引理．　

定义３．１令１　８＜。ｏ，设，∈Ｌｆ０ｃ（Ｒ”），则可定义极大函数　

Ｍｙ　）＝ｓｕｐ　１

ｘｅＱ　Ｉ　曲　ｌ　Ｊ　Ｑ　

其中Ｑ为包含ｚ的任意方体．当ｓ＝ｌ时，即为Ｈａｒｄ　Ｌｉｔｔｌｅｗｌ０Ｏｄ极大算子，记为　

引理３．１令１　ｓ＜。。，则　

ＩＩＭ（Ｕｂｆ）（．）ｌｌ　Ｌｐ（Ｒ　ｃｌｌ　６Ｉ１　（Ｍｆ　．））　。ｇ　２　Ｒ“）　

该引理可以从文献［５】中定理２．１的证明过程得到，此处略去证明　

引理３．２令１＜Ｐ＜ｏ。，函数　（　）满足　

厂ｏ。∽（ｒ）　≤　（ｔ），　

Ｊｔ　（５）

　４８６　高校应用数学学报　第２６卷第４期　

则极大算子Ｍ在　ｐ，　（Ｒ　）上有界．　

该引理的证明可参考文献［１０］中的定理４．２，取ｕｌ（Ｘ，ｒ）＝　２（　，ｒ）＝　（ｒ）即得到上述引理　

定理３．１　ｉ）令１＜Ｐ＜。。，ｂ∈ＢＭＯ，　（ｒ）满足（５）式，则下列两个条件等价．　

ｅ）　在　ｐ＇　（Ｒ”）上有界；　

ｆ）　（ｒ）满足　

ｕｐ。　１￣ｄｌ／Ｐ（打）　（￡）ｔ－ｎ／ｐ　ｌｏｇ出＜。。　

ｉｉ）令１＜Ｐ＜。。，ｂ∈ＢＭＯ，　（ｒ）满足（５）式，则下列两个条件等价　

ｇ）　在　ｐ，　（Ｒ　）上有界；　

ｈ）　（ｒ）满足　

ｓ　ｕ＞ｐ０—ｗｌ／ｐ—（ｒ）　）ｔ－ｎ／ｐ＇ｌｏｇ　２＜。。　

注３．１　若　（ｒ）＝ｒ　，０＜　＜ｎ，得到：在经典的Ｍｏｒｒｅｙ空问有界的充要条件为　

删　２　。。　

当　（？＇）：１时，得到命题１．２，这是文献【５—６］的部分结论．　

定理３．１的证明　

因为证明的相似性　只给出第一部分的证明．　

先证ｆ）　ｅ）．　

由于ｌ　ｆ（ｘ）ｌ　Ｍ　，　）ａ．ｅ＿，利用广义的Ｍｉｎｋ０ｗｓｋｉ不等式和引理３．１有　

Ｊ　Ｊ　ｂ，『ｌ　Ｌ　ｐ＿　（ｒｔｎ）　Ｉ［ＭＵｂｆＩＩＬ…（Ｒｎ）　

：　。　７　ｌｌ　，ｌｌ　Ｂ（　））　

ｓｕｐ　∈Ｆｔｎ，ｒ＞　ｏ　１／Ｐ（ｒ）　

１　Ｃ　ｓｕｐ　∈Ｆｔｎ、ｒ＞　０　／Ｐ（ｒ１　（　）　。ｇ　２　ｌＪＬｐ（阶Ｉｒ））　

√（　）　ｌ。　２　

ｃｌｌ（Ｍｆ　）　（　）　￣ｌｌｆｌｌ　（　）　／Ｐ（ｔｒ１　（厂（Ｍｆｓ（　））　ｄ　）　

ＪＢ（ｔ￣，打）　

最后一个不等式是根据引理３．２得到．　

以下证ｅ）　ｆ）．　

取　

ｆｏ（ｘ）＝（　

则＿厂０∈　，　（Ｒ”）．取ｂ０（　）＝ｌｏｇ　ＩＸｌ∈ＢＭＯ，与定理２．１类似，经过计算得到　

略ｆｏｌｌＬ　（Ｒｎ）＝ＩｌｆｏｌｌＬ　，　（　）　（ｒ）　．　１／ｐ（ｔｒ）　（ｔ）ｔ一号ｌ。ｇ　ｄｔ　（６）