第五章：相关系数110304

第五章 相关分析

第一节 相关的意义

一、相关的概念

相关分析是分析事物之间相互联系的一种手段。

1、从性质角度考虑事物间的联系

因果关系：一种现象是另一种现象的因，而另一种现象是这种现象的果。努力学习是学习成绩好的因，学习成绩好是努力学习的果。

共变关系：表面看来有联系的两种事物都与第三种现象有关，这两种事物间的关系就是共变关系。如春天出生的婴儿与春天栽种的小树，就其高度而言，表面上看来都在增长，好像有关，其实这二者都是受时间因素的影响，它们本身之间并没有直接的关系。

相关关系：两类现象在发展变化的方向及大小方面存在一定的关系。如：学生入学成绩与进校一年后的学业成绩；各种成绩之间；中学成绩与大学成绩；智商与学业成绩；教育投资与教育带来的发展；自我价值感与学业成绩、经济条件；运动员的赛前焦虑与比赛成绩、临近比赛的时间；动机强度与工作效率等之间的关系都属于相关关系。

2、相关的种类

（1）方向上——正相关、负相关和零相关

正相关指一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量亦由大而小或由小而大的变化，即两列变量是同方向变化的，属“同增共减”的关系。

负相关指一列变量由大而小或由小而大的变化，另一列变量却反由小而大或由大而小的变化，即两列变量的变化方向是相反的，属“此增彼减”的关系。

零相关又称无相关，是一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量则或大或小的变化，即两列变量的变化看不出一定的趋势，甚至毫无关系。

（2）形状——直线相关和曲线相关

直线相关指两列变量中的一列变量在增加时，另一列变量随之而增加；或一列变量在增加，另一列变量却相应地减少，形成一种直线关系。两列变量的变化在坐标轴上绘制散点图时形成的是长轴或椭圆形图形。

曲线相关指两列相伴随变化的变量，未能形成直线关系。两列变量的变化莫测在坐标轴上绘制散点图时形成的是成弯月状或曲线形图形。

（3）相关程度——完全相关、强相关、弱相关和无相关

第五章相关分析与回归分析

相关分析（Correlation Analysis）和回归分析（Regression

Analysis）都是统计学中常用的数据分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。相关分析主要用于衡量变量之间的线性关系强度和方向，回归分析则是基于相关分析的基础上建立数学模型来预测或解释因变量的方法。

相关分析是一种用于研究两个变量之间关系强度和方向的统计方法。相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的指标，其取值范围为[-1,1]。当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减少；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系弱或不存在。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation

coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlation

coefficient）和肯德尔相关系数（Kendall’s rank correlation

coefficient）等。皮尔逊相关系数适用于两个变量均为连续型的情况，斯皮尔曼和肯德尔相关系数则适用于至少一个变量为顺序型或等距型的情况。

回归分析是一种建立数学模型来预测或解释因变量的方法。在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量建立数学关系，然后通过该关系来预测或解释因变量。回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析两种。 简单回归分析是指只有一个自变量和一个因变量之间的分析。该方法主要用于研究一个自变量对因变量的影响，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的线性关系。简单回归分析的核心是最小二乘法，即通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线。

多元回归分析是指有多个自变量和一个因变量之间的分析。该方法主要用于研究多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元线性回归模型来描述它们之间的关系。在多元回归分析中，自变量之间可能存在相关性，因此需要进行相关性分析来排除自变量之间的多重共线性。

第五章 相关性分析

在对研究对象的综合属性进行评价时，往往涉及到许多变量指标。它们有的有一定的信息重叠性，有的有一定的关联性。为了找出影响事物属性的关键本质变量指标，我们首先就需要剔除重叠性和关联性等，这就是所谓的变量之间的相关性分析。这种相关性分析主要包括：（1）两个变量的相关性分析；（2）多个变量的整体相关性（广义相关系数）分析；（3）一个变量与其余多个变量（一组变量）的复相关性分析；（4）两个变量在给定一组变量条件下的偏相关性分析；（5）两组变量（每组为多元变量）之间的典型相关性分析。

第一节 引言

在研究、分析、评价实际问题时，研究对象属性往往由多元变量指标刻画。但是，有些指标太多，有些指标包含了部分重叠信息，有些指标强烈地依赖于其它指标，这时需要对指标进行筛选以确定不相关（或者相关性不大）的、包含最多研究对象信息的、指标维数尽量小的主要指标变量。指标筛选的主要办法就是指标的相关性分析。同时，相关性分析也是数据多元分析的重要技术手段。

变量间的相关性涉及到变量或变量组之间的多种相关性，下面分别阐述。

（1）两变量间的相关性。最简单的就是这种两个变量之间的相关性，通常定义一个相关系数来量化两个变量之间的相关程度。它常被用于衡量两个指标间的相关性或相似性，如在地震勘探中，要对比两个地震记录波形的相似性；在无线电技术中，要将接受信号与某已知信号对比，根据两者之间的相似性做出某种判断；更一般地，当我们观察到多个变量时，要分析多个变量间的相似性，进行根据一定的标准，对这些变量进行筛选。因此，两个变量之间的相关性是变量间相关性分析的基础。

（2）多元变量的整体相关性。如果考察的变量是一组变量（多于两个变量），则需要考察这一组变量总体的相关性，也可称为多元整体相关性分析。对于一组变量的多元整体相关性常常采用广义相关系数（相对于前面的两个变量间的相关系数而言）来量化，有时也将广义相关系数称为混合相关系数。例如，对于获得的描述研究对象属性的多个变量指标，首先需要知道的就是这组变量整体相关吗？从而确定是否需要对变量之间的相关性做进一步的其它相关性分析。

相关系数及其几何意义

在实际问题中,我们常常要研究两个变量的相关性.例如:研究某行业的变动对另一行业的影响,某生理指数与某疾病的相关性.更一般的,当我们观测多个变量时,要分析多个变量间的相关性,进而根据某种标准,对这些变量进行筛选.当然,两个变量是最基础的情况,故我们首先对两个变量间的相关性.

相关系数:

设11(,,),(,,)nnxxxyyy为两个向量,它们可能是从两个总体中抽样出来的数据.在数学中,我们希望定量的刻画它们的相关程度.自然地,我们会想到用误差平方和的最小值

20,11min()niiaiQyaxn ( 1 )

来衡量.如果有某个a和使得0Q=0,则可以说x与y完全相似.否则就以0Q的大小来描述它们的相似程度.为求0Q值,我们可对

211(,)()niiiQayaxn ( 2 )

关于a和求导,并令其等于0,即

1212()020niiiniiiiQyaxanQyaxxn

解得121()()()niiiniixxyyxx,

ayx. ( 3 ) 将(3)式代入(1)式得:

221022111(()())1()1()()niiniinniiiiixxyyQyynxxyy

=2211()(1)nixyiyyn,

其中记1221/211()()(()())niiixynniiiixxyyxxyy,

由此还可以得到最小相对误差平方和

2002111()xyniiQEyyn.

由于0E消除了x,y的测量单位带来的影响,所以它比0Q用来衡量x,y的相关程度更为合理,等价的以xy来作为衡量x与y相关的度量,并称xy为x,y的相关系数,当xy越大(从而0E越小),则x,y越相关,当xy越小(从而0E越大),则x与y越不相关.