《协方差及相关系数》习题

相关系数刻划了X和 间 线性相关”的程度. =相关系数刻划了 和Y间“线性相关”的程度
=
9
证： 对任意的 对任意的a,b,令 令
刻画了Y与 刻画了 与a+bX的偏离程度 的偏离程度 e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2 -2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
要使 与 的某个线性函数 最为接近 就是要找a,b使得误差 最为接近 就是要找 数 要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找 使得误差 视为关于a,b的二元函数 视为关于 的二元函数，求驻点： 平方e值最 值最小 平方 值最小. 将e视为关于 的二元函数，求驻点： 字 特 征 解得
X与Y不相关 只说明 与Y之间没有线性关系，但可以有 与 不相关 只说明X与 之间没有线性关系 不相关,只说明 之间没有线性关系， 非线性关系； 非线性关系； 而X与Y独立是指 独立是指X,Y之间既无线性关系， 之间既无线性关系， 与 独立是指 之间既无线性关系 也无非线性关系， 也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。 独立”必然不相关，但反之不然。 不相关 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 与不相关等价 2 若二维r.v ( X , Y ) ~ N ( µ 1 , µ 2 ; σ 12 , σ 2 ; ρ ) 即：若二维 则X与Y相互独立 与 相互独立
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p) D(X)=
E(X) = µ
a +b E(X) = 2 1 E(X) =
D(X)= σ
λ
2
(b − a)2 D(X)= 12
(5) 切比雪夫不等式 =

D( X + Y ) = ? D( X + Y ) = E ( X + Y )2 − [ E ( X + Y )]2
= D( X ) + D(Y ) + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}.
协方差
(2) 定义
称 E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} 为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 即 C ov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}. 称 ρXY = Cov( X , Y ) D( X ) ⋅ D(Y ) ( D( X ) ≠ 0, D(Y ) ≠ 0)
G
O
x
D(Y ) = D( X ) = 153 / 2800,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400 = 0.0475,
Cov( ,Y ) X ρXY = = 0.87, D( X ) ⋅ D(Y )
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) = 0.2043.
a ,b
2 = E {[Y − (a0 + b0 X )]2 } = (1 − ρXY ) D(Y )
⇒ ρXY = 1.
(4) 不相关与相互独立的关系 若随机变量X， 相互独立 相互独立， 定理 若随机变量 ，Y相互独立， 则 ρ xy = 0 ,即X，Y不相关。 不相关。 ， 不相关 不相关 注 1) 相互独立 如后面例２ 如后面例２． 2) 不相关的充要条件
2) D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ).

Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
从而, 作为协方差的特例，方差也应有
D ( X ) C o v ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) E ( X ) [ E ( X )] .
2 2
又∵ X 与Y 相互独立时, 总有
D ( U ) 2 D ( X ) 3 D (Y ) 0
2 2
解 数学期望
E ( U ) 2 E ( X ) 3 E (Y ) 1
2 ( 5 ) 3 (1 1 ) 1 4 4 ;
E (V ) E (Y Z ) 4 E ( X ) E (Y ) E ( Z ) 4 E ( Z )
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2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤
⑴ 对离散型变量
E ( X ) xi pij (或 xi pi ) ,
i 1 j 1 i 1
E (Y ) E ( XY )
x
i 1 j 1


y
i 1 j 1


j
pij (或 y j p j ) ,
j 1

i
y j pij ,
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) .
⑵ 对连续型变量
E( X ) E (Y ) E ( XY )





xf ( x , y )dxdy (或 yf ( x , y )dxdy (或
是 X 的方差. 是 X 与Y 的协方差.
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E[( X E ( X )(Y E (Y )]

解： E ( X ) 1 (0 ) 2 ( )
1 3
8 5 5 1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 3 3 3 ( XY ) ( X ) (Y ) ( X ) (Y ) 2 2 2 9 9
1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 2 xdy , E ( X 2 ) dx 2 x 2 dy , D( X ) ， 0 0 0 0 3 6 6 9 18 1 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 E (Y ) dx 2 ydy , E (Y 2 ) dx 2 y 2 dy , D(Y ) ， 0 0 0 0 3 6 6 9 18 1 1 x 1 1 1 1 1 E ( XY ) dx 2 xydy , cov( X , Y ) 0 0 12 12 3 3 36
2
1 1 0 P{ X 1, Y 0} P{ X 1}P{Y 0} . 3 3
3.设 B 0 ，验证 Y A BX 时， X 与 Y 的相关系数为 1 或-1. 证明： ( XY )
cov( X , Y )
D( X ) D(Y )

E ( XY ) E ( X ) E (Y ) D( X ) D(Y )
同理得 D ( X 2 X 3 ) 2 ，则
2
2
(X1 X 2 , X 2 X 3 )
cov( X 1 X 2 , X 2 X 3 ) D( X 1 X 2 ) D( X 2 X 3 )

1 0 2 2

1 . 2
7.已知某箱装有 10 件产品，其中一等品 8 件，二等品 1 件，三等品 1 件，如果从中任取一 件，记 X i