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相关系数与协方差的关系

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协方差和相关系数的计算

协方差和相关系数的计算

协方差和相关系数的计算一、协方差的计算协方差描述的是两个变量的总体变动趋势的一致性程度，具体的计算公式如下：其中，X和Y分别是两个变量的取值，μX和μY分别是两个变量的均值。

协方差的计算步骤如下：1.计算变量X和Y的均值μX和μY；2.分别将变量X和Y的取值减去各自的均值，得到两个变量的离差序列；3.将两个离差序列中对应位置的元素相乘，然后求和，得到协方差。

协方差的结果可以有三种情况：1.协方差大于0，表示变量X和Y的变动趋势相似，即当X增大时，Y往往也会增大，反之亦然；2.协方差小于0，表示变量X和Y的变动趋势相反，即当X增大时，Y往往会减小，反之亦然；3.协方差等于0，表示变量X和Y之间没有线性关系，即两个变量的变动趋势相互独立。

相关系数是在协方差的基础上，进一步衡量两个变量之间线性关系的强弱。

相关系数的计算公式如下：其中，Cov(X, Y)表示变量X和Y之间的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。

相关系数的计算步骤如下：1. 计算变量X和Y的协方差Cov(X, Y)；2.计算变量X和Y的标准差σX和σY；3.将协方差除以标准差的乘积，得到相关系数。

相关系数的取值范围在-1到1之间，其含义如下：1.相关系数为-1，表示变量X和Y之间存在完全的负线性关系，即当X增大时，Y总是减小，反之亦然；2.相关系数为1，表示变量X和Y之间存在完全的正线性关系，即当X增大时，Y总是增大，反之亦然；3.相关系数趋近于0，表示变量X和Y之间没有线性关系。

需要注意的是，相关系数只能衡量两个变量之间的线性关系，无法反映其他非线性关系的相互作用。

三、协方差和相关系数的应用协方差和相关系数在统计学和金融学中有广泛的应用。

在统计学中，协方差和相关系数可以用于分析两个变量之间的关系，例如，研究营销活动对销售额的影响、人口数量与经济发展的关系等。

在金融学中，协方差和相关系数常用于评估不同投资资产之间的风险和收益之间的关系，以帮助投资者进行资产配置和风险控制。

协方差与相关系数的关系相关系数在

协方差与相关系数的关系相关系数在

协方差公式：
Covi,j i,j E(ri ri )(rj rj)
相关系数公式：
i, j

i,j i j
2
课堂例题
例3：I,J公司各种情况下的收益预测及其概率
经济状况 发生概率 ri
rj
萧条
0.10
-15%
10%
衰退
0.20
10%
20%
正常
0.50
20%
-2%
繁荣
0.20
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256
该组合的标准差为0.16。 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
9
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
10
3 CAPM法中的贝塔系数求解
资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率
E(r)与其市场风险β之间的关系为：
E(r) rf (E(rm ) rf )
资本资产定价模型的假设条件
• 所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期 望收益和标准差为基础进行组合选择。
股标价格产生影响。
11
课堂问题
问题四： 贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否
可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
12
β ，β到底是多少？
目前公开渠道查找β包括：
yahoo! CNN Money Wall Street Research Net()。
例5：J股票历史已获得收益率以及市场历史已获得 收益率的有关资料如表所示。

协方差与相关系数

协方差与相关系数

其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,

相关系数和协方差的计算公式

相关系数和协方差的计算公式

相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关联程度。

相关系数是一个介于-1到1之间的数值，用来衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。

协方差则是一个描述两个变量之间关系的统计量。

相关系数的计算公式如下：
相关系数 = 协方差 / (变量1的标准差 * 变量2的标准差)
其中，协方差的计算公式如下：
协方差= Σ((变量1的值 - 变量1的均值) * (变量2的值 - 变量2的均值)) / 样本数
相关系数和协方差的计算公式可以帮助我们衡量两个变量之间的关联程度。

相关系数的取值范围为-1到1，当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在强负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性关系。

协方差的取值范围为负无穷到正无穷，协方差的正负表示了两个变量之间的关系方向。

当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。

通过计算相关系数和协方差，我们可以得出两个变量之间的关联程度。

这些概念和计算公式在统计学和数据分析中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释变量之间的关系，从而做出更准确的预测和决策。

无论是在科学研究、经济分析还是市场营销等领域，相关系数和协方差都是非常重要的工具。

通过运用相关系数和协方差的计算公式，我们可以更好地理解数据背后的规律和趋势，从而做出更明智的决策。

相关系数和协方差的关系

相关系数和协方差的关系

相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。

2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。

其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。

二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。

单个资产是没有相关系数和协方差之说的。

2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。

3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。

（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。

总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。

两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。

协方差与相关系数

协方差与相关系数
f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y )
独立， 独立时， 简言之， 即 X 与 Y 独立，反之 X 与 Y 独立时，必有 ρ = 0 ，简言之， 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。
例 设 ( X , Y ) 的分布密度为
1 π f ( x, y) = 0
= E[( X − E ( X ))(( aX + b ) − E ( aX + b ))]
= aE ( X − E ( X ))2 = aD( X )
ρ 2 XY
[cov( X , Y )] a 2 [ D( X )]2 = = 2 =1 2 D( X ) D(Y ) a [ D( X )]
相关程度的量， 相关系数 ρ XY 是 衡量 X 与 Y 之间线性 相关程度的量 ，
第三节 协方差与相关系数
一． 协方差
X 与 Y 的协方差记作 cov( X , Y ) ，定义为
cov( X , Y ) = E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))] = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
独立时， 当 X 与 Y 独立时，有
cov( X , Y ) = 0
ρ XY = 1, 时， X 与 Y 线性相关； ρ XY > 0 ， Y 随 X 增大而增 线性相关；
增大而减小——负相关； ——负相关 大——正相关； XY < 0 ， Y 随 X 增大而减小——负相关； ——正相关； 正相关 ρ ， 之间毫无线性关系， 不相关， ρ XY = 0 ， X 与 Y 之间毫无线性关系，称 X 与 Y 不相关 ， 但可存在其它关系，例如二次关系： 但可存在其它关系，例如二次关系： Y = X 2 ( X ∼ N (0,1)) 设 ( X , Y ) ∼ N ( µ1 , µ2 , σ 12 , σ 12 , ρ ) 则 ρ XY = ρ 且当 ρ = 0 时，有

协方差和相关系数的关系

协方差和相关系数的关系

协⽅差和相关系数的关系
⽅差：
度量单个随机变量的离散程度，公式如下：
⽅差表⽰⼀位数据数据的离散程度，数值越⼤说明离均值的差距越⼤，越离散
协⽅差：
度量两个随机变量（变化趋势）的相似程度，定义如下：
协⽅差表⽰⼆维数据，表⽰两个变量在变化的过程中是正相关还是负相关还是不相关
正相关，你变⼤的同时，我也变⼤，说明变量是同向变化，这时候协⽅差就是正的
负相关，你变⼤的同时，我变⼩，说明变量两个变量是反向变化的，这时候协⽅差就是负的从数值来看，协⽅差的数值越⼤，两个变量的同向程度也就越⼤，反之亦然
相关系数。

由协⽅差的概念相关系数，其定义如下:
就是⽤X、Y的协⽅差除以X的标准差和Y的标准差。

协方差及相关系数及其性质

协方差及相关系数及其性质

3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一个 无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立
协方差及相关系数及其性质
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立 D( X Y ) ?
D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2 D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
例1
设
( X ,Y
)
~
N
(
μ1
,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ),
试求
X
与Y
的
相关系数.
解 由 f (x, y)
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1 exp2(1 ρ2 )
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
x
μ1)( y σ1σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2σ12
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).

协方差标准差相关系数

协方差标准差相关系数

协方差、标准差和相关系数是统计学中常用的三个概念，它们用于描述两个或多个变量之间的关系。

1.协方差：协方差是衡量两个变量同时变化趋势的指标。

如果两个变量同时上
升或下降，协方差为正；如果一个变量上升而另一个下降，协方差为负。

协方差的绝对值越大，说明两个变量之间的关联度越高。

2.标准差：标准差是变量值离散程度的度量。

它表示数据点相对于平均值的分
散程度。

标准差越大，说明数据点越分散；标准差越小，说明数据点越集
中。

3.相关系数：相关系数是衡量两个变量线性关系的强度和方向的指标。

它的值
介于-1和1之间。

如果相关系数为1，表示两个变量完全正相关；如果相关系数为-1，表示两个变量完全负相关；如果相关系数为0，表示两个变量没有线性关系。

在实际应用中，协方差和相关系数可以用于判断两个变量之间的关联程度和方向，而标准差则可以用于评估数据的离散程度和稳定性。

关于协方差与相关系数的两个证明

关于协方差与相关系数的两个证明

cov xnew, ynew var xnew var ynew
cov xnew, ynew
通过结论 1）可以证明：标准化后的变量的协方差就是原变量的相关系数
cov xnew, ynew
n
xnew xnew ynew ynew
n i 1 i i
n 1
x x yi y n i xi x yi y var x var y i 1 1 i 1 n 1 n 1 var x var y
2
n 1 n xi x 1 xi x n 1 i 1 var x n 1 var x i 1


2


2
x x
n i 1 i
2

n 1 var x

var x 1 var x
the _ same : var ynew 1
1 n 1 n x , y yi i n n i 1 i 1
1 n 1 n var x xi x , var y yi y n 1 i 1 n 1 i 1
可以得到以下两个结论： 1）标准化后的变量的均值为 0


2


2
x j nx 1 n 1 n xj x 1 j 1 xnew xnew j 0 n j 1 n j 1 var x n var x



x x y y
n i 1 i i
n 1 var x var y

cov x, y var x var y

随机变量的方差、协方差与相关系数

随机变量的方差、协方差与相关系数
随机变量的方差、 协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。

协方差及相关系数

协方差及相关系数
+∞
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q

协方差与相关系数的区别

协方差与相关系数的区别

协方差与相关系数的区别在统计学和数据分析中，协方差和相关系数是两种重要的概念，广泛应用于大数据分析、金融投资、市场研究等多个领域。

尽管这两者常常被提及且在某些方面具有相似性，但它们在定义、计算方法以及解释上的差异却非常显著。

本篇文章将深入探讨协方差与相关系数的区别，为读者提供清晰的理解。

一、定义1.1 协方差协方差是用于衡量两个随机变量之间的关系强度和方向的统计量。

具体而言，它表征了两个变量共同变动的趋势。

协方差的值可以为负、零或正：正协方差：当一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加，表示两变量趋于同向。

负协方差：当一个变量增加时，另一个变量倾向于减少，表示两变量趋于反向。

零协方差：表示两个变量没有任何线性关系。

协方差的计算公式为：[ (X, Y) = _{i=1}^{n} (X_i - {X})(Y_i - {Y}) ]其中 (X) 和 (Y) 为两个随机变量，({X}) 和 ({Y}) 分别为其均值，(n) 为样本大小。

1.2 相关系数相关系数是标准化的协方差，用于量化两个随机变量之间线性关系的强度和方向。

最常用的相关系数是皮尔逊相关系数，其取值范围在-1到1之间：1 表示完全正相关；-1 表示完全负相关；0 表示没有线性关系。

皮尔逊相关系数的计算公式为：[ r = ]其中 (_X) 和 (_Y) 分别为随机变量 (X) 和 (Y) 的标准差。

二、单位和范围两者的单位完全不同，且这一点也是协方差与相关系数之间一个显著的区别。

2.1 协方差的单位由于协方差是两个变量乘积的平均值，其单位由两个变量的单位决定。

例如，如果 (X) 的单位是米，(Y) 的单位是秒，那么其协方差的单位就是米·秒。

这也使得协方差难以进行直接比较，因为不同数据集中的单位不一致很可能导致不同的结果。

2.2 相关系数的范围与协方差不同，相关系数是一种无量纲的统计量，经过标准化，所以其值始终位于[-1, 1]区间之内。

皮尔森相关系数与协方差矩阵的关系

皮尔森相关系数与协方差矩阵的关系

皮尔森相关系数与协方差矩阵的关系1. 概述在统计学中，皮尔森相关系数和协方差矩阵是两个常用的概念，它们用于衡量和描述两个变量之间的关系。

在数据分析和金融领域，这两个概念被广泛应用，以帮助人们理解数据之间的关联性和相互影响。

本文旨在探讨皮尔森相关系数与协方差矩阵的关系，以便更好地理解它们的应用和意义。

2. 皮尔森相关系数的定义皮尔森相关系数，又称为皮尔森积差相关系数，是最常用的一种相关系数。

它用于衡量两个变量之间的线性相关性，取值范围在-1到1之间。

当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。

3. 皮尔森相关系数的计算公式皮尔森相关系数的计算公式为：\[r = \frac{n\sum{XY} - \sum{X}\sum{Y}}{\sqrt{(n\sum{X^2} - (\sum{X})^2)(n\sum{Y^2} - (\sum{Y})^2)}}\]其中，n为样本量，X和Y分别为两个变量的取值，\(\sum{XY}\)为X 和Y的乘积之和，\(\sum{X}\)和\(\sum{Y}\)分别为X和Y的总和，\(\sum{X^2}\)和\(\sum{Y^2}\)分别为X和Y的平方和。

4. 协方差矩阵的定义协方差矩阵是一个正定对称矩阵，它描述了多个变量之间的协方差关系。

对于n维随机变量X=(X1, X2, ..., Xn)，其协方差矩阵为一个n×n 的矩阵，记作Σ，其中第(i,j)个元素表示变量Xi和Xj的协方差。

5. 协方差矩阵的计算公式假设X为一个n×m的数据矩阵，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个变量，则X的协方差矩阵Σ的计算公式为：\[Σ = \frac{1}{n-1}(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})\]其中，\(\bar{X}\)为X的均值向量，T表示矩阵转置。

概率论与数理统计：4-3协方差及相关系数

概率论与数理统计：4-3协方差及相关系数
CovX ,Y EX EX Y EY EX EX EY EY 0.
协方差的计算公式
1 CovX ,Y EXY EX EY 2 DX Y DX DY 2CovX ,Y .
性质
1. CovX ,Y CovY , X . 2. CovaX ,bY abCovX ,Y . a ,b为常数. 3. CovX1 X2 ,Y CovX1,Y CovX2 ,Y .
易知E(X)=0,E(Y)=5/2,E(XY)=0,于是 xy 0,
X,Y不相关.这表示X,Y不存在线性关系.
但,P{X=-2,Y=1}=0 P{X=-2}P{Y=1},知X,Y不
是相互独立的.事实上,X和Y具有关系:Y=X2,Y 的值完全可由X的值所确定.
例2
设X ,Y ~
N
1
,
2
,
2 1
2
1 2
1
2tu
1 2u2
u2 t2
e 2 2 dtdu
1 2 2
u2e
u2 2
du
e
t2 2
dt
1
2
1
2
2
ue
u2 2
du
te
t2 2
dt
1 2 2 2 , 2
故有 CovX ,Y 1 2 .
于是
XY
CovX ,Y DX DY .
得出结论
二维正态分布密度函数中,参数代表了X与Y
协方差及相关系数
协方差与相关系数的概念及性质 相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及 性质
提出问题
若随机变量X和Y相互独立
DX Y DX DY 若随机变量X和Y不相互独立 DX Y ?
DX Y EX Y 2 EX Y 2 DX DY 2EX EX Y EY .

平面向量的协方差和相关系数

平面向量的协方差和相关系数

平面向量的协方差和相关系数在平面向量的研究中，协方差和相关系数是两个重要的概念。

本文将详细介绍平面向量的协方差和相关系数，并探讨它们在实际应用中的意义。

一、协方差协方差（covariance）是衡量两个随机变量之间关系的统计量。

在平面向量的情境下，我们可以用协方差来描述两个向量之间的相关性。

设有两个平面向量a和b，分别表示为：a = (a1, a2)b = (b1, b2)那么a和b的协方差可以表示为：cov(a, b) = E[(a1-μ1)(b1-μ2)] + E[(a2-μ1)(b2-μ2)]其中，E表示期望（即平均值），μ1和μ2分别表示a和b的均值。

协方差的值可以有正负之分，正值表示a和b呈正相关关系，负值表示a和b呈负相关关系，而接近于0的值则说明a和b之间没有线性关系。

二、相关系数相关系数（correlation coefficient）是协方差的一种标准化形式，用于衡量两个变量之间的线性关系强度。

相关系数的取值范围在-1到1之间。

对于平面向量a和b，它们的相关系数可以表示为：ρ(a, b) = cov(a, b) / (σa * σb)其中，σa和σb分别表示a和b的标准差。

相关系数的值为正时，表示a和b呈正相关关系；为负时，表示a和b呈负相关关系；接近于0时，表示a和b之间没有线性关系。

三、协方差和相关系数的应用1. 金融领域：协方差和相关系数在投资组合优化中起到重要作用。

根据不同资产的协方差和相关系数，可以评估风险和回报之间的关系，进而选择最佳的投资组合。

2. 统计分析：在统计学中，协方差和相关系数用于分析变量之间的关系。

可以通过分析数据集中变量的协方差和相关系数，来判断它们之间的关联程度，从而帮助进行预测和决策。

3. 数据挖掘：在大数据分析中，协方差和相关系数可以用于发现数据中隐藏的模式和关系。

通过分析变量之间的协方差和相关系数，可以找到变量之间的依赖关系，并为数据挖掘算法提供指导。

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现得越来越强烈。就有 lim Cov(X,Y)= ，X 与 Y 间是完全负相关的。 n
又由于 Corr( X ,Y ) =－1，表明 X 与 Y 间是完全负相关的。其实，这个结论早就蕴含在
线性关系式 X+Y=n 之中了。 综上，就说明：在某种情况下，协方差和相关系数在反映 X 与 Y 间的关联程度时保持
一致性。若是这样的话，研究相关系数似乎有点多余了。因为，我们已经有一个可以反映 X 与 Y 间的关联程度的量了（即协方差），那我们能否找出相关系数更优秀的地方呢？ 3 协方差与相关系数的“矛盾性”
Corr(X ,Y ) 越接近 1，则线性相关程度越高； Corr(X ,Y ) 越接近 0，则线性相关程度
·当 Cov(X,Y)=0 时，称 X 与 Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量 X 与 Y 相互关联程度的一个特征数。协 方差 Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如 X 表示人的身高，单位是米(m)，Y 表示人的体重，单 位是公斤(kg)，则 Cov(X,Y)带有量纲(m·kg)。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同 量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下：
设（X ，Y）是一个二维随机变量，且Var( X ) >0,Var(Y ) >0.则称
Cov( X ,Y )
Cov( X ,Y )
Corr( X ,Y ) =
=
Var( X ) Var(Y ) x y
为 X 与 Y 的（线性）相关系数。
利用施瓦茨不等式我们不难得到-1 Corr( X ,Y ) 1.也就是说相关系数是介于-1 到 1
当程度的正相关；但从相应的协方差 Cov( X ,Y ) =0.0471 看，X 与 Y 的相关性很微弱，几
乎可以忽略不计。造成这种错觉的原因在于没有考虑标准差，若两个标准差都很小，即使协 方差小一些，相关系数也能显示一定程度的相关性。由此可见，在协方差的基础上加工形成 的相关系数是更为重要的相关性的特征数。
=3
由此得
Corr(U ,V ) =
Cov(U ,V )
3 3
==
Var(U ) Var(V ) 5 5
服从参数为 的泊松分布中得 >0，由协方差 Cov(U,V)=3 是恒大于 0 的，再由相关
系数 Corr(U ,V ) = 3 ，就很好的说明协方差与相关系数均可以反映二维随机变量关联程度。 5
我们再看下一个例题，看能否能出这个结论呢？
例二 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，试求 X
和 Y 的协方差和相关系数。
解：因为 X+Y=n，且 X～b（n，1/2），Y～b（n，1/2），所以
Var (X) =Var (Y)= n ， 4
Cov(X,Y)=Cov(X ,n－X)=－Cov(X,X)=－ n 4
例一 设随机变量 X 和 Y 独立同服从参数为 的泊松分布，令
U=2X+Y，
V=2X-Y。
求 U 和 V 的协方差及相关系数。
解：因为
Var(U ) =Var (2X+Y)=5 ，Var (V)=Var (2X-Y)=5 .
所以
Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y) =Cov(2X,2X)+Cov(Y,2X)-Cov(2X,Y)-Cov(Y,Y)
负相关。
·若 0< Corr(X ,Y ) <1，则称 X 与有“一定程度”的线性关系。
2 协方差与相关系数的一致性
从协方差与相关系数的定义和性质我们不难发现，协方差与相关系数都是反映 X 与 Y
相关程度的量。也就是说，他们有异曲同工之效。在刻画二维随机变量两个分量间相互关联
程度时，他们保持了一致性。这一点我可以给出以下两个例子来说明。
广泛应用。本文的目的在于从协方差与相关系数的关系的角度去探讨协方差与相关系数的优 缺点，并具体介绍协方差和相关系数这两个描述二维随机变量间相关性的特征数。
关键字：协方差 Cov( X ,Y ) 相关系数 Corr( X ,Y ) 相互关联程度
1 协方差、相关系数的定义及性质
设（X ，Y）是一个二维随机变量，若 E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }存在，则称此数学期望
参考文献
[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2004
[2] 董永权，王占民.关于相关系数 的几点注释.唐山 063000
[3] 谢明文，关于协方差、相关系数与相关性的关系.四川成都 610074
Corr( X ,Y ) =
Cov( X ,Y ) = n 4 =－1
Var( X ) Var(Y )
n 4
我们假定 n=1，Cov(X,Y)= 1 ；n=100，Cov(X,Y)=－25；n=10000，Cov(X,Y)=－2500…… 4
我们可以得出，随着 n 的增大，协方差 Cov(X,Y)就越来越小，随之 X 与 Y 的负相关性就表
Var(X ) 、Var(Y ) 及 E( XY) 。
最后得协方差和相关系数为
Cov(X ,Y ) = E(XY) － E(X ) E(Y ) =0.0471
Cov( X ,Y )
Corr( X ,Y ) =
=0.8243
x y
这个协方差很小，但其相关系数并不小。从相关系数 Corr( X ,Y ) =0.8243 看，X 与 Y 有相
之间的，并且可以对它作以下几点说明：
·若 Corr( X ,Y ) =0，则称 X 与 Y 不相关。不相关是指 X 与 Y 没有线性关系，但也有
可能有其他关系) =1，则称 X 与 Y 完全正相关；若 Corr( X ,Y ) =-1，则称 X 与 Y 完全,
为 X 与 Y 的协方差，并记为 Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }，特别有 Cov(X,X)=Var( X ) 。
从协方差的定义可以看出，它是 X 的偏差“X-E(X) ”与 Y 的偏差“Y-E(Y)”的乘积的 数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下：
·当 Cov(X,Y)>0 时，称 X 与 Y 正相关，这时两个偏差 [ X-E(X) ] 与[ Y-E(Y) ] 同时增 加或同时减少，由于 E(X)与 E(Y)都是常数，故等价于 X 与 Y 同时增加或同时减少，这就是 正相关的含义。
·当 Cov(X,Y)<0 时，称 X 与 Y 负相关，这时 X 增加而 Y 减少，或 Y 增加而 X 减少， 这就是负相关的含义。
越低。而协方差看不出这一点。若协方差很小，而其两个标准差 X 和 Y 也很小，则其比
值就不一定小，下面我们来看实例。 例三 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
p(x, y)
8,0 x y0.5,0 x, y1; 3 0, 其他
求 X,Y 的协方差及相关系数。
解：先计算两个边际密度函数，再分别计算 E( X ) 、 E( X 2 ) 、 E(Y ) 、 E(Y 2 ) 、
探究协方差与相关系数
罗燕
摘要：协方差 Cov( X ,Y ) 是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数，如
果 将 协 方 差 相 应 标 准 化 变 量 就 得 到 相 关 系 数 Corr( X ,Y ) 。 从 而 可 以 引 进 相 关 系 数
Corr( X ,Y ) 去刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度。且事实表明，相关系数明显被