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概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念：1、事件的运算律：交换律：，；结合律：，；分配律：，；德·摩根法则：，；减法运算：。
2、概率的性质：性质1；性质2（有限可加性）当个事件两两互不相容时，；性质3对于任意一个事件，；性质4当事件满足时，，；性质5对于任意两个随机事件，；性质6对于任意一个事件；性质7（广义加法法则）对于任意两个事件，。
3、条件概率：在已知发生的条件下，事件的概率为：（）。
注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。
4、全概率公式与贝叶斯公式：设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当（）时，全概率公式：；贝叶斯公式：当时，，。
应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组，使得能且仅能与之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出和，，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。
若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。
5、随机事件的独立性：事件独立性的结论：（1）事件与独立；（2）若事件与独立，则与，与，与中的每一对事件都相互独立；（3）若事件与独立，且，，则，；（4）若事件相互独立，则；（5）若事件相互独立，则。
注意：（1）事件相互独立只要求满足，而事件互斥（互不相容）只要求，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件相互独立，则与不相关，反之一般不成立。
（3）对于任意个随机事件，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意个相互独立的随机事件，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：与，与，与都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件发生的概率为，则重贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为，。
协方差和相关系数
对二维随机变量),(Y X ，我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还
需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。
§ 协方差和相关系数 协方差的定义与性质
定义 设(,)X Y 是二维随机变量.若{[()][()]}E X E X Y E Y --存在,则称它为随
机变量
X 与Y 的协方差,记为Cov(,)X Y ,即
Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--.
常用下面的式子计算协方差
Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--()()()E XY E X E Y =-.
注：（1）X 与Y 的协方差),(Y X Cov 实质上是二维随机变量X 与Y 的函数
)]([()]([(Y E Y X E X -⋅-的期望，它是一个常数。
（2）当),(Y X 为二维离散型随机变量时，其分布律为
}{),2,1,,2,1(,, =====j i y Y x X P P j i ij ，则
ij i i j
i P Y E y X E x Y X Cov )]()][([),(1
1
--=
∑∑∞=∞
=；
（3）当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数，则dxdy y x f Y E y X E x Y X Cov ),())(())((),(--=
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-。
（4）利用期望的性质可得到协方差有下列计算公式：
)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=
证明：
)
()()( )()()()()()()( )]
()()()([ )]
())(([(),(Y E X E XY E Y E X E Y E X E Y E X E XY E Y E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=+--=+--=--=
此公式是计算协方差的重要公式，特别地取Y X =时，有
)()]())(([(),(X D X E X X E X E X X Cov =--=，易见，方差是协方差的特例，协
方差是方差的推广。
例4.39 已知),(Y X 的联合分布律为
求),(Y X Cov 。
解：X 的边缘分布：
Y 的边缘分布：
8.08.012.00)(2
1=⨯+⨯==
•
=∑i i
i p x X E ，
1.01.019.00)(21
=⨯+⨯==
•
=∑j i
i p y Y E ，
0118.0011.0101.000)(21
2
1
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
∑∑==ij i j j
i p y x XY E 08.01.08.00)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov 一般讲，)()
()(Y E X E XY E ≠ 例4.40 已知二维随机变量),(Y X 的分布律为
求Cov(,)X Y .
解 易知,
X
的分布律为
{0}0.4P X ==, {1}0.25P X ==, {2}0.35P X ==.
Y 的分布律为
{1}0.5P Y =-=, {0}0.3P Y ==, {2}0.2P Y ==.
因而 ()00.410.2520.350.95E X =⨯+⨯+⨯=,
()(1)0.500.320.20.1E Y =-⨯+⨯+⨯=- ()0(1)0.15000.25020E XY =⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯1(1)0.15100.05+⨯-⨯+⨯⨯+120.05⨯⨯
2(1)0.2200220.15+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯0.15=.
于是 Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-0.150.95(0.1)0.245=-⨯-=.
例4.41 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
01,01,
(,)0x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨
⎩，，
其他, 求 Cov(,)X Y . 解 因为
11
00
()(,)d d ()d d E X x f x y x y x x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
=⋅=⋅+⎰
⎰
⎰
⎰
1
017
()d 212
x x x =+=⎰, 11
00
()(,)d d ()d d E Y y f x y x y y x y x y +∞+∞
-∞
-∞
=
⋅=⋅+⎰⎰
⎰
⎰
1017()d 212
y y y =+=⎰
11
001()(,)d d ()d d 3
E XY xyf x y x y xy x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
==⋅+=
⎰
⎰
⎰
⎰ 所以
Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-.1441
12712731-=⨯-
=
例4.42 设),(Y X 服从在D 上的均匀分布，其中D 由X 轴、Y 轴及1=+y x 所围成，
求X 与Y 的协方差 ),(Y X Cov 。
解：∵D 的面积为2
1
=
S ⎩
⎨⎧∈=∴其他,0),(,2),(D
y x y x f
3
1)22(2)(10
2
1010=-==
⎰⎰⎰-dx x x xdydx X E x
3
1
)1(2)(1021010=-==⎰⎰⎰-dx x ydydx Y E x
12
1
)2()1(2)(1
322
1
1010
=
+-=-==
⎰⎰⎰⎰
-dx x x x dx x x xydydx XY E x
, 36
1
3131121)()()(),(=
⨯-=
-=Y E X E XY E Y X Cov 协方差的性质： 性质1 Cov(,)
Cov(,)X Y Y X =.
性质2
2
Cov(,){[()]}()X X E X E X D X =-=
.
性质3 Cov(,)
Cov(,)aX bY ab X Y =,其中,a b 为任意常数.
性质4 Cov(,)0c X =, c 为任意常数.
性质5 Cov()Cov(,)Cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+，. 性质6 ()()()2Cov(,)D X
Y D X D Y X Y ±=+±.
例 4.43设随机变量
X ～)5.0,
12(B ，Y ～)1,0(N ，1),(-=Y X Cov ，求134++=Y X V 与Y X W 42+-=的方差与协方差。
解：3)5.01(5.012)1()(,65.012)(=-⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E
1)(,0)(2====σμX D Y E
33),(24)(9)(16)134()(=++=++=Y X Cov Y D X D Y X D V D
44),(16)(16)(4)42()(=-+=+-=Y X Cov Y D X D Y X D W D
22
)(12),(6),(16)(8 )
42,134(),(-=+-+-=+-++=Y D X Y Cov Y X Cov X D Y X Y X Cov W V Cov。
