重难点专项突破：二次函数综合（5种题型）【题型细目表】 题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、解答题【答案】（1）()1,0B b +；（2）b =【分析】（1）根据A 、B 两点关于二次函数的对称轴对称，求得点B 的坐标；（2）根据A 的坐标，求出,b c 的关系式，根据平移求出B '的坐标，代入二次函数，求得b 值．【详解】解（1）∵2y x bx c =−++∴对称轴：直线22b b x a =−= ∴2122b AB b ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭∵A 点横坐标为－1∴()1,0B b +（2）把()1,0A −代入2y x bx c =−++ 得：10b c −−+=，即1c b =+∵平移线段CB ，使C 与D 重合点∴B 平移后得点31,12b B b ⎛⎫+−− ⎪⎝⎭ ∵点B 在抛物线上 ∴233111122b b b b b ⎛⎫⎛⎫−+++++=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b = ∵0b >∴b =【点睛】涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+−经过点A （－1，0），B （5，0）．(1)求抛物线的表达式．(2)过点C （0，m ）作直线l x ∥轴交抛物线于点P ，Q （点P 在点Q 的左侧），若3QC PC =，求m 的值．【答案】(1)2312355y x x =−− (2)215． 【分析】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线表达式进行计算即可解答；（2）根据已知QC=3PC ，可设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），然后代入（1）中二次函数表达式即可解答．【详解】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线y=ax2+bx-3中可得：3025530a b a b −−⎧⎨+−⎩＝＝，解得：35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：2312355y x x =−−；（2）∵PQ ∥x 轴，QC=3PC ，∴设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），把点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ）代入2312355y x x =−−中可得：223123552736355n n m n n m ⎧+−=⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩，解得：2215n m =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴m 的值为215．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．(1)求抛物线1P 的对称轴和点(2)求线段AB 和CD 的长度．【答案】(1)对称轴=1x −；点A 的横坐标是-3(2)7AB =；7CD =【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A ，E 关于对称轴x=-1对称和点E 的横坐标直接求出点A 的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B 的坐标，从而求得AB 的长，把1x =分别代入两个函数表达式，求得7m n −=−，从而求得CD 的长．【详解】（1）抛物线1P 的对称轴12b x a =−=−∵点A 与点E 关于直线=1x −对称，且点E 的横坐标是1∴点A 的横坐标是3−（2）抛物线2P 的对称轴522b x a =−= ∵点B 与点E 关于直线52x =对称，且点E 的横坐标是1 ∴点B 的横坐标是4∴()437AB =−−=把1x =分别代入两个函数表达式，得1215m n ++=−+即7m n −=−由题意，当0x =时，D y n =，C y m =．∴7CD n m =−=【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A 与点E 关于对称轴x=-1对称，点B 与点E 关于对称轴52x =对称． 4．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数l 1：y ＝x 2+6x +5k 和l 2：y ＝kx 2+6kx +5k ，其中k ≠0且k ≠1．(1)分别直接写出关于二次函数l 1和l 2的对称轴及与y 轴的交点坐标；(2)若两条抛物线l 1和l 2相交于点E ，F ，当k 的值发生变化时，判断线段EF 的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在（2）中，若二次函数l 1的顶点为M ，二次函数l 2的顶点为N ；①当k 为何值时，点M 与点N 关于直线EF 对称？②是否存在实数k ，使得MN ＝2EF ？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)l1的对称轴为x ＝﹣3，和y 轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标(0，5k)(2)不发生变化，见解析(3)①k 为﹣1；②73或﹣13【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）可令y1＝y2，求出点E 、F 的横坐标，从而得到点E 、F 的坐标，进行得到EF 的长，就可解决问题；（3）易得点M 、N 的坐标及直线EF 的关系式，然后根据条件建立关于k 的方程，就可解决问题．（1）解：二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得：l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）解：线段EF 的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k ＝kx2+6kx+5k ，整理得：（k ﹣1）（x2+6x ）＝0．∵k≠1，∴x2+6x ＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E 在点F 的左边，则点E 的坐标为（﹣6，5k ），点F 的坐标为（0，5k ），∴EF ＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF 的长度不发生变化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k ＝（x+3）2+5k ﹣9得M （﹣3，5k ﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k ＝k （x+3）2﹣4k 得N （﹣3，﹣4k ）．∵直线EF 的关系式为y ＝5k ，且点M 与N 关于直线EF 对称，∴﹣4k ﹣5k ＝5k ﹣（5k ﹣9），解得：k ＝﹣1，∴当k 为﹣1时，点M 与N 关于直线EF 对称；②∵MN ＝|（5k ﹣9）﹣（﹣4k ）|＝|9k ﹣9|，MN ＝2EF ＝12，∴|9k ﹣9|＝12，解得k1＝73，k2＝﹣13，∴实数k 为73或﹣13．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值． (1)求抛物线的解析式及顶点(2)判断ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点【答案】(1)抛物线的解析式为：213222y x x =−−；325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (2)ACB △是直角三角形(3)35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：(4)存在，()2,3P −【分析】（1）根据点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上，解出b ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点D 的坐标；（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点B 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；（3）当点M 在BC 与对称轴的交点上，根据点A ，点B 是对称点，连接AM ，则AM BM =且A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，求出BC 的解析式，则得到点M 的坐标，即可；（4）以BC 为底，则12CPB S BC h =，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大如图所示，作直线l BC ∥,当直线l 与抛物线132222y x x =−−仅有一个交点时，h 最大，交点即为点P ．【详解】（1）∵点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上， ∴1022b =−−， ∴32b =−， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =−−； ∵顶点坐标公式为：42,24bac b a a −⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭．∴抛物线的解析式为：2122y x =−；325,28D⎛⎫− ⎪⎝⎭．（2）∵抛物线213222y x x =−−与y 轴交于点C ，∴0x =，=2y −，∴2OC =， ∵抛物线213222y x x =−−与x 轴交于点A ，点B ， ∴2130222x x =−−，∴=1x −，4x =，∴点()4,0B ，∴1OA =，4OB =，5AB =，∵2225AC OA OC =+=；222222420BC OC OB =+=+=；225AB =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 是直角三角形．（3）∵点A ，点B 是对称点，点M 在BC 与对称轴的交点上，∴AM BM =此时A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，ACM C AC BC =+=设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，∴042k b b =+⎧⎨−=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴122y x =− 当32x =时，1352224y =⨯−=−， ∴点35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭；∴点M 的坐标为35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：（4）存在，理由如下：∵以BC 为底， ∴12CPB S BC h =⨯，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大，作直线l BC ∥，且与213222y x x =−−仅有一个交点，设直线l 的解析式为y kx b =+，∵l BC ∥，∴12k =，即12y x b =+，∵直线l 与213222y x x =−−仅有一个交点， ∴21312222x x x b −−=+仅有一个实数根， ∴()144202b −⨯⨯−−=，解得4b =−，∴直线l 的解析式为：1y x 42=−， 由214213222y x y x x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−−⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=−⎩， ∴点()2,3P −．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．【答案】(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解【分析】（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；（2）联立二次函数的解析式与一次函数的解析式，求出方程组的解即可；（3）表示出MN 的长度再利用函数最值求出范围即可得出结论【详解】解：（1）证明：二次函数2221(1)1y ax ax a a x =++−=+−， 顶点坐标为()1,1−−，把()1,1−−代入，1y ax a =+−中左边=-1，右边=-1∴左边=右边，∴二次函数图象的顶点必在一次函数1y ax a =+−的图象上；（2）联立解析式得：2211y ax ax a y ax a ⎧=++−⎨=+−⎩，解得x=0 或x=-1当x=0时，y=a-1 坐标为（0，a-1）当x=-1时，y=-1坐标为（-1，-1）∴交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）（3）证明：由题意可知2(,21)M m am am a ++−，(,1)N m am a +−由（2）可知，当a ＞0时，-1＜x ＜0有221ax ax a ++−＜1ax a +−∴221(21)MN am a am am a am am =+−−++−−−= =21()24a a m −++ 当10m −≤≤时，04a MN ≤≤∵02a <≤ ∴102MN ≤≤ 【点睛】二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与一次函数交点确定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B −．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MNy 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1−，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5−−；（2）①(2,3)−；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入2y x bx c =++，得5,2550.c b c =−⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =−⎧⎨=−⎩,b c ∴的值分别为4,5−−．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =−⎧⎨+=⎩，解得1,5.k n =⎧⎨=−⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =−．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =−=−．∴点M 的坐标是(2,3)−．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =−+−， //MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m −．∵点P 的横坐标为1,−∴点P 的坐标是()21,6m m −−，设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =−轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m −−．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤52(1)62PQ m m =−−−=−，()22396MN m m =−−−=−，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =−+=−10PE MN +=Q ，∴26610m m −+−=，解得12m =−（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m ≤时，26,6PE m MN m =−=−，10PE MN +=Q ，26610m m ∴−+−=，解得1m =（舍去），2m =（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==−，10PE MN +=Q ，2610m m ∴+−=，解得1m =（舍去），2m =．综上所述，m 的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线2y x bx c =−++经过()()1,0,3,0A B −两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F )，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)【答案】（1）223y x x =−++；（2）存在，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，得到PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，求出a 即可；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，求出OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，求出a 即可；（3）做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F ，此时点P 运动的总路程最短，由勾股定理求出M C ''=即可求出点P 运动的路径得到答案．【详解】解：（1）将()()1,0,3,0A B −代入2y x bx c =−++，得10930b c b c −−+=⎧⎨−++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴该抛物线的函数表达式是223y x x =−++；（2）存在．①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵OB=OC ，∠BOC=90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC 为等腰直角三角形，即PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，解得121,0a a ==（舍去），此时2234a a −++=，∴P （1,4）；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ， ∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG 为等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，解得122,3a a =−=（舍去），此时2235a a −++=−，∴P （-2，-5）；综上，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）如图3，做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F∴,ME M E CF C F ='='∵ME EF CF M EF C F M C ++='E++'=''此时点P 运动的总路程最短∵点M 为OC 的中点，C （0，3）∴3(0,)2M ∴3(0,)2M '− ∵2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C （0,3）∴(2,3)C '9 22MC CC ='=∴∴M C ''===， ∴点P运动的路径，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．题型二：面积问题一、解答题1．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B −，与y 轴交于点C ．【答案】(1)2222y x x =−++(2)存在，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系数法解答；（2）设D （x ，y ），根据题意及利用三角形面积列出方程，求出y 的值后代入抛物线的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC 的长，再根据勾股定理逆定理证明ABC 为直角三角形，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由平行线分线段成比例解得FM 的长，求得点F 的坐标，最后根据两点间的距离公式解答．【详解】（1）解：把点()()1040，，，A B −代入抛物线22y ax bx =++得2016420a b a b −+=⎧⎨++=⎩，1232a b ⎧=−⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ ∴213222y x x =−++（2）由题意可知(0,2),(1,0),(4,0)C A B −5,2AB OC ∴==1152522ABC S AB OC ∴=⋅=⨯⨯=23ABC ABD S S =△△ 315522ABD S ∴=⨯= 设D （x ，y ），11155222AB y y ∴⋅=⨯=3y ∴=当y=3时，由2132322x x −++=，解得：1x =或2x =此时点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；当y=-3时，由2132322x x −++=−，解得：5x =或2x =−（舍去） 此时点D 的坐标为（5，-3）；综上所述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）1,2,4,5AO OC OB AB ====AC BC ∴===222AC BC AB ∴+=ABC ∴为直角三角形，即BC AC ⊥如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意得：45FBC ∠=︒CF BC ∴==OC FMAO AC OM CF ∴=1OM2OC AC OM FM AF ∴==2FM ∴6FM ∴=(2,6),(4,0)F B ∴BF ∴==【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、平行线分线段成比例、两点间的距离公式等，关键是利用面积关系求出点D 的坐标． (1)求抛物线的解析式；(2)当0<x <3时，直接写出y (3)点P 为抛物线上一点，若【答案】(1)2y x 2x 3=−++(2)04y <≤(3)(4,5)−P 或(2,5)P −−【分析】（1）将A 与B 的坐标代入抛物线的解析式即可求出b 与c 的值，（2）根据图象即可求出y 的取值范围，（3）设P （x ，y ），△PAB 的高为|y|，AB=4，由S △PAB=10列出方程即可求出y 的值，从而可求出P 的坐标．【详解】（1）解：将点A （﹣1，0），B （3，0）两点代入y ＝2x −+bx+c ∴0=1+0=9+3+b c b c −−−⎧⎨⎩，解得=2=3b c ⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=−++，2y x 2x 3=−++；（2）==−++−−+22y (x 1x 3)x 24，物线的对称轴为=1x ，开口向下，y 的最大值为4，如图，∴0＜x ＜3时，04y <≤；（3）设P （x ，y ），∴△PAB 的高为|y|，A （﹣1，0），B （3，0），4AB ∴=，14102ABP S y ∴=⨯⨯=△，解得5y =±，当=5y 时，2523x x =−++，此时方程无解，当5y =−时，−2523x x =−++，解得124,2x x ==−，(4,5)P ∴−或(2,5)P −−．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知拋物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A −，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，BC ，求ABC S ．(3)拋物线上是否存在一点E ，使得由．【答案】(1)223y x x =−++(2)6(3)()12，()1，()12−或()12−【分析】（1）把()1,0A −，()3,0B 两点坐标代入解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标，即可得到ABC S ， （3）根据23ABE ABC S S =△△求出2E y =，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：把()1,0A −，()3,0B 两点代入()230y ax bx a =++≠中，得030933a b a b =−+⎧⎨=++⎩，解得12a b =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =−++；（2）解：当0x =时，3y =，即()0,3C ， ∴3OC =，∵()1,0A −，()3,0B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∴1143622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯=△，即所求面积为6；（3）解：∵6ABC S =， ∴226433ABE ABC S S ==⨯=△△， ∵142ABE E S AB y =⋅⋅=△， ∴2E y =，把2y =代入抛物线表达式得：2223x x =−++，解得1x =把=2y −代入抛物线表达式得：2223x x −=−++，解得1x =综述所述，点E 的坐标为()12或()1或()12−或()12−．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用． ，求POA 的面积．【答案】(1)m=3，24y x x =−+ (2)0x <或3x >(3)3【分析】（1）由点A 在一次函数y x =上，可将点A 的坐标代入y x =即可求出m ，然后将求出的点A 坐标代入2y x bx =−+即可求出b 值；（2）观察图象找出二次函数图像在一次函数图像下方部分的自变量取值范围即可；（3）求出点P 的坐标及抛物线与x 轴的另一个交点坐标，先计算由点A 、点P 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的四边形面积，然后减去由点A 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的三角形面积即可．【详解】（1）解：因为点A 在一次函数y x =上，所以()3m ，满足y x =，即3x =时y m =，可得：3m =；将点A ()33，代入2y x bx =−+得：2333b =−+，解得4b =，故二次函数的表达式为：24y x x =−+， 综上所得，故答案为：m=3，24y x x =−+． （2）解：由图象可知，一次函数与二次函数交于()()0,03,3，两点，观察图象可以看出在0x <或3x >时，2y x bx =−+的图象在y x =图象的下方，所以当0x <或3x >时，2x bx x −+<，故答案为：0x <或3x >．（3）解：方法一：如图1所示，因为点P 为抛物线顶点，所以点P 坐标为：()24，，抛物线与x 轴的另一个交点为点()40B ，，点()33A ，， 则四边形APOB 的面积()11124431139222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ABO 的面积14362=⨯⨯=，∴POA 的面积=四边形APOB 的面积−ABO 的面积96=−3=，∴POA 的面积为3，故答案为：3．方法二：如图2所示，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交OA 于点D ，过点A 作AE PC ⊥，垂足为E ， 224(2)4y x x x =−+=−−+，∴顶点(2,4)P ，把2x =代入直线方程y x =中得：2y =，2()2D ∴,，422PD ∴=−=， POA 的面积OPD =的面积APD +的面积，111()222PD OC PD AE PD OC AE =⋅+⋅=+ 1232=⨯⨯3=.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，结合图像求几何图形的面积及解对应的一元二次不等式，关键是解题过程要始终运用数形结合的思想方法．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A 、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b 、c 的值，将点A （－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据ΔΔΔAED AEH HED S S S =+，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，根据角平分线的性质可得：FM FN = ，即有11d FE FM FE FN =+−=+−，可知当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C （0，4），A （-1，0）在函数的图象上，∴410c b c =⎧⎨−−+=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =−++， ∵点A （－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =−+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，将1y x =+与2y 34x x =−++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4）， 所以ΔΔΔ1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT =+=⨯+⨯ ()12EH AG DT =+ ()2134142m m m =−++−−⨯ ()2218m =−−+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN = ，∴11d FE FM FE FN =+−=+−显然，当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+−最小，最小值为615d =−=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键． 6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y ＝2x 2﹣8x +6的图象与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求四边形ADBC 的面积．【答案】四边形ADBC 的面积为8．【分析】先把抛物线解析式化成顶点式，求出C 、D 的坐标，然后求出A 、B 的坐标，最后根据=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为()()22228624446222y x x x x x =−+=−+−+=−−，∴点C 的坐标为（0，6），点D 的坐标为（2，-2），令0y =，则22860x x −+=，∴2430x x −+=，解得1x =或3x =，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB=2，∴=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形()11=22C D AB y AB y ⋅+⋅−()11262222=⨯⨯+⨯⨯−8=．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点坐标，四边形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．把AOB 的面积分成相等的两部分．个单位，使其顶点落在AOB 的内部（不包括边界）【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）①3y x =；m <<． 【分析】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++中，列方程组求解即可．（2）直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB 中点，求出中点坐标求解即可．（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与OP 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.【详解】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++，得42310b c b c −++=⎧⎨−−+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩．（2）①取AB 的中点C ，∵(2,3),(1,0)A B − ∴13,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵P 是第一象限内抛物线上一点，且直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．∴直线OP 必过AB 的中点C∴直线OP 的表达式为：3y x =②由（1）可得抛物线的一般式为：223y x x =−++，将一般式转化为顶点式如下：2223(1)4y x x x =−++=−−+∴顶点坐标为()1,4D设过抛物线的顶点(1,4)，且与直线OP 平行的直线解析式为：3'y x b =+将顶点()1,4D 代入3'y x b =+，得3'4b +=，解得'1b =∴31y x =+设AB y mx n =+，将(2,3)A ，(1,0)B −代入，得230m n m n +=⎧⎨−+=⎩， 解得11m n =⎧⎨=⎩∴1AB y x =+联立：311y x y x =+⎧⎨=+⎩ ，得：{01x y ==， 设直线31y x =+与直线AB 的交点坐标为点M ，与x 轴的交点坐标为N ，则()0,1M 1,03N ⎛⎫− ⎪⎝⎭ , 抛物线顶点落在AOB 的内部，即顶点在点M ，点N 之间，如图：∴DM ==DN ==m <<【点睛】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．【答案】（1）223y x x =+−；（2）存在，638；（3）点M 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出C 、D 的坐标，设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−，即可得到OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯，由此求解即可；（3）先求出E 点坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，利用PC PE =求出P 点坐标，设设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−，利用FM MG =建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B − ∴10930b c b c ++=⎧⎨−+=⎩，∴23b c =⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+−；（2）当=1x −时，4y =−，所以点(1,4)D −−，当0x =时3y =−，，所以点(0,3)C − 设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−所以OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯()2333222a a a =−−−2399222a a =−−+当322b a a =−=−时，638OBHC S =四边形． （3）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =+−；∴(0,3)C −，抛物线的顶点(1,4)D −−，∴(1,0)E −，设直线BD 的解析式为y mx n =+，∴304m n m n −+=⎧⎨−+=−⎩，∴26m n =−⎧⎨=−⎩∴直线BD 的解析式为26y x =−−，设点(,26)P m m −−， ∵(0,3)C −，(1,0)E −，根据勾股定理得，222(1)(26)PE m m =++−−，222(263)PC m m =+−−+，∵PC PE =，∴2222(1)(26)(263)m m m m ++−−=+−−+，∴2m =−，∴2(2)62y =−⨯−−=−，∴(2,2)P −−， 如图，作PF x ⊥轴于F ，∵(2,0)F −，设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−∴以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM MG =，∴2|2|23d d d +=+−∴d =或d =，∴点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，【答案】（1）（0，2），（4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++；（2）四边形ABCM 面积最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）34m −≤≤−或32m −≤≤【分析】（1）对直线122y x =−+，分别令x=0，y=0求出相应的y ，x 的值即得点A 、C 的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B 的坐标；（2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设点M 的横坐标为m ，则MF 的长可用含m 的代数式表示，然后根据S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC 即可得出S 四边形ABCM 关于m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形ABCM 面积的最大值及点M 的坐标；（3）当m ＞0时，分旋转后点A '与点O '落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m 的代数式表示出点A '与点O '的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m 的值，进而可得m 的范围；当m ＜0时，用同样的方法可再求出m 的一个范围，从而可得结果．【详解】解：（1）对直线122y x =−+，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，∴点A 的坐标是（0，2），点C 的坐标是（4，0），把点A 、C 两点的坐标代入抛物线的解析式，得：2214404c b c =⎧⎪⎨−⨯++=⎪⎩，解得：122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =−++， ∵抛物线的对称轴是直线1x =，C （4，0）， ∴点B 的坐标为（﹣2，0）；故答案为：A （0，2），C （4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++； （2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设M （m ，211m m 242−++），则F （m ，122m −+），∴221112424122m m m mMF m ⎛⎫⎛⎫=−−+=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，∴S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC =1122BC AO MF OC⋅+⋅2111624224m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯−+⨯ ⎪⎝⎭21262m m =−++ ()21282m =−−+，∵0＜m ＜4，∴当m=2时，四边形ABCM 面积最大，最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）若m ＞0，当旋转后点A '落在抛物线上时，如图2，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得：3m =−3m =−；当旋转后点O '落在抛物线上时，如图3，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴当m ＞0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：32m −≤≤；若m ＜0，当旋转后点O '落在抛物线上时，如图4，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；当旋转后点A '落在抛物线上时，如图5，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得： 3m =−3m =−；∴当m ＜0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−；综上，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−或32m −≤≤． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．【答案】（1）224y x x =−−+；（2）点M 的坐标为（2，-4）；（3）n 的值为9．【分析】（1）直接把点B （-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，则当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关，由此即可得到答案； （3）设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，可求得直线BM 的解析式为2y x =−−，得到E 点坐标为（0，-2），从而求出15ABM S =V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l与抛物线只有一个交点1P ，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l 与直线AB 的距离等于直线2l与直线AB 的距离，则123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），根据除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；推出12ABP S nS =△，由此先求出直线AB 的解析式为4y x =+，则可设直线1l的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=，求得2254b =，从而求出点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ，根据111ABP P BH P AHS S S =+V V V ，求出1ABP S V 即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线22y x kx k =−+−经过点B （-3，1），∴()21332k k=−−−−，∴2k =−，∴抛物线解析式为224y x x =−−+； （2）∵抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关， ∴点M 的坐标为（2，-4）；（3）∵抛物线224y x x =−−+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，4）， 设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，∴113124k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，∴112k b =−⎧⎨=−⎩，∴直线BM 的解析式为2y x =−−， ∴E 点坐标为（0，-2）， ∴()111522ABM ABE AME M B S S S AE x AE x =+=⋅+⋅−=V V V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l 与抛物线只有一个交点1P，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l与直线AB 的距离等于直线2l 与直线AB 的距离， ∴123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），∵除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；∴12ABP S nS =△，设直线AB 的解析式为21y k x b =+，∴211314k b b −+=⎧⎨=⎩，∴2114k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为4y x =+， ∴可设直线1l 的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=， ∴()22344b ∆=+−=0 ，∴2254b =，∴29304x x ++=，解得32x =−，∴点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ， ∴点H 的横坐标为32−，∴点H 的纵坐标为52，∴194PH =，∴111ABP P BH P AHS S S =+V V V ()()111122H B A H PH x x PH x x =⋅−+⋅−()112A B PH x x =⋅−278=，∴27158n =，∴409n =．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．【答案】（1）A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）4；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，求得x 的值，从而确定A 点坐标，利用对称轴公式2bx a =−求得抛物线对称轴；（2）分别求得B 点和C 点坐标，求得直线OD 的解析式，然后通过求解△OBD 的面积求得平行四边形的面积；（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B ，点D 及点C 的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．【详解】解：（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2， ∵抛物线y ＝﹣x2+2x 与x 轴正半轴交于点A ， ∴A 点坐标为（2，0），抛物线y ＝﹣x2+2x 的对称轴为直线()221x =−⨯−=1，即A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1； （2）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，∵点B B 的纵坐标是﹣3， ∴B 点坐标为（1，-3），∵点D 在抛物线上，且点D 的横坐标是52，∴点D 的纵坐标为255222⎛⎫−+⨯ ⎪⎝⎭=54−， ∴D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线OD 的解析式为OD y kx=，将D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭代入，可得5524k =−，解得：12k =−， ∴直线OD 的解析式为12OD y x=−，当x=1时，12y =−，∴E 点坐标为11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴1522BOD S BE =⨯△=()51342⎡⎤⨯−−−⎢⎥⎣⎦=258， ∴S ▱OBCD ＝2524BOD S =△， 故答案为：254；（3）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，设B 点坐标为（1，-b ），D a ，﹣a2+2a ），∵点D 在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C 在抛物线上，四边形OBCD 为平行四边形，∴OB=CD ，OB ∥CD ，∵将点O 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后得到点B ，∴将点D 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后可得到点C ，∴C 点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b ），将C 点坐标代入到y ＝﹣x2+2x 中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b ，整理，可得：b=2a-1，设直线OD 的解析式为1OD y k x =，将D 点坐标（a ，﹣a2+2a ），代入，可得22ka a a =−+，解得：2k a =−+，∴直线OD 的解析式为()2OD y a x =−+，当x=1时，2y a =−+，。
