2013年中考数学专题复习题8 几何最值问题解法探讨

解决初中几何最值问题的三种方法作者：梁晓君来源：《知识窗·教师版》2013年第10期在解决平面几何问题时，学生经常会遇到求线段或线段和的最值问题。

遇到这类题目时，学生通常不知从何下手。

其实，解决这类问题最常见的思路是“两点之间线段最短”“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”。

一、利用轴对称解决线段和最小值解决线段和最小值的问题经常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段进行等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。

人教版八年级数学教材中有一道例题：“A、B两镇在燃气管道L的同旁，现在要修一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？”在解答这个例题时，笔者做了其中一个点关于L的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L的交点P，即为到两镇之间最短距离的地方。

在掌握这个例题后，笔者又出了两道题目：“①在菱形ABCD中（如图1所示），AB=4a，E在BC上，EC=2a，∠BAD=120°，点P在BD 上，则△PEC周长的最小值是。

②如图2所示，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

这两道题目可以直接转化成例题来解答，属于“两点一线型”。

我们再看下一道题目：“如图3所示，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两动点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是。

”本题只有一个点P，却有两条直线OA、OB。

本题思路是过点P分别作OA、OB的对称点，再连接两对称点与两直线的交点，即为Q、R。

此时△PQR 的周长最小。

这种题目可归纳为“一点两线型”。

如2011年长沙市的一道中考题：“使得函数值为零的自变量的值称为函数y=x-1的零点。

例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点。

已知函数y=x2-2mx-2（m+3）（ m为常数）。

【2013年中考攻略】专题&几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何瑕值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段垠短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值; （5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：1・（2012山东济南3分）如图，ZM0N二90° ,矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M, 0N ±,当B在边 0N 上运动时，A随之在边0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB二2, BC二1,运动过程中，点D到点0的最大距离为【】A* E 氏厉 U琴''D・j2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC二4血，ZABC二45° , BD平分ZABC, M—N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是一▲3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2c加，高为9/rcm，点A、B分别是圆柱两底而圆周上的点，HA、B在同一母线上，用一•棉线从A顺着圆柱侧而绕3圈到B,求棉线最短为▲ cm C4. （2012四川眉山3分）在△ABC 中，AB = 5, AC=3, AD 是BC 边上的中线，则AD 的収值范围是5. （2012山东莱芜4分）在AABC 中，AB = AC=5, BC =6.若点P 在边AC 上移动，则BP 的垠小值是一▲B C6. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB 二2, ZA=120°，点P, Q, K 分别为线段BC, CD, BD ± 的任意一点,贝'J PK+QK 的最小值为【7. （2012 江苏连云港 12 分）C 知梯形 ABCD, AD/7BC, AB 丄BC, AD = 1, AB=2, BC = 3,二、应用垂线段最短的性质求最值:A. 1B. 73 G/ X问题1：如图1, P为AB边上的一点，以PD, PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ, DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2,若P为AB边上一点，以PD, PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理山.问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E,使DE=PD,再以PE, PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理山.问题4：如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA（n为常数）,以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在瑕小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理 ill.8.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1, 0）,点B在直线y = x±运动，当线段AB瑕短时，点B 的坐标为【】1 1 42V2 .. V2 V2A. （0, 0）B. （-- , ---- ）C.（ --- , ------ 丿D.（--------- , ------ ）2 2 2 2 2 29.（2012四川乐山3分）如图,在△ABC中，ZC=90° , AC=BC=4, D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE二CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：©ADFE是等腰直角三角形：图②四边形CEDF不可能为止方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的瑕大距离为“2.其中止确结论的个数是【10. （2012四川成都4分）如图,长方形纸片ABCD 中,AB=8cm, AD 二6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:第一步：攵1图①，在线段AD 上任意取一点E,沿EB, EC 剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）: 第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M,线段 BC 上任意取一点N,沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180。

几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（两个定点） 垂线段最短（一个定点、一条定直线）三角形三边关系（两边长固定或其和、差固定）lB'BAPlB'ABP线段和差、 周长最值 几何变换、 等线段转移 构建三角形线段最值 ① 折转直；②集中线段长； ③目标线段转化为相关线段. 转化 P A +PB 最小， 需要点在异侧|P A -PB |最大， 需要点在同侧1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁ACQP ED CBA第1题图 第2题图2. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .3. 如图，在锐角△ABC 中，42AB ，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为___________．NMABDCQPKDCBA第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxP ABDCD'C'B'第5题图 第6题图6. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合），分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．ABCDPMNxOABy第7题图 第8题图8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．ABCE FPM ABCDP第9题图 第10题图10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.A BO PxyA DCB PQ A'第11题图 第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？AB C D P FE D CBAA BCD EFP14. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； （2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.15. 如图，已知平面直角坐标系中A ，B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）. （1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝________时，△P AB 的周长最短；（2）若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝________时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.BA Ox y（3）BA Ox y（2）（1）yx OA BABCDEM N1. 15 2．22 3．4 4．3 5．74 6．2，27．58．39．12510．5 11. 3+112．213．(1)8434-≤≤PD ；(2) 458-14．(1)点M 在BD 的中点时，AM+CM 的值最小；（2）点M 在EC 与BD 的交点处时，AM+BM +CM 的值最小15．（1）72；（2）54；（3）55,23==-m n初中数学试卷灿若寒星制作。

2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数 2、移项：把 项移到方程的 边3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx +c =0(a ±0) 满足b 2－4ac ≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B =0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根 ③当 时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】方程有两个实数跟，则一、 一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)有两个根分别为X 1X 2则X 1+X 2 = X 2 =二、 一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa （1+X ）2=b2、 利润问题：总利润= X 或利润 —3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x －1）（x +2）=1 D ．3x 2－2xy －5y 2=0 思路分析：一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；B 、当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C 、由原方程，得x 2+x －3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D 、方程3x 2－2xy －5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误． 故选C ．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，则a= ．解：∵一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2－1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2 （2012•安徽）解方程：x2－2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2－2x=2x+1，∴x2－4x=1，∴x2－4x+4=1+4，（x－2）2=5，∴x－2=±5，∴x1=2+5，x2=2－5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3 （2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定思路分析：将已知的方程x2－10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2－10x+21=0，因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2－10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为何？（）A．－57 B．63 C．179 D．181解：x2－2x－3599=0，移项得：x2－2x=3599，x2－2x+1=3599+1，即（x－1）2=3600，x－1=60，x－1=－60，解得：x=61，x=－59，∵一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=－59，∴2a－b=2×61－（－59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x－2）+x－2=0的解是（）A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1答案：D考点三：根的判别式的运用例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1－4k＞0，∴－12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2－4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2－4（2m－1）=（m－2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12－1×（m+2）+（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1答案：A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根．解：（1）∵当m=3时，△=b2－4ac=22－4×3=－8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=－3时，原方程变为x2+2x－3=0，∵（x－1）（x+3）=0，∴x－1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=－3．考点四：一元二次方程的应用例5 （2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1－x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠2解：∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2－4（k－2）2＞0，∴（2k+1－2k+4）（2k+1+2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞34，故k＞34且k≠2．故选C．3．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=－24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．5．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。

中考数学几何最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．21+B ．5C ．1455 5 D ．52 【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE=2222AD AE 112=+=+=，∴OD 的最大值为：21+。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

中考数学复习如何解答最值问题最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。

下面绍如何利一次函数，二次函数的性质和对称性求最值。

◆一次函数的最值问题一、典型例题：1、（2010陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。

经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3。

（1）求y与x之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。

解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x）·（5500-1200）=-6800x+860000，（2）由题意得200-4x≤80 解之得x≥30∵-6800x+860000 -6800＜0∴y的值随x的值增大而减小当x=30时，y最大值=-6800+860000=656000元2、（广东清远2009）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） ◆二次函数的最值问题 一、典型例题：1、（2010武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1BC 5D ．52 【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE=∴OD 1。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ，∴△BME≌△BMN（SAS ）。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！几何最值问题复习本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）；②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置ll求min ()PA PB +，异侧和最小llMN 为固定线段长，求min ()AM BN +ll求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化MDACO N求ODmax不变特征：Rt△AOB中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．二、还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方．①研究背景图形，相关信息进行标注；②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析；③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．三、根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别和联系，简要写一写你的看法．答：下面是小明的看法：①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有标注；③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理及公理．如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．几何最值问题（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．二、精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．M FE PCBAOED CBA第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，a )是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小值为_____________．4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA第4题图 第5题图5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D CB AD CBA7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．QPCBA（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD内部时，PD 长度的最小值为_____________．P F ED CB APFE DCBADCBADCBA8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC =BC 的中点为D ．将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC的面积ABC S △__________．发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．DGFECB A图1 图2（1）用含x ，m ，n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求(m n +)与x 之间的函数关系式，并求出(m n +)的最大值和最小值．应用：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 是BC 边上的任一点（可与点B ，C 重合），分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．三、回顾与思考________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 【参考答案】精讲精练 1．1252．3HBAD'B'C'P D CBA3．4．1 5．5 6．27．（1）84PD -≤；（2）8 8．69．410．探究：发现：（1）12ABD S xm =△，12CBD S xn =△（2）m n +=m +n 的最大值为6，最小值为应用：2。

初中数学几何最值问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]初中数学几何最值问题在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有所帮助.最值问题的解决方法通常有如下6大类:1.三角形的三边关系例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是．2.两点间线段最短例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为9 cm，点,A B分别是回柱两底面圆周上的点，且,A B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线长度最短为 .` 3.垂线段最短例3 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC 上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是____________•4.利用轴对称例4.如上右图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）例5 如图5，正方形ABCD，4AB=，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE PB+的最小值为 .5.利用二次函数例6在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．6利用圆中直径是最长的弦例7.如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．同步练习1.如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD 边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为___________.2.李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长。

几何中的最值问题一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值〞及“线段〔与、差〕最值〞.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段与、差的最值，需要借助“垂线段最短〞、“两点之间线段最短〞及“三角形三边关系〞等相关定理转化处理.一般处理方法：垂线段最短〔一个定点、一条定直线时〕三角形三边关系〔两边长固定或其与、差固定时〕l l B 1. 点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，那么蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．第1题图 第2题图2. 如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，假设∠3.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，假设点P，Q分别是AD与AE上的动点，那么DQ+PQ的最小值为 .第3题图第4题图4.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，那么PK+QK的最小值为 .5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．第5题图第6题图6.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 假设E、F为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，那么点F的坐标为 .7.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，那么PA PB-的最大值等于．第7题图第8题图8.点A、B均在由面积为1的一样小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如下图．假设P是x轴上使得PA PB-的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB 的值最小的点，那么OP OQ⋅＝．9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，那么AM的最小值为_________．第9题图第10题图10.如图，AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP与PB为边作等边△APC与等边△BPD，那么CD长度的最小值为．11.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.假设将△ABP中边PA的长度改为22，另两边长度不变，那么点P 到原点的最大距离变为_________．第11题图 第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如下图，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．假设限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，那么点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．〔1〕当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ；〔2〕当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 .14. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，那么BA ′的最小值是_________．【参考答案】1. 152．6 3．45．74 6．〔73，0〕 7．5 8．3 9．125 10．511.12．2 13．(1)84-≤≤PD ；(2) 814. 4A B C D。

几何最值中考题的求解策略中考压轴题中经常会出现有关最值问题，让很多同学望而生畏，束手无策.其实，解几何的最值问题，一般是以几何中不等量的性质、定理为基础，或借助于代数方法、三角方法来证明几何量变化的取值范围，从而得出最值.求解策略通常有两种：一是利用几何中不等量的性质（如两点之间线段最短、垂线段最短）等借助几何变换求解；二是引入变量建立方程、函数模型来求最值.下面举例说明.一、利用几何性质求最值利用几何性质，如两点之间线段最短、垂线段最短、直径是圆中最大的弦等来求解最值.例1 如图1，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是.图1 图2解：如图2，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E 两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB.∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OA=2，AB=2，而S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∵当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N 点到AB的距离最大，△NAB的面积最大，即M点运动到D 点，N点运动到E点时，四边形MANB的面积最大.∴四边形MANB面积的最大值：S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB?（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4点评：本题将圆与三角形的知识综合在一起，解题时需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决.二、利用轴对称求最值求解两条线段之和最短的问题，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，得出答案.例2 如图3矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN的值最小，求这个最小值.图3 图4解：如图4，作B关于AC的对称点B′，连结，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时BM +MN的最小值，即为BM+MN′的最小值，显然BM+MN′的最小值等于点B到AB′的距离BH.要求BH的长，设AB′与DC交于P点，连结BP，则S△ABP=AP?BH=S矩形ABCD=×20×10=100（cm2）B′与B关于AC对称？圯∠1=∠2矩形ABCD中，DC∥AB？圯∠2=∠3？圯∠1 =∠3？圯PA=PC设AP=PC=x，则DP=20-x在Rt△APD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即x2=（20-x）2+102，解得x=12.5（cm），即AP=12.5（cm），∴BH=100×=16（cm），即BM+MN的最小值是16cm.三、利用展开图求最值当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.例3 如图5，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12cm，B点沿母线到桶口D点的距离是8cm，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15cm.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？图5 图6解：如图6，延长BD，在延长线上取点B′，使BD=B′D=8cm，连接AB′，交CD于点E，连接BE，则最短的路线应该是沿AE、EB爬行即可.因为两点之间线段最短.在△AB′F中，∠F= 90°，AF=15cm，B′F=12+8=20cm，由勾股定理，得AB′=25cm.∵AC∥B′D，∴△ACE∽△B′DE，∴AC∶B′D=AE∶B′E=12∶8=3∶2，∴AE=25×=15cm，BE=B′E=25×=10cm，∴AE+BE=25cm.即蚂蚁爬行的最短路程是25cm.点评：本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意确定最短路线.最后根据两点之间线段最短，运用勾股定理即可求解.四、利用不等式求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案.例4 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h，∵2S△ABC=4a=12b=ch，∴a=3b，又∵c得12b3，又∵c>a-b=2b，代入12b=ch，得12b>2bh，所以h<6，∴3<h<6，故整数的最大值为5.五、利用一次函数求最值构造函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，在求解这类问题时，我们要充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识来寻求等量关系，从而构造出函数关系式求解.例5 如图7，⊙O上的定点C和动点P在直径AB的两侧，已知AB=5，AC=3，点P在弧AB上运动，过点C作CP 的垂线与PB的延长线交于点Q.当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，最大值是多少？图7解：∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC设CP=x，CQ=y，∴=，CQ=，即y=.可见，y随x的增大而增大. 所以当PC为直径，x取得最大值，即当x=5时，y的值最大，最大值是.六、利用二次函数求最值例6 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm、下底为120cm、高为60cm的直角梯形板子（如图8），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图9），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.（1）求FC的长；（2）利用如图9求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.图8 图9解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴=，又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC- FC=60-FC，CG=120-60=60，∴=，∴FC=40（cm）；（2）如图10，设矩形顶点B所对的顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2）②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N、PM⊥AB于点M.根据题意，得△GFC∽△GPN.∴=，∴NG=x，∴BN=120-x，∴y=x（120-x）=-（x-40）2+2400，∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）；③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2），综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400 cm2；（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=-x2+120x，当y=x2时，正方形的面积最大，∴x2=-x2+120x.解之，得x1=0（舍去），x2=48（cm），∴面积最大的正方形的边长为48 cm.点评：本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视用分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.七、利用一元二次方程求最值用数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值.例7 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z=90°），它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC（∠C=90°）的三条边上，求△ABC直角边长的最大可能值.分析：顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取XY的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x，CZ=y，建立x、y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.解：（1）如图11，顶点Z在斜边上，取XY的中点M，连接CM、ZM、CZ，并作AB边上的高CN，则CZ≤CM+MZ=+=，又∵CN≤CZ，∴CN≤，CA=CN≤2；（2）如图12，顶点Z在直角边CA（或CB）上，由对称性，不妨设CX=x，CZ=y，并过Y作YH⊥CA于H，易得△ZYH ≌△XZC，得HZ=CX=x，HY=CZ=y，∵△AHY为等腰直角三角形，则AH=y，设AC=b，则2y+x=b，即x=b-2y，在Rt△CXZ中，y2+（b-2y）2=12，即5y2-4by+b2-1=0，∵y为实数，则Δ=16b2-20（b2-1）=20-4b2 ≥0，b≤，当b=时，y=，x=，综合（1）、（2）知，b的最大值为.图11 图12。

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A1．5 2【答案】A【考点】【分析】三点共线时，点∴OD1。

故选A。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲ 。

【答案】4。

新 -课-标-第-一-网【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D在△AME 与△AMN ∴△BME≌△BMN（SAS ）又∵CM+MN 有最小值，∴当CE 是点C 到直线∵BC=的最小值为∴CM+MN 的最小值是4。

例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 ▲ cm 。

几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P .PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为，点D 的坐标为.分析本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =，AC CD +11BD A C B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11A C B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+, 点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -， 点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩，∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,5，点D 的坐标为7(,0)3.二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为.分析因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2.PQ ∴.四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是.分析这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解在21Rt A B B ∆中，2112A B = cm ,15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+= ,213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。

最值问题解决几何最值问题的通常思路:1、两点之间线段最短；2、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；3、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）以上是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。

1.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F 运动的路径长是________．2.如图，平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（－1，0），C（－5，0），点D从点B 出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E 运动的路径长为_______.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是__________.4.如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长为__________.5.如图，在等腰 Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．6.如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，－3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 .7.如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x 轴、y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是__________.8.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC12=,则当点A从A（0，10）滑动到O（0，0），B从 O（0，0）滑动到B（10，0）的过程中，点C运动的路径长为__________.9.如图，在反比例函数2yx=-的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图像上运动，若 tan∠CAB＝2，则k 的值为__________.10.如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP 为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为__________.11．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．12．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含hkyx的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，⊙O的直径AB的长为8，求12CD+OD的最小值．13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：16 2y x=--交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．。

中考数学专题复习--几何最值问题解题策略【专题分析】最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.【知识归纳】1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.【题型解析】题型1:三角形中最值问题例题：（2017山东枣庄）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，。