2018届高三数学二轮复习课件专题二第一讲 三角函数的图象与性质

[限时规范训练] 单独成册

一、选择题

1．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )

A．关于点π3，0对称

B．关于直线x＝π4对称

C．关于点π4，0对称

D．关于直线x＝π3对称

解析：由函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π得ω＝2，

由2x＋π3＝kπ(k∈Z)得，x＝12kπ－π6(k∈Z)，当k＝1时，x＝π3，所以函数的图象关于点π3，0对称，故选A.

答案：A

2．为了得到函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象，可以将函数g(x)＝2cos 2x的图象( )

A．向右平移π12个单位长度

B．向右平移π8个单位长度

C．向左平移π12个单位长度

D．向左平移π8个单位长度

解析：因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4

＝2sin 2x＋π8，

所以把g(x)＝2cos 2x＝2sin 2x＋π2

＝2sin 2x＋π4的图象向右平移π8个单位长度可以得到f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象，故选B.

答案：B

3．将函数f(x)＝sin2x＋π6的图象向左平移φ0＜φ≤π2个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝( )

A.π6 B.π4

C.π3 D.π2

解析：将函数f(x)＝sin2x＋π6的图象向左平移φ0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin2x＋φ＋π6＝sin2x＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，又0＜φ≤π2，所以φ＝π6，选项A正确．

- 1 - 专题二 三角函数、解三角形、平面向量

第一讲三角函数的图象与性质

考点一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系

一、基础知识要记牢

(1)三角函数的定义：若角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.

(2)诱导公式：注意“奇变偶不变，符号看象限”．

(3)基本关系：平方关系：sin2x＋cos2x＝1，商数关系：tan x＝sin xcos x.

(4)单位圆、三角函数线是根本，抓纲务本，就能驾简驭繁．

二、经典例题领悟好

[例1] (1)(2017·绍兴模拟)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4

(2)如图，以Ox为始边作角α(0

[解析] (1)tan θ＝cos3π4sin3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，

又sin3π4>0，cos3π4<0，

所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，

所以θ＝7π4.

(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，

∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α - 2 - ＝2cos αα＋cos αsin α＋cos αcos α

＝2cos2α＝2×－352

＝1825.

[答案] (1)D (2)1825

涉及与圆及角有关的函数建模问题如钟表、摩天轮、水车等，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.

应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数关系化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

三、预测押题不能少

1．(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )

2018届江苏高考二轮数学专题教学案

三角函数的化简与求值

【热身训练】

1．将函数y＝22(sin x＋cos x)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π2个单位，所得函数图象的解析式是________．

解析：将函数y＝22(sin x＋cos x)＝sin(x＋π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y＝sin(12x＋π4)的图象；再向左平移π2个单位，所得函数图象的解析式为y＝sin[12(x＋π2)＋π4]＝cos12x.

2．已知函数f(x)＝43sin(ωx＋π3)(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC＝90°，则ω的值是________________．

解析：因为P为AC的中点，∠ABC＝90°故PA＝PB＝PC，故T2＝(83)2＋(T2)2，解得T＝16，ω＝2πT＝π8.

3．(2017·新课标Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34，x∈[0，π2]的最大值是________．

4．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝π8对称，那么a的值是________．

解析：因为f(x)＝sin 2x＋acos 2x图象关于直线x＝π8对称，所以f(0)＝f(π4)，即a＝sin π2＋acos

π2＝1. 【热点追踪】

在数学高考中，三角函数的图象与性质问题一直是主干知识之一，利用三角函数图象探究三角函数的性质是高考的重点，而三角函数的图象又往往融合于其它问题之中(如函数性质、零点等问题)．此外，利用三角函数图象研究三角函数的对称性、周期性、单调性以及值域问题也是近年来常考常新的热点问题，必须引起足够的重视.

（一）三角函数中基本量的计算问题

例1. 三角函数中基本量的计算问题

设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A>0，ω>0,0

(1)求A，ω，φ的值；

(2)设θ为锐角，且f(θ)＝－353，求f(θ－π6)的值．

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为( )

A.4π B.2π

C.π D.π2

解析 由题意T＝2π2＝π.

答案 C

2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

A.x＝kπ2－π6(k∈Z) B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)

C.x＝kπ2－π12(k∈Z) D.x＝kπ2＋π12(k∈Z)

解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z).

答案 B

3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是( )

A.f(x)的一个周期为－2π

B.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称

C.f(x＋π)的一个零点为x＝π6

D.f(x)在π2，π单调递减

- 2 - 解析 函数f(x)＝cosx＋π3的图象可由y＝cos x的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f(x)在π2，π上先递减后递增，D选项错误.

答案 D

4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34x∈0，π2的最大值是________.

解析 f(x)＝sin2x＋3cos x－34x∈0，π2，