1月浙江自考实变函数与泛函分析初步试题及答案解析

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浙江省2018年1月自考实变函数与泛函分析初步试题

课程代码：10023

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设M是任意一个集合，N是M的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是( )

A.M

C.M>N D.不能判定

2.设Q是R中有理数的全体，Q2={(r1,r2)|r1∈Q,r2∈Q},则在R2中Q2的开核(Q2)0是( )

A.Q2 B.

C.R2 D.R2＼Q2

3.设P是Cantor三分集，)(xf=PxPx11，则1,0)(dxxf( )

A.0 B.1

C.-1 D.2

4.设)(xf在闭集E有定义，x0是x的一个孤立点，则)(xf在x0的振幅ω(x0)满足( )

A.ω(x0)>0 B.ω(x0)=0

C.ω(x0)<0 D.不能判定

5.设)(xf为［a,b］上的有界变差函数，则关于f(x)的叙述不正确的是( )

A.)(xf在［a,b］有界 B.)(xf可以表示为两个增函数之差

C.)(xf在［a,b］存在 D.)(xf在［a,b］可积

二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.在所有无限集中，可数集的基数最小.( )

2.一列开集的交集是开集.( )

3.Rn(n>1)中开集一定可以表示为可数个互不相交的n维半开半闭区间的合集.( ) …………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………

2 4.可数个测度为零的集合的并集的测度不一定为零.( )

5.Dinichlet函数不是Lebesgue可测函数.( )

6.设)(xf在ERn上Lebesgue可积，则|)(xf|在ERn上Lebesgue可积.( )

7.连续函数一定是有界变差函数.( )

三、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.设集列1nnA满足),2,1(1nAAnn,则nnAlim=______.

2.设E是［0,1］中的全部有理点,则E在R2的闭包E=______.

3.设Sn=(n,∞)(n=1,2,…)，则nnmSlim =______.

4.设)(xf在E上可测,nafERan1,1______.

5.设)(xf在nRE上Lebesgue可积，)(xf,)(xf分别表示)(xf的正部与负部，且,)(,)(21dxxfIdxxfIEE则Edxxf)(=______.

6.设f(x)是可测集E上可积函数，),(1jiEEEEjijj，记EiEidxxfIdxxfI121)(,)(，则它们的大小关系是______.

7.4131211______.

8.设10,)(xxxf,则)(xf的全变差)(10fV______.

四、完成下列各题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

1.设pRE,对任意0,存在闭集F，使得)(*FEm,证明E是可测集.

2.设),2,1)((nxfn在E上非负可积，若Enndxxf0)(lim,证明)(xfn依测度收敛于零.

3.设)(xf在［a-ε0,b+ε0］上可积，证明:0|)()(|lim0dxxftxfbat.

泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）（1）

实变函数与泛函分析第四章习题01-15

7 第五章习题第一部分01-15

1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间．

[证明] 显然span( M )是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且M  N．

则由span( M )的定义，可直接验证span( M )  N．

所以span( M )是包含M的最小线性子空间．

2. 设B为线性空间X的子集，证明

conv(B) = {

n

iiixa

1| a

i  0, 

n

iia

1= 1, x

iB, n为自然数}．

[证明] 设A = {

n

iiixa

1| a

i  0, 

n

iia

1= 1, x

iB, n为自然数}．首先容易看出A为

包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A  F，故A为包含B的最

小凸集．

3. 证明[a, b]上的多项式全体P[a, b]是无限维线性空间，而E = {1, t, t 2

, ..., t n

, ...}

是它的一个基底．

[证明] 首先可以直接证明P[a, b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，

而P[a, b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．

设c

0, c

1, c

2, ..., c

m是m + 1个实数，其中c

m  0，m  1．

若

m

ntc

0= 0，由代数学基本定理知c

0 = c

1 = c

2 = ... = c

m = 0，

所以E中任意有限个元素线性无关，

故P[a, b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。

4. 在2

中对任意的x = (x

1, x

2) 2

，定义|| x ||

1 = | x

1 | + | x

2 |，|| x ||

2 = (x

+ x

)1/2

，

|| x ||

 = max{ | x

1 |, | x

2 | }．证明它们都是2

中的范数，并画出各自单位球的

图形．

[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．

实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案

第一章习题参考解答

3．等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？

解：若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(.

即，AC.

反过来, 假设AC, 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故,

CBA)()(CBA.

最后证，CBACBA)()(

事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(；若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(.

AACBACBAC)()(. 即 AC.

反过来，若AC，则因为BCB所以)(CBABA 又因为AC，所以)(CBAC故 )()(CBACBA 第一章习题参考解答

2 另一方面，AxCBAx)(且CBx，如果Cx则 CBAx)(；如果,Cx因为CBx，所以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从而CBACBA)()(

于是，)()(CBACBA

4．对于集合A，定义A的特征函数为AxAxxA,0,1)(，假设nAAA,,,21是一集列，证明：

（i）)(inflim)(inflimxxnnAnnA

（ii）)(suplim)(suplimxxnnAnnA

证明：（i）)(inflimnnmNnnnAAx，N0n，0nm时，mAx.

所以1)(xmA，所以1)(inf0xmAnm故1)(infsup)(inflimxxmnAnmNbAn

NnAxnninflim，有nkAxnnnm

有0)(inf0xAxmnkmAnmAk，故0)(infsupxmAnmNb ，即)(inflimxnAn=0 ，从而)(inflim)(inflimxxnnAnnA

《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案

第一章习题参考解答

3. 等式(A  B)  C  A  (B  C) 成立的的充要条件是什么？

解：若(A  B)  C  A  (B  C)，则 C  (A  B)  C  A  (B  C)  A .

即， C  A .

反过来, 假设 C  A , 因为 B  C  B . 所以, A  B  A  (B  C) . 故,

( A  B)  C  A  (B  C) .

最后证， A  (B  C)  (A  B)  C

事实上， x  A  (B  C) , 则 x  A 且 x  B  C 。若 x  C ，则 x (A  B)  C ；

若 x  C ，则 x  B ，故 x  A  B  (A  B)  C . 从而, A  (B  C)  (A  B)  C .

C  (A  B)  C  A  (B  C)  A    A . 即 C  A .

反过来，若 C  A ，则因为 B  C  B 所以 A  B  A  (B  C) 又因为C  A ，

所以C  A  (B  C) 故 (A  B)  C  A  (B  C)

另一方面，x  A  (B  C)  x  A 且 x  B  C ，如果 x  C 则 x (A  B)  C ；

如果 x  C, 因为 x  B  C ，所以 x  B 故 x  A  B . 则 x (A  B)  C . 从而

A  (B  C)  (A  B)  C

于是， (A  B)  C  A  (B  C)

1,

x  A

4. 对于集合 A，定义 A 的特征函数为  A (x)  

2007年10月自考试题实变函数与泛函分析初步试卷

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浙江省2007年10月高等教育自学考试

实变函数与泛函分析初步试题

课程代码：10023

一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知Z和Q分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q，则( )

AZQA B. ZQA

C. ZQA D. ZQA

2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q,C=［5,6］-Q,则A∪B∪C的测度为( )

A.1 B.2

C.3 D.无意义

3.设f(x)=　　其他,1]3,1[,1]1,0[,22xxQxx∩Q,则］，［80f(x)dx=( )

A.0 B.1

C.2 D.8

二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )

5.开集一定是博雷尔（Borel）集.( )

6.设ER1，E是E的闭包，mE=0，则m(E)=0.( )

7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann可积函数.( )

8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )

9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )

三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 10.设A2n-1=(0,sinn1)，A2n=(n1,n),则集列{An}的上限集为___________.

11.球面S2={（x,y,z)|x2+y2+z2=1}的基数为___________.

12.设F={(x,y)|x2+y2≤1},E=F∪)1,0(,1sin|),(xxyyx，则E的开核E=___________.

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