12-13-1(三本)高数上作业答案详细

高等数学作业答案（2012-2013-1）

第1页/共19页 第一章 函数、极限与连续

1.1函数

1、（1）×（2）×（3）√

2、(1)不同，定义域不同；

(2)不同，对应法则不同．

3、 (1)

[(21)π,2π][2π,(21)π]kkkk，

kN；

(2) 21a时aa1，； 21a为空集．

4、（1）奇；（2）奇；（3）奇.

5、 (1) 11xyx (2)ln1xyx

6、 (1) cos,5yuux；

(2) 1e,uyux；

(3) 3e,,sinuyuvvx；

(4) arcsin,ln,21yuuvvx．

7、 (1) 12[()]12xxfgx；

(2) [()]2xfgxx；

(3) 2[()]tan(313)fgxx．

8、略

9、2,2()2kkk

10、22sinx

★11、((()))1fffx. 1.2极限

1、(1) 3nnx；(2) 0nnx；

(3) 极限不存在； (4) 极限不存在．

2、(1) 例：10()10xfxx，()0gx

(2) 例：10()10xfxx，

10()10xgxx

3、(1) 极限不存在；

(2) ，2arctanxx

arctan2xx，

x时,xarctan的极限不存在；

(3) ，11xxe 1exx，

x时，xe1的极限不存在．

4、0lim1xxx；

当0x时，()xxx左、右极限不一样，极限不存在．

5、0lim()0xfx；1lim()xfx不存在.

1.3极限的运算法则

1、2； 2、0； 3、74；

4、12 5、12 6、12

7、1,3ab. 高等数学作业答案（2012-2013-1）

第2页/共19页 8、2,8ab

1.4极限存在准则 两个重要极限

1、(1) e1；(2) 2e；(3) -2e；(4) 1；(5) 0；

(6) 35；(7)a；(8)2 ；(9) x；(10) 12.

2、1 3、lim2nnx.

1.5无穷小与无穷大

1、（1）x时是无穷小；0x时是无穷大.

（2）x时是无穷小；1x时是无穷大.

（3）()2xkk时是无穷小；

()xkk时是无穷大.

（4）1x时是无穷小；0x以及x时是无穷大.

2、（1）既不是无穷小，又不是无穷大；

（2）前者是无穷小，后者是无穷大.

3、（1）错（2）正确（3）正确（4）正确

（5）错．例：当0x时，x与2x均是无穷小，但商为无穷大．

（6）错．例：当x时，x和1x均是无穷大，但其和为有界函数．

（7）正确

4、 ，理由：无穷小的倒数是无穷大.

★5、解：

（1）0M，取2(0,),nxnn，此时，()2nfxn. 当n充分大时，()nfxM. 所以无界.

（2）取2(0,),2nxnn，此时，()0nfx. 故lim()0nnfx. 所以，n时()fx不是无穷大．

6、(1)xx~arctan；

(2)ea时等价; ea时同阶；

(3) 同阶； (4) 同阶．

7、(1)6n； (2) 1n； (3) 12m，2n．

8、 （1） 32（2）23（3）12．

1.6连续函数的概念与性质

1、连续

2、(1)1x是可去间断点，3x是无穷间断点.

(2) 0x是可去间断点.

(3) 0x是第二类间断点，1x是无穷间断点.

(4) 1x是无穷间断点.

(5) 0x是跳跃间断点，2x是无穷间断点.

★（6））（）（，）（0100100fff,

，0x第一类跳跃．

3、(1) 0a

（2）0a，eb．

4、43ab，．

5、(1)112lne；(2) 0；(3) 1/2；(4) 0； 高等数学作业答案（2012-2013-1）

第3页/共19页 (5) lna；(6) 23ln2ln3 (7) 2e (8) 1

6、解：令5()31fxxx，显然()[0,1]fxC.

(0)10,(1)10ff，由零点定理知，至

少存在一点使得()0f，原即方程在0与1

之间至少有一实根． 证毕□

★7、2,1ab

★8、证：易知1()[,]nfxCxx设1[,]min()nxxmfx，1[,]max()nxxMfx，则(),1,,imfxMin.

于是有

12()()()nfxfxfxnmnMmMnnn在1[,]nxx上使用介值定理得：在1(,)nxx内至少存在一点使

12()()()()nfxfxfxfn． 证毕□综合练习题一

1、3(31)1,0,[()]31,01,,1.xxffxxxxx

2、证：当0x时，1()()cafxbfxx ①

1()()afbfxcxx ②

联立①②得：22()()acafxbfxbcxx

22()cafxbxabx.

又(0)0f，显然()fx是奇函数. 证毕□ ★3、D

4、证：00lim()lim0xxxxfx

00lim()lim00xxxxfx

0lim()(0)0xxfxf

()fx在0x处连续． 证毕□

5、（1）2x（2）3（3）an.（4）12e ★（5）1

★（6）0 6、12

7、1x是无穷间断点；1x是可去间断点；

0x是跳跃间断点.

8、解：21,||10,||11lim1,110,1nnxxxxfxxxx（）

1x是函数的跳跃间断点.

在点1x处连续.

★ 9、（1）0b，0a（2）1a.

10、（1）0（2）3（3）12

★11、证：令()()Fxfxx，则()[,]FxCab.

易知，[,][,]min(),max()ababafxbfx.

()()0,()()0FafaaFbfbb

①若()0Fa或()0Fb，则取a或b均可.

②否则()0,()0FaFb，由零点定理知至少存在一点(,)ab，使()0F，即()f. 高等数学作业答案（2012-2013-1）

第4页/共19页 无论哪种情况点都存在. 证毕□

★12、证：由()fx在[,]ab上连续，得()fx在[,]ab上一定存在最小值和最大值，分别记为t和T.于是有：

()()()()()mtntmfcnfdmTnTtTmnmnmn

由介值定理得：在[,]ab上必存在点使

()()()()mfcnfdfmn，再移项得证． 证毕□

★★13、证：在极坐标系下建立温度函数为()TT，显然有：()(2)TT. 温度在圆环上非均匀连续分布，于是有[0,2]TC．

设()()()LTT，当[0,]时，[,2]. ()T在[0,2]上连续，()L在[0,]上连续.

(0)(0)(0)(0)()LTTTT

()()()()(2)LTTTT

()(0)TT

2(0)()(0)()0LLTT

若(0)()TT，则问题得证.

否则就有(0)()0LL，由零点定理知，至少存在一点(0,)，使得()0L. 即： ()()TT. 证毕□

第二章 一元函数的导数与微分

2.1 导数的概念

1、（1）-20 （2）1

2、（1）(0)f （2）0()fx（3）02()fx

3、2,1ab 4、1,1yxyx

5、证法一：

00()(0)()(0)(0)limlim0xxfxffxffxx

00()(0)()(0)(0)limlimtxxtfxfftffxt

（因为()fx为偶函数）

0()(0)lim(0)(0)tftffft

（因为(0)(0)(0)fff）

(0)(0)(0)0fff. 证毕□

证法二：

00()(0)()(0)limlim(0)0xxfxffxffxx

00()(0)()(0)(0)limlim0xxfxffxffxx

(0)(0)0ff. 证毕□

★6、证：

函数()fx在0x处连续0lim()(0)xfxf

0()limxfxx存在0lim()0xfx(0)0f

0()limxfxx存在0()(0)lim0xfxfx存在

()fx在0x处可导. 证毕□