高等数学（下）
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：
A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);
D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？
答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0;
在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？
答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0;
z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离：
（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；
（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.
解：（1）s=
(2) s==
(3) s==
(4) s==
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.
故
s==
s==
x
s==
y
s==.
5
z
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.
解：设此点为M（0，0，z），则
222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--
解得 149z = 即所求点为M （0，0，
149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB |=|AC |=7.且有
|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.
故△ABC 为等腰直角三角形.
8. 验证：()()++=++a b c a b c .
证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
解：
232(2)3(3)
2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c a b c
10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .
解：1115
D A BA BD =-=--c a 2225
D A BA BD =-=--c a 3335
D A BA BD =-=--c a 444.5
D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设M 的投影为M '，则
1Pr j cos604 2.2
u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
的起点A 的坐标.
解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则
{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----
解得x =-2, y =3, z =0
故A 的坐标为A (-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：
（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；
（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.
解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==
12Pr j 1
,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-
(2) 12(7PP =
=(3) 12
3cos 14x
a PP α== 121cos 14y
a PP β==
122cos 14
z
a PP γ-==
(4) 12
0123{
14PP
PP ===+
e i j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
||=
=R
cos
cos
cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .
解：||==a
||==b
||3==c
, , 3. a b c ==a b c e
16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k
在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .
17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .
解：因αβγ==,故23cos 1 α=
,cos αα==
则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.
解：设向径OM ={x , y , z }
12{2,5,3}
{3,2,5}
M M x y z MM x y z =--+=----
因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩
故OM ={111,,344
-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是
236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=
得222
9524x y z z ++=-+
126570cos 6, 749
z z γ==⇒==
