2011年石景山区中考二模数学试卷一、选择题（本题共32分， 每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．2的算术平方根是（ ）．A ．2B ．2±C ．4D ．4±2．据报道：今年四月初，在北方检测出的“核辐射”菠菜上，碘131-的值不超过0.066微西弗，可以安全食用．数字0.066用科学记数法表示为（ ）． A ．10.6610-⨯ B ．26.610--⨯ C ．26.610-⨯ D ．26.610-⨯ 3．已知：如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连结EB ，ED ，当126BED ∠=︒时，EDA ∠的度数为（ ）． A ．54︒ B ．27︒ C ．36︒ D ．18︒4．若干名工人某天生产同一种玩具，生产的玩具数整理成条形图（如图所示）．则他们生产的玩具数的平均数、中位数、众数分别为（ ）． A ．5，5，4 B ．5，5，5 C ．5，4，5 D ．5，4，45．若22(3)0x y -+-=，则y x 的值为（ ）．A ．6B ．6-C ．8D ．8-6．小郭想给水店打电话，可电话号码中有一个数字记不清了，只记得8871348∙，小郭随意拨了一个数码补上，恰好是水店电话号码的概率为（ ）． A ．17 B ．18 C ．110 D ．197．已知：如图，⊙O 的半径为9，弦AB ⊥半径OC 于H ，2sin 3BOC ∠=，则AB 的长度为（ ）．A ．6B ．12C ．9D ．35第7题图 第8题图8．已知：如图，直线4y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）．A ．210B ．6C ．33D ．422+二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数122xy -=中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32882=a a a -+ ．11．已知：如图，P ⊙与x 轴切于点O ，点P 的坐标为(0,1)，点A 在P ⊙上，且在第一象限，150APO ∠=︒，P ⊙沿x 轴正方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点P 的坐标为 （结果保留π）．12．如图平面内有公共端点的五条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 从射线OA 开始，在射线上写出数字1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；…．按此规律，则“12”在射线 上；“2011”在射线 上．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：0182(2010π)4sin 45+----︒．14．用配方法解方程：23610x x --=．第11题图 第12题图15．已知：如图，四边形ABCD 是矩形，PBC △和QCD △都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内． （1）求PCQ ∠的度数； （2）求证：APB QPC ∠=∠．16．已知：112x y +=，求代数式353x xy y x xy y-+++的值．17．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式；（2）此二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，E 是x 轴上一点，若以E ，A ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点E 的坐标（不必写出过程）．x… 1-1 2 … 043…18．某楼盘准备以每平方米25000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格进行两次下调，最终以每平方米20250元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以每平方米20250元的均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①一次付清全款打九九折；②一次付清全款不打折，送五年物业管理费．如该楼盘物业管理费是每月2.3元/米2．请问哪种方案更优惠？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，6BC =，将线段DC 绕点D 逆．时针旋转90︒，得到线段'DC ．（1）求ADC '△的面积； （2）若2tan 5DAC '∠=，求AB 的长． 20．已知：如图，AF 为ABC △的角平分线，以BC 为直径的圆与边AB 交于点D ，点E 为弧BD 的中点，连结CE 交AB 于H ，AH AC =． （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若6AC =，10AB =，求EC 的长．金融教育15%理学15%工学20%其他15%21．据报道，全国硕士研究生2011年入学考试报考人数再一次达到历史高峰，以下是根据20082011年全国硕士研究生报考人数绘制的统计图．（1）请你根据统计图计算出20092011年这三年全国硕士研究生入学考试报考人数比上年增加值的平均数为 万人（结果保留整数）；（2）为了调查各专业报考人数，某网站进行了网上调查，并将调查结果绘制成扇形统计图，请你补全扇形统计图．．．．．．．并计算图中表示金融专业的扇形的圆心角为 度；若2012年全国硕士研究生报考人数按照（1）中的平均数增长，各专业报考人数所占比例与2011年相比基本保持不变，请你预测2012年全国硕士研究生入学考试报考金融专业的考生约有 万人（结果保留整数）．22．（1）已知：如图1，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，//EC AB ，//EB CD ．若1DEC S ∆=，3ABE S ∆=，则=BCE S ∆ ；若1DEC S S ∆=，2ABE S S ∆=，BCE S S ∆=，请直接写出S 与1S 、2S 间的关系式： ；（2）如图2，ABC △、DCE △、GEF △都是等边三角形，且A 、D 、G 在同一直线上，B 、C 、E 、F 也在同一直线上，4ABC S ∆=，9DCE S ∆=试利用．．（1．）中的结论．．．．得GEF △的面积为 ．2011年各专业报考人数扇形统计图 % 2008-2011年全国硕士研究生 入学考试报考人数统计图五、解答题（本题满分7分）23．已知：抛物线与x 轴交于(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于(0,4)C ．（1）求抛物线顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？六、解答题（本题满分7分）24．已知：如图，OAB △与OCD △为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，请你猜想OM 与AD 的数量关系： （直接写出答案，不必证明）； （2）如图2，在图1的基础上，将OCD △绕点逆时针旋转一个角度α（090α︒<<︒）． ①OM 与AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； ②求证：OM AD ⊥．七、解答题（本题满分8分）25．已知：如图，抛物线22y ax bx =+-交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，OC OA =，ABC △的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当点P 运动到点O 时，直线与点P 都停止运动．连结DP ，设点P 的运动时间为t 秒．①当t 为何值时，11ED OP+的值最小，并求出最小值； ②是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2011年石景山区中考二模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ADDBCCBA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．12x ≤； 10．22(21)a a -； 11．5(,1)6π； 12．OC ；OB ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式2=32+2142--⨯ =221-．14．解：原方程化为：21203x x --=212113x x -+=+24(1)3x -=∴12313x =+，22313x =-．15．证明：∵PBC △是等边三角形， ∴60PCB ∠=︒又∵四边形ABCD 是矩形 ∴90DCB ∠=︒∴30DCP ∠=︒同理QC ∠︒=∠30QCB ︒=∠30ABP ∴30PCQ ∠=︒∵PBC △是等边三角形， ∴PB PC =∵QCD △是等边三角形 ∴CD QC =四边形ABCD 是矩形 ∴AB DC = ∴AB QC =在PBA △和PCQ △中 BP CP PBA PCQ AB CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PBA PCQ ≅△△． ∴APB QPC ∠=∠．16．解：∵112x y+= 且0xy ≠ ∴2x y xy +=3533()5=x xy y x y xyx xy y x y xy-++-++++65=2+xy xyxy xy-1=3．17．解：（1）解法一：由图表知：抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,4) 设抛物线解析式为2(1)4y a x =-+ ∵抛物线交y 轴于点(0,3) ∴43a += 解得：1a =- ∴2(1)4y x =--+ 即：223y x x =-++． 解法二：由图表知：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x = 抛物线与x 轴交于点(1,0)-∴由抛物线的轴对称性可求抛物线与x 轴另一交点为(3,0) 设抛物线解析式为(3)(+1)y a x x =- ∵抛物线过点(0,3) ∴33a -= ∴1a =-∴此二次函数的解析式为223y x x =-++．（2）1(1,0)E ，2(4,0)E ，3(101,0)E -，4(101,0)E --．18．解：设平均每次下调的百分率为x ； 依题意，得：225000(1)20250x ⨯-= 解得：1 1.9x =，20.1x = 由题意得20.1x =答：平均每次下调的百分率为10%（2）方案一优惠费用：202501001%=20250⨯⨯ 方案二物业费：100 2.3125=13800⨯⨯⨯2025013800>答：选择方案一．19．解：（1）作出线段'DC过点D 作DF BC ⊥于F ，过点A 作AH BC ⊥于H ∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD BC ∥易证1(62)22FC BH ==-=90EDF ADF ∠=∠=︒过点'C 作'C E AD ⊥的延长线于点E∴'90DEC DFC ∠=∠=︒∵线段DC 绕点D 逆时针旋转90︒，得到线段'DC ∴'90CDC ∠=︒，'DC DC = ∴1390∠+∠=︒，2390∠+∠=︒ ∴12∠=∠∴'CFD C ED ≅△△ ∴'2EC FC ==∴'11'22222ADC S AD C E =⋅=⨯⨯=△． （2）在Rt 'AEC △中，2tan '5DAC ∠=，'2EC =∴5EA = ∵2AD = ∴3ED =由'CFD C ED ≅△△得： 3DF ED ==在Rt DFC △中，由勾股定理得：13CD = ∴13AB CD ==．20．解：（1）证明：连结BE ∵BC 为直径 ∴90E ∠=︒∴90EBH EHB ∠+∠=︒∵AH AC =，AF 为ABC △的角平分线 ∴AHC ACH ∠=∠ ∵AHC EHB ∠=∠ ∴EHB ACH ∠=∠ ∵点E 为弧BD 的中点 ∴ECB DBE ∠=∠ ∴90ECB ACH ∠+∠=︒ ∴AC 是⊙O 的切线321H EFC 'ABCD（2）∵AC 是⊙O 的切线∴90ACB ∠=︒∵6AC =，10AB =∴8BC =∵AH AC =∴4BH =又∵ECB DBE ∠=∠，E ∠为公共角∴BEH CEB ∽△△ ∴4182BE BH EC CB === ∴在Rt EBC △中，可得2221()2EC EC BC +=，1655EC =．21．（1）10万 （2）35%；126︒；56万22．（1）3；212S S S =⋅；（2）814．五、解答题（本题满分7分）23．（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-∵C 点坐标为(0,4) ∴12a =-． ∴解析式为2142y x x =-++，顶点D 坐标为9(1,)2（2）直线CD 解析式为y kx b =+． 则49+2b k b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得412b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴直线CD 解析式为142y x =+ (8,0)E -，(4,6)F 若抛物线向下移m 个单位，其解析式214(0)2y x x m m =-++->由21+42142y x x m y x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得211+022x x m --= ∵1=204m ∆-≥ ∴108m << ∴向下最多可平移18个单位． 若抛物线向上移m 个单位，其解析式21+4(0)2y x x m m =-++> 方法一：当8x =-时，36y m =-+当4x =时，y m =要使抛物线与EF 有公共点，则360m -+≤或6m ≤∴036m <≤方法二：当平移后的抛物线过点(8,0)E -时，解得36m =当平移后的抛物线过点(4,6)F 时，6m =由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度综上，要使抛物线与EF 有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移18个单位．六、解答题（本题满分7分）24．（1）猜想结论：12OM AD = （2）①结论仍成立证明：延长BO 到F ，使FO BO =．连结CF ，∵M 为BC 中点，O 为BF 中点，∴OM 为BCF △中位线 ∴12MO CF = ∵90AOB AOF COD ∠=∠=∠=︒∴AOD COF ∠=∠，AO OF =，CO DO =∴AOD FOC ≅△△∴CF AD = ∴12MO AD =． ②∵MO 为BCF △中位线 ∴MO CF ∥∴MOB F ∠=∠又∵AOD FOC ≅△△∴DAO F ∠=∠∵90MOB AOM ∠+∠=︒∴90DAO AOM ∠+=︒即OM AD ⊥．七、解答题（本题满分8分）25．解：（1）如图，由抛物线2+2y ax bx =-得：(0,2)C -∴2OA OC ==∴(2,0)A∵ABC △的面积为2∴2AB =∴(4,0)B∴设抛物线的解析式为(2)(4)y a x x =--，代入点(0,2)C - ∴抛物线的解析式为2113(2)(4)2442y x x x x =---=-+-； （2）由题意：CE t =2PB t =，42OP t =-∵ED AB ∥ 可证ED CE OB CO= 即42ED CE = ∴22ED CE t == ①211111+2422ED OP t t t t+==--+ ∵当1t =时，22t t -+有最大值1． ∴当1t =时，11ED OP+的值最小，最小值为1． ② 由题意可求：5CD t =，25CB = ∴255BD t =-∵PBD ABC ∠=∠∴以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABC △相似有两种情况 当BP BD AB BC =时，即2255225t t -= 解得：23t =当BP BP BD BA =时，即2252255t t=- 解得：107t =∴当23t =或107t =时，以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．2011年石景山区中考二模数学试卷答案部分解析一、选择题1. 【答案】A【解析】2的算术平方根是2，故选A ．2. 【答案】D【解析】0.066用科学记数法表示为26.610-⨯，选D ．3. 【答案】D【解析】∵CBE CED ≅△△，∴1632BEC DEC BED ∠=∠=∠=︒，45DAC ∠=︒， DEC DAC ADE ∠=∠+∠，18ADC ∠=︒，故选D ．4. 【答案】B 【解析】这组数据的平均数是43+54+63=510⨯⨯⨯，中位数是5，众数也是5，故选B ．5. 【答案】C 【解析】22(3)0x y -+-=，2x =，3y =，328y x ==，故选C ．6. 【答案】C【解析】09一共10个数字，随意拨一个，恰巧正确得概率是110，故选C ．7. 【答案】B【解析】⊙O 的半径为9，由垂径定理可知，AH BH =，2sin 3BH BOC OB ∠==，6BH =，12AB =，故选B ．8. 【答案】A【解析】分别作P 点与y 轴和4y x =-+的对称点F 、E ，连接EF 即为所求，(2,0)F -，(4,2)E ．222640210EF =+==．．故选A ．二、填空题9. 【答案】12x ≤【解析】函数122x y -=中，自变量x 的取值范围是即120x -≥，12x ≤． 故答案为：12x ≤．10. 【答案】22(21)a a -【解析】分解因式：3222882=2(441)2(21)a a a a a a a a -+-+=-． 故答案为：22(21)a a -．11. 【答案】5(,1)6π 【解析】P ⊙沿x 轴正方向滚动，点P 到x 轴的距离始终保持不变为1，弧AO 长为150π5π1806r l ︒⨯==︒，故5π(,1)6P ． 故答案为：5(,1)6π．12. 【答案】OC ；OB【解析】依题意可知，5个一循环，然后按照顺时针旋转，数字11落在射线OB 上，数字12则落在射线OC 上；2011=40215，即为第403个五角星起点所在的位置，而403=8035，第403个五角星起点所在的位置为OB ． 故答案为：OC ；OB ．。
2023年北京市石景山区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则( )A. B. C. D.3. 已知双曲线的离心率是2，则( )A. 12B.C.D.4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是( )A. B.C. D.5.设，，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则( )A. B. C. D.7. 若函数的部分图象如图所示，则的值是( )A. B. C. D.8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：与燃料的质量单位：，火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为( )A. B. C. D.9. 已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有( )A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条10. 已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线；②若点P到直线与到平面的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；③若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 向量，，若，则______ .12. 抛物线C：的焦点坐标为______ ，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为______ .13. 若的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为______ .14. 设函数①若，则的最大值为______ ；②若无最大值，则实数a的取值范围是______ .15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中给出下列四个结论：①若，则；②若，则满足条件的数列有4个；③存在的数列；④所有满足条件的数列中，首项相同.其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，在中，，，点D在边BC上，求AD的长；若的面积为，求AB的长.17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表.株高增量单位：厘米第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为厘米，求X的分布列和数学期望；用“”表示第k组鸡冠花的株高增量为“”表示第k组鸡冠花的株高增量为厘米，，2，3，直接写出方差，，的大小关系结论不要求证明18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点求证：；从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：；条件②：平面平面ABCD；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知椭圆C：过点，且离心率为求椭圆C的方程；过点且互相垂直的直线，分别交椭圆C于M，N两点及S，T两点.求的取值范围.20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求证：，若在上恰有一个极值点，求m的取值范围.21. 若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.①，当时，；②若存在某一项，则存在…，，使得且若，写出所有数列的前四项；若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；在所有的数列中，求满足的m的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，因为，得，解得，所以集合，所以故选：先将两个集合化简，用区间表示法表示，然后求并集即可．本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z对应的点的坐标为，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意可得，，，故选：根据双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．4.【答案】D【解析】解：A项，，则是奇函数，在定义域内没有单调性，不符合；B项，，则是偶函数，不符合；C项，，则是奇函数，，则在R上单调增，不符合；D项，，则是奇函数，在R上单调减，在R上单调增，则函数在定义域上单调减，符合．故选：利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：①当时，，，，，当且仅当时取等号，，充分性成立，②当时，比如，时，成立，但不成立，必要性不成立，是的充分不必要条件．故选：根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：由题意，令，，令，，令，，故选：根据题干递推公式先令，计算出的值，再令，计算出的值，最后令，，计算出的值，即可得到正确选项．本题主要考查数列由递推公式求某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，指数的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的解析式的求法，考查数形结合思想和运算能力，由图象可得，得，结合五点法可得，即可得的值．【解答】解：根据函数的部分图象，，所以，由图象可得，，得，故选8.【答案】D【解析】解：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，由题意可知，，，，，，即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为，故选：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，则，，结合对数的运算性质求出x的值即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由圆C：，得圆心，直线l：可化为，即直线过定点圆心到定点的距离为，直线l：被圆C：所截得的最短弦长为，又过定点的最长的弦长为10，过点垂直x轴的直线与圆C所截得的弦长恰好为不是整数，弦长为整数时直线l共有7条．故选：先确定直线过定点，再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，①连接，，由正方体的性质可得平面，而平面平面，点P的轨迹是一条直线BC，因此①正确；②设，，点P到直线与到平面的距离相等，，化为，动点P的轨迹是抛物线，因此②正确；③设，，，到直线的距离与到点C的距离之和为2，，化为动点P的轨迹是线段CD，因此③不正确．综上只有①②正确，故选：建立空间直角坐标系，①连接，，利用正方体的性质可得平面，平面平面，即可判断出点P的轨迹方程，进而判断出①的正误；②设，，根据点P到直线与到平面的距离相等，可得，化简即可得出动点P的轨迹方程，进而判断出②的正误；③设，，，根据P到直线的距离与到点C的距离之和为2，可得，化简即可判断出动点P的轨迹方程，进而判断出③的正误．本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定定理及性质定理、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，，，，，故答案为：利用向量的坐标运算求解即可．本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：抛物线C：中，所以焦点坐标为；由抛物线的定义可得故答案为：；根据抛物线标准方程可得焦点坐标，利用拋物线定义可得点M到抛物线焦点的距离．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．13.【答案】答案不唯一【解析】解：的展开式通项公式为，令，即，不妨取，即，故正整数n的一个取值为故答案为：答案不唯一先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，再结合n为正整数，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①若，则，，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数，故当时，的最大值为2；②，令，则，若无最大值，则，或，解得：故答案为：2，①将代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当时，的最大值为2；②若无最大值，则，或，解得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．15.【答案】①②④【解析】解：因为有限数列的各项均不小于的整数，所以，，，又因为，所以……，所以，且，为整数，所以，所以③错误，④正确；当时，得，所以，则，故①正确；当时，得，又因为，所以，则，所以，为整数，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，故数列可能为，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故②正确．故答案为：①②④．由题意可得…，所以，，从而可判断③，④；当时，得，所以，则，从而判断①；当时，可得，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，从而可得数列，即可判断②．本题考查了有穷数列的性质、不等式的性质，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】解：，，且，，根据正弦定理，可得；，，，得，又，由余弦定理得，【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求AD的值．由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求的值，根据余弦定理可求AB的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．17.【答案】解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米，所以估计为设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为，根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，，且；；；，则X的分布列为：X0123P所以，理由如下：，所以，；同理可得，所以【解析】根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定X所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．18.【答案】解：证明：底面ABCD是正方形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，平面ADF与PB交于点E，平面ADFE，平面平面，选条件①②，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；选条件①③，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，，，且两直线在平面内，可得平面PAB，平面PAB，则，，，且两直线在平面内，则平面ADEF，平面ADEF，则，，为等腰三角形，点E为PB的中点，，是等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；选条件②③，侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD，ABCD为正方形，，，，，，且两直线在平面内，则平面ADFE，平面ADFE，则，，是等腰三角形，为PB的中点，，是等腰直角三角形，且，即，，平面平面ABCDm平面平面，平面PAD，则平面ABCD，又ABCD为正方形，，，，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，点E为PB的中点，则，，，，设平面ADEF的法向量为，则，令，得，设平面PCD的法向量为，则，取，得，，平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为【解析】根据条件可以证明平面PBC，再利用线面平行的性质定理即可证明；选条件①②可以证明出AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果，选条件①②或②③，同样可以证明求解．本题考查线线平行的判定与性质、二面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为：；法设直线的参数方程为为参数，为直线的倾斜角，将直线的方程代入椭圆的方程可得：，整理可得：，设，分别为M，N的参数，可得，所以，因为，所以直线的参数方程为，即为参数，代入椭圆的方程可得，设，为S，T的参数，则，所以，所以，当时，则，当时，则综上所述：法当直线的斜率不存在时，则的斜率为0，可得直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，这时，直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，这时，这时；同理可得当直线的斜率不存在时，则的斜率为0时，；当两条直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，点在直线上，则，即，联立，整理可得：，P在椭圆内部，所以，，，则，同理可得，所以，，设，，同理可得，，，，所以，综上所述的取值范围为【解析】由过的点的坐标及离心率的值，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；法设直线，的参数方程代入椭圆的方程，可得M，N，S，T的参数，进而求出及的表达式，求出的代数式，由角的范围，可得它的取值范围；法两条直线的斜率不存在和斜率为0及直线的斜率都存在且都不为0三种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出的表达式，由题意可得的表达式，再求的表达式，进而可得它的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，参数方程的应用，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，又，所以切线l方程为，，因为，所以，，所以，所以，所以在单调递增，所以，，当时，所以，，由知，，所以在上单调递增．所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增，所以在单调递增，所以，，所以使得，所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增，故函数在上恰有一个极小值点，m的取值范围是【解析】当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的取值范围．本题主要考查利用导函数研究函数的极值和最值，属于中档题．21.【答案】解：由条件①知，当时，或，因为，由条件①知，所以数列的前四项为：1，，1，；1，，1，5；1，，3，；1，，3，7；若，数列是等差数列，由条件①知，当时，或，因为，所以假设数列中存在最小的正整数，使得，则，，，⋯，单调递增，由则，，，⋯，均为正数，且所以，由条件②知，则存在，使得，此时与，，，⋯，均为正数矛盾，所以不存在整数，使得，即，所以数列为首项为1，公差为4的等差数列．由及条件②，可得，，，⋯，，必为数列中的项，记该数列为，有，不妨令，由条件①，或均不为；此时或或或，均不为，上述情况中，当，时，，结合，则有由，得即为所求．【解析】先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数，使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．本题考查了数列的综合应用，属于中档题．。
2017年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a的相反数是（）A．a B．b C．﹣b D．c2．2016年9月15日天宫二号空间实验室在酒泉卫星发射中心发射成功，它的运行轨道距离地球393000米．将393000用科学记数法表示应为（）A．0.393×107B．3.93×105C．3.93×106D．393×1033．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．25° B．35° C．65° D．115°4．篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为（）A．B．C．D．5．已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．86．在一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球和4个白球，这些球除了颜色外无其他差别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．7．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．B．C．D．8．周末小石去博物馆参加综合实践活动，乘坐公共汽车0.5小时后想换乘另一辆公共汽车，他等候一段时间后改为利用手机扫码骑行摩拜单车前往．已知小石离家的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象大致如图．则小石骑行摩拜单车的平均速度为（）A．30千米/小时B．18千米/小时C．15千米/小时D．9千米/小时9．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km/L），如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是（）A．当行驶速度为40km/h时，每消耗1升汽油，甲车能行驶20kmB．消耗1升汽油，丙车最多可行驶5kmC．当行驶速度为80km/h时，每消耗1升汽油，乙车和丙车行驶的最大公里数相同D．当行驶速度为60km/h时，若行驶相同的路程，丙车消耗的汽油最少二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2x2﹣18= ．12．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y= ．13．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是m．14．如果x2+x﹣5=0，那么代数式（1+）÷的值是．15．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B 的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为．16．首都国际机场连续五年排名全球最繁忙机场第二位，该机场2012﹣2016年客流量统计结果如表：根据统计表中提供的信息，预估首都国际机场2017年客流量约万人次，你的预估理由是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：6sin60°﹣（）﹣2﹣+|2﹣|．18．解不等式组：并写出它的所有整数解．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CB的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AB=FC．20．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？21．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y=（m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．23．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．24．阅读下列材料：2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家议论的重点内容之一．北京自1984年开展大气监测，至2012年底，全市已建立监测站点35个.2013年，北京发布的首个PM2.5年均浓度值为89.5微克/立方米．2014年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值达到了国家新的空气质量标准；二氧化氮、PM10、PM2.5年均浓度值超标，其中PM2.5年均浓度值为85.9微克/立方米．2016年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值远优于国家标准；二氧化氮、PM10、PM2.5的年均浓度值分别为48微克/立方米、92微克/立方米、73微克/立方米．与2015年相比，二氧化硫、二氧化氮、PM10年均浓度值分别下降28.6%、4.0%、9.8%；PM2.5年均浓度值比2015年的年均浓度值80.6微克/立方米有较明显改善．（以上数据来源于北京市环保局）根据以上材料解答下列问题：（1）2015年北京市二氧化氮年均浓度值为微克/立方米；（2）请你用折线统计图将2013﹣2016年北京市PM2.5的年均浓度值表示出来，并在图上标明相应的数据．25．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且点C在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点E是⊙O上一点，连接BE，CE．若∠BCE=42°，cos∠DAC=，AC=m，写出求线段CE长的思路．26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是．（填写序号即可）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A．（1）求顶点A的坐标；（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C 两点．①当a=2时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．28．在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．29．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的为；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．2017年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a的相反数是（）A．a B．b C．﹣b D．c【考点】29：实数与数轴；28：实数的性质．【分析】根据相反数的意义求解即可．【解答】解：a=﹣2，c=2，a的相反数是c，故选：D．2．2016年9月15日天宫二号空间实验室在酒泉卫星发射中心发射成功，它的运行轨道距离地球393000米．将393000用科学记数法表示应为（）A．0.393×107B．3.93×105C．3.93×106D．393×103【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将393000用科学记数法表示为：3.93×105．故选：B．3．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．25° B．35° C．65° D．115°【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠1+∠ABC+∠2=180°，再根据BC⊥AB，∠1=65°，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°，又∵BC⊥AB，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°，故选：A．4．篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意；故选：B．5．已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：C．6．在一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球和4个白球，这些球除了颜色外无其他差别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率==．故选B．7．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．B．C．D．【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是长方形可判断出此几何体为四棱柱．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个矩形，∴此几何体为四棱柱．故选：A．8．周末小石去博物馆参加综合实践活动，乘坐公共汽车0.5小时后想换乘另一辆公共汽车，他等候一段时间后改为利用手机扫码骑行摩拜单车前往．已知小石离家的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象大致如图．则小石骑行摩拜单车的平均速度为（）A．30千米/小时B．18千米/小时C．15千米/小时D．9千米/小时【考点】E6：函数的图象．【分析】根据函数图象得出小石骑行摩拜单车的路程为：（10﹣4）km，行驶的速度为：（1﹣0.6）小时，进而求出速度即可．【解答】解：由题意可得，小石骑行摩拜单车的平均速度为：（10﹣4）÷（1﹣0.6）=15（千米/小时），故选：C．9．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】N2：作图—基本作图；KB：全等三角形的判定．【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【解答】解：在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选D．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km/L），如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是（）A．当行驶速度为40km/h时，每消耗1升汽油，甲车能行驶20kmB．消耗1升汽油，丙车最多可行驶5kmC．当行驶速度为80km/h时，每消耗1升汽油，乙车和丙车行驶的最大公里数相同D．当行驶速度为60km/h时，若行驶相同的路程，丙车消耗的汽油最少【考点】E6：函数的图象．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：A、当行驶速度为40km/h时，每消耗1升汽油，甲车能行驶15km，错误；B、消耗1升汽油，丙车最多可行驶大于5km，错误；C、当行驶速度为80km/h时，每消耗1升汽油，乙车和丙车行驶的最大公里数相同，正确；D、当行驶速度为60km/h时，若行驶相同的路程，甲车消耗的汽油最少，错误；故选C二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2x2﹣18= 2（x+3）（x﹣3）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）12．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y= ﹣x2+2x（答案不唯一）．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数的性质分析其a，c的值进而得出答案．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线过坐标原点，∴c=0，∴答案不唯一，如y=﹣x2+2x．故答案为：y=﹣x2+2x（答案不唯一）．13．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是 4.8 m．【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影．【分析】设此树的高度是hm，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设此树的高度是hm，则=，解得h=4.8（m）．故答案为：4.8．14．如果x2+x﹣5=0，那么代数式（1+）÷的值是 5 ．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先将原式化简，然后将x2+x=5代入即可求答案．【解答】解：当x2+x=5时，∴原式=×=x2+x=5故答案为：515．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B 的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为（5，120°）．【考点】D3：坐标确定位置．【分析】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．【解答】解：由图可知，图中目标D的位置可记为（5，120°）．故答案为：（5，120°）．16．首都国际机场连续五年排名全球最繁忙机场第二位，该机场2012﹣2016年客流量统计结果如表：根据统计表中提供的信息，预估首都国际机场2017年客流量约9823 万人次，你的预估理由是由之前连续3年增长率预估2017年客流量的增长率约为4.5% ．【考点】V5：用样本估计总体．【分析】计算出之前连续3年客流量的增长率，估计出2017年客流量的增长率，据此可得答案．【解答】解：∵2012～2013年客流量的增长率为×100%≈2.19%，2013～2014年客流量的增长率为×100%≈2.89%，2014～2015年客流量的增长率为×100%≈4.42%2015～2016年客流量的增长率为×100%≈4.51%，∴预估2017年的客流量增长率约为4.5%，即2017年客流量约为9400×（1+4.5%）=9823（万人次），故答案为：9823，由之前连续3年增长率预估2017年客流量的增长率约为4.5%．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：6sin60°﹣（）﹣2﹣+|2﹣|．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方和开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：6sin60°﹣（）﹣2﹣+|2﹣|=6×﹣9﹣2+2﹣=3﹣9﹣2+2﹣=﹣718．解不等式组：并写出它的所有整数解．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．【解答】解：解不等式①，得x≥﹣2．解不等式②，得x＜1．∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜1．∴原不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CB的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AB=FC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】欲证明AB=CF只要证明△AEB≌△FEC即可；【解答】证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠F，∠B=∠2，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△AEB和△FEC中，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC．20．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设良马x天能够追上驽马．根据题意得：240x=150×（12+x），解得：x=20．答：良马20天能够追上驽马．21．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（2m﹣3）2﹣4（m﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）根据题意得m≠0且△=（2m﹣3）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤且m≠0；（2）∵m为正整数，∴m=1，∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=﹣1．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y=（m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．【解答】解：（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．∴双曲线的表达式为y=﹣．∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，∴点B的坐标为（﹣3，2）．∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），∴解得，∴直线的表达式为y=﹣x﹣1；（2）符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．23．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．【考点】LA：菱形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【分析】（1）方法一：连接AC，利用角平分线判定定理，证明DA=DC即可；方法二：只要证明△AEB≌△AFD．可得AB=AD即可解决问题．（2）在Rt△ACF，根据AF=CF•tan∠ACF计算即可．【解答】（1）证法一：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，∴∠ACF=∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACB．∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四边形ABCD是菱形．证法二：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠A FD=90°，又∵AE=AF，∴△AEB≌△AFD．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABVD是菱形，∴∠ACF=60°，在Rt△CFA中，AF=CF•tan∠ACF=2．24．阅读下列材料：2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家议论的重点内容之一．北京自1984年开展大气监测，至2012年底，全市已建立监测站点35个.2013年，北京发布的首个PM2.5年均浓度值为89.5微克/立方米．2014年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值达到了国家新的空气质量标准；二氧化氮、PM10、PM2.5年均浓度值超标，其中PM2.5年均浓度值为85.9微克/立方米．2016年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值远优于国家标准；二氧化氮、PM10、PM2.5的年均浓度值分别为48微克/立方米、92微克/立方米、73微克/立方米．与2015年相比，二氧化硫、二氧化氮、PM10年均浓度值分别下降28.6%、4.0%、9.8%；PM2.5年均浓度值比2015年的年均浓度值80.6微克/立方米有较明显改善．（以上数据来源于北京市环保局）根据以上材料解答下列问题：（1）2015年北京市二氧化氮年均浓度值为50 微克/立方米；（2）请你用折线统计图将2013﹣2016年北京市PM2.5的年均浓度值表示出来，并在图上标明相应的数据．【考点】VD：折线统计图．【分析】（1）根据降低率，可得答案；（2）根据每年的数值，可得答案．【解答】解：（1）设2015年北京市二氧化氮年均浓度值为x微克/立方米，根据题意，得（1﹣4%）x=48，解得x=50，故答案为：50；（2）2013﹣2016年北京市PM2.5的年均浓度值折线统计图．25．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且点C在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点E是⊙O上一点，连接BE，CE．若∠BCE=42°，cos∠DAC=，AC=m，写出求线段CE长的思路．【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连接OC，如图1中．只要证明OC∥AD，由AD⊥CD，即可证明OC⊥CD解决问题．（2）过点B作BF⊥CE于F，如图2中．①在Rt△ACB中，根据BC=AC•tan∠CAB，求出BC．②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；④由CE=CF+EF，可求CE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图1中．∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴AD∥OC，∴∠OCD=∠D=90°，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）求解思路如下：过点B作BF⊥CE于F，如图．①在Rt△ACB中，根据BC=AC•tan∠CAB，求出BC．②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；④由CE=CF+EF，可求CE的长．26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B= 64 °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是 C ．（填写序号即可）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（2）延长BC交AD于点M，根据三角形的外角的性质即可解决问题．（3）利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．（3）结论：四边形EFGH是矩形．利用三角形的中位线定理，首先证明是平行四边形，再证明有一个角是90度即可．【解答】解：（2）延长BC交AD于点M∵∠BCD是△CDM的外角，∴∠BCD=∠CMD+∠D，同理∠CD是△ABM的外角，∴∠CMD=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；（2）如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．由（2）可知，，解得x=64°故答案为64．（3）四边形EFGH是矩形，证明：连接AC，BD，交EH于点M，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=AC，EF∥HG∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB=AD，BC=DC，∴A、C在BD的垂直平分线上，∴AM⊥EH，已证EF∥AC，同理可证FG∥BD，∴∠EFG=90°，∴□EFGH是矩形；故答案为C．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A．（1）求顶点A的坐标；（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C 两点．①当a=2时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】（1）配方得到y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，于是得到结论；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．令y=5得到2x2﹣8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2﹣4ax+4a﹣3=5，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，∴顶点A的坐标为（2，﹣3）；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．令y=5，得2x2﹣8x+5=5，解得，x1=0，x2=4，∴线段BC的长为4，②令y=5，得ax2﹣4ax+4a﹣3=5，解得，x1=，x2=，∴线段BC的长为，∵线段BC的长不小于6，∴≥6，∴0＜a≤．28．在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，由正方形的性质得出∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，由SAS证明△MBE≌△FBE，得出EM=EF，证出∠4=∠5，由SAS证明△AMB≌△CFB，得出AM=FC，∠6=∠2=45°，证出∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，由勾股定理即可得出结论；（2）过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接ME、MF、AM，同（1）得：△MBF≌△EBF，得出MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE，得出AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，证出∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，得出∠MAF=90°，在Rt△MAF中，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：②AE2+FC2=EF2；理由如下：过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，。
北京市石景山区2023届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤≤，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（ ）A ．[]22-,B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（ ） A ．12i -- B ．2i -- C ．12i -+ D ．2i -3．已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（ ）A．12 B ．C D4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+ D ．()()1e e 2x xf x -=-5．设0x >，0y >，则“2x y +=”是“1xy ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 满足：对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则10a =（ ） A ．43B ．53C ．63D ．103【答案】B【分析】根据对任意的,m n *∈N ，有m n m n a a a +=，且23a =，求得48,a a 的值，即可得10a 的值.【详解】对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，所以222249a a a a ===，则2444881a a a a ===，所以510283813a a a ==⨯=.故选：B.7．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=， 则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A.8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A ．202t B ．200t t +C ．02tD ．2002t t +【答案】D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，9．已知直线l :220kx y k --+=被圆C :()22125x y ++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为正方形ABCD 所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P 总满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线；②若点P 到直线1BB 与到平面11CDD C 的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线； ③若点P 到直线1DD 的距离与到点C 的距离之和为2，则动点P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足11PD DC ⊥的动点P 的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点P 的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案. 【详解】对于①，如图在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,BD CD ，在正方体中，因为四边形11CDD C 为正方形，所以11DC CD ⊥， 又BC ⊥平面11CDD C ，1DC ⊂平面11CDD C ，所以1BC DC ⊥， 又11,,CD BC C CD BC ⋂=⊂平面1BCD ，所以1DC ⊥平面1BCD ，平面1BCD ⋂平面ABCD BC =，P ∈平面ABCD ，点P 总满足11PD DC ⊥， 所以P ∈平面1BCD ，所以P BC ∈，则动点P 的轨迹是一条直线，故①正确；对于②，1BB ⋂平面ABCD B =,P ∈平面ABCD ，则点P 到直线1BB 等于P 到B 的距离， 又P 到平面11CDD C 的距离等于P 到DC 的距离，则P 到B 的距离等于P 到DC 的距离，由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线，故②正确；对于③，点P 到直线1DD 的距离等于P 到D 的距离，所以P 到D 的距离与到点C 的距离之和为2，即2PD PC DC +==，则点P 的轨迹为线段DC ，故③不正确. 所以正确的命题个数是2. 故选：C.二、填空题11．向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则tan θ=_________. 【答案】12##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得cos 2sin θθ=，利用同角三角函数的商数关系θ【详解】向量(2sin a θ=，()1,1b =，若//a b ，则2sin sin 2sin θθ=.12．若nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.13．项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个； ③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________.一列举得数列{}n a ，即可判断②.【详解】由于有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，所以1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈，又因为123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，所以()()123231112312222222121k k k k k k k k a a a a a -------⋅=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+≤++++=-所以1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭，且10a ≠，1a 为整数，所以11a =-，故③不正确，④正确；当2k =时，得1220a a +=，所以11a =-，则22a =，故①正确；当3k =时，得123420a a a ++=，因为11a =-，所以2324a a +=，则23245a a =-≤， 所以2512a -≤≤，2a 为整数，则2a 的可能取值为1,012-,,，对应的3a 的取值为6,4,2,0， 故数列{}n a 可能为1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-，共4个，故②正确. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的性质入手1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈从各项1n a ≥-，结合不等式放缩，确定1a 的范围，从而得1a 的值，逐项验证即可.三、解答题14．如图，在ABC 中，42AC =，π6C =，点D 在边BC 上，1cos 3ADB ∠=.(1)求AD 的长；(2)若ABD △的面积为2AB 的长. 【答案】(1)3AD = (2)3AB =15．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(]7,10厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(]7,10厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]4,10，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]10,16厘米，1,2,3k =，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ的大小关系.（结论不要求证明）)1125=)29100=所以21112936012310025100505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）132D D D ξξξ<< 理由如下： ()()1129111,04040P P ξξ====，所以22112911292929291131910,10404040404040401600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()2220111,04022P P ξξ=====，所以22221111111140010,10222222241600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3325531,04088P P ξξ=====，所以223353555531537510,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以132D D D ξξξ<<.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .(1)求证：//EF AD ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)π3【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD . （2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==， 设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =， 则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，可得(1,0,1)n =-设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则 2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.，所以PAB 为等腰三角形，所以点，所以PAB 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且AD ABCD ，，所以PAB 为等腰三角形，所以点17．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P -且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.18．已知函数()()e 1sin xf x m x m =--∈R .(1)当1m =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ⅱ）求证：0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x >.(2)若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极值点，求m 的取值范围.1m 时，所以)e x x m =-1m 时，f 时，(f x 'x 与y =-0f x，因此π2⎫⎪⎭上恰有一个极小值点，19．若无穷数列{}n a 满足以下两个条件，则称该数列为τ数列. ①11a =，当2n ≥时，122n n a a --=+；②若存在某一项5m a ≤-，则存在{}1,2,,1k m ∈⋅⋅⋅-，使得4k m a a =+（2m ≥且m *∈N ）. (1)若20a <，写出所有τ数列的前四项；(2)若20a >，判断τ数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的τ数列中，求满足2021m a =-的m 的最小值.【答案】(1)τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7- (2)τ数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析 (3)m 的最小值为1517【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a <得21a =-，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a >得25a =，利用反证法假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；（3）先根据条件②可得()431506n b n n =-+≤≤必为数列{}n a 中的项，再结合条件①可得31n n a b -=分析即可．【详解】（1）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a <，由条件①知21a =-，所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （2）若20a >，τ数列是等差数列由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a >，所以25a =假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-， 则1231,,,,i a a a a -单调递增，由11a =则1231,,,,i a a a a -均为正数，且125i a a -≥=.所以15i i a a -=-≤-.由条件②知，则存在 {}1,2,3,,1k i ∈-，使得41k i a a =+≤-此时与1231,,,,i a a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+. 所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （3）由2021m a =-及条件②, 可得1,5,9,,2017,2021-----必为数列{}n a 中的项，记该数列为{}n b ，有()431506n b n n =-+≤≤，不妨令n j b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+均不为141n b n +=--； 此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--= 结合11a =，则有31n n a b -=.由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求.四、双空题20．抛物线C ：24x y =的焦点坐标为_________，若抛物线C 上一点M 的纵坐标为2，则点M 到抛物线焦点的距离为_________.21．设函数()33,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.。
