2021北京高三一模数学试卷含答案石景山

高考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）a ．b ．c ．ACDE FB下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分又因为EDBD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则0n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P 或(0,P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2021年北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（ ） A ．√3 B ．2 C ．2√3 D ．33．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．44．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 5．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线是黄金双曲线；③在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1B 1A 2=90°,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线x 2a −y 2b =1中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON =120°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④二、填空题9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=___________．10．如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ,CD 的延长线交于点P ，若PA =4，PD =5，则∠CBD = .xy ．． 1 1O ． ． ． ． z212211．设不等式组{y ≤1,x +y ≥0,x −y −2≤0 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆x 2+y 2=1内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=x y．13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）．14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.（Ⅰ）求函数()f α的值域；（Ⅱ）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2021年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=x −alnx ，g(x)=−1+a x (a ∈R)．（Ⅰ）若a =1，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的单调区间；（Ⅲ）若在区间[1,e] ( e =2.71828......)上不存在x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率e =√22，短轴长为2√2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ） 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③1211......n n a a a a +=<<<<<．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； （Ⅱ）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．参考答案1．A 【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆,故选A . 考点：1.集合的包含关系；2.集合的基本运算. 2．C 【解析】试题分析：在平面直角坐标系中，圆ρ=2即x 2+y 2=4，直线ρsinθ=1即y =1，所以直线被圆截得的弦长为2√22−12=2√3.故选C . 考点：1.极坐标；2.直线与圆的位置关系. 3．C 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k ，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5．A【解析】试题分析：二项式621(2)x x +展开式的通项为666216621C (2)()2C r r r r r r r T x x x---+==，令620,r -=得2r =，所以常数项为6226652C 1624021-⨯=⨯=⨯，选A .考点：二项式定理. 6．C 【解析】试题分析：设公差为d,由已知d =1k −1mm−k =1mk ,a 1=a k −(k −1)d =1m −(k −1)⋅1mk =1mk ,所以，S mk =mka 1+mk(mk−1)2d =mk ⋅1mk +mk(mk−1)2⋅1mk =mk+12,选C .考点：等差数列及其求和公式. 7．D 【解析】试题分析：如图所示，根据给定点的坐标，描出各点，得到四面体ABCD ，其中面BCD ⊥平面xoy ，面BCD ⊥平面,//yoz AD 平面xoy .所以，由三视图画图规则，其正视图、俯视图分别为④、②，选D .考点：1.空间直角坐标系；2.三视图. 8．B 【解析】试题分析：双曲线的离心率为e =√1+b 2a 2=√1+√5−12=√√5+12，所以①不正确；双曲线的离心率为e =√1+b 2a 2=√1+√5+121=√6+2√54=√(√5+1)24=√5+12②正确；故结合选项，可排除A,C,D .选B .考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.9．【解析】试题分析：因为1z i=+，所以，z 1i =-，1z z z ⋅+-=(1)(1)|1|1211i i i +-+--=+=.考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算. 10．∠CBD =π6. 【解析】试题分析：由割线定理知PA ⋅PB =PC ⋅PD ⇒PC =8，，ΔCOD 为正三角形，，由圆的性质，圆周角等于圆心角的一半，得∠CBD =π6. 考点：割线定理、圆的性质. 11．π8【解析】试题分析：画出可行域及圆x 2+y 2=1（如图）.可行域恰为等腰直角三角形，由{y =1x +y =0解得x =−1,y =1.计算点(−1,1)到直线x −y −2=0的距离得，√12+(−1)2=2√2,所以可行域面积为12×2√2×2√2=4，而圆x 2+y 2=1在可行域内恰为半圆，面积为域为π2，故点M 落在区域D 内的概率为π24=π8.考点：1.简单线性规划；2.几何概型；3.直线交点及距离公式. 12．112【解析】试题分析：设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c xa yb x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，=x y 112. 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理. 13．180 【解析】试题分析：由题意知，甲乙两人从6门课程中各选修3门总的方法数是3366400C C =,其中甲乙所选课程全不相同，有336320C C =；甲乙所选课程有一门相同，有122653180C C C =；甲乙所选课程有三门相同，有3620C =；所以，甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有：4002018020180.---=考点：1.分类计数原理；2.简单组合问题. 14．③④ 【解析】试题分析：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①1{()|}M x y y x==，，假设集合M 是“垂直对点集”，则存在两点121211()()x x x x ，，，，满足1212111x x x x ⋅=-，化为22121x x ⋅=-，无解，因此假设不成立，即集合M 不是“垂直对点集”;②2{()|log }(0)M x y y x x ==>，，，取(10)，，则不存在点2222(log )(0)x x x >，，满足2100x ⨯+=，因此集合M 不是“垂直对点集”；③{()|2}xM x y y e ==-，，结合图象可知：集合M 是“垂直对点集”；④{}()|sin 1M x y y x ==+，，结合图象可知：集合M 是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”． 故答案为③④．考点：点到直线的距离公式．【思路点睛】本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 15．（Ⅰ）()f α∈. （Ⅱ）1b =.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=，从而可得()sin cos )4f παααα=+=+，根据3(,)444πππα+∈，即得解；（Ⅱ）由()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，得到4C π=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，计算即得. 试题解析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， 3分所以()sin cos )4f παααα=+=+， 5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. 7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， 9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. 13分 考点：1.单位圆；2.两角和与差的三角函数；3.三角函数的图象和性质；4.余弦定理的应用. 16．（Ⅰ）x =82，D 东部<D 西部 ； （Ⅱ）ξ的分布列为：Eξ=1×15+2×35+3×15=2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格计算得到x =82，比较可得D 东部<D 西部； （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． ξ的所有可能取值为：1, 2, 3．计算P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15,P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35，P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15． 即得∴ξ的分布列为及数学期望．试题解析：（Ⅰ）x =822分 D 东部<D 西部 4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1, 2, 3． 5分 ∵P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15,P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35，P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15． 11分∴ξ的分布列为：所以Eξ=1×15+2×35+3×15=2． 13分考点：1.随机变量的分布列及其数学期望;2.频率分布表. 17．（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）P(0,√63,√63)或P(0, −√63, −√63). 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设平面ADEF ⊥平面ABCD 及正方形ADEF 可知ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC因此要证BC ⊥平面BDE ，只要用勾股定理证明BD ⊥BC 即可；也可以利用DE,DA,DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证明；（Ⅱ）利用DE,DA,DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)是平面BEF 的一个法向量，则由{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅Eb ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 求出向量n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点P 的坐标． 试题解析： （Ⅰ）解法一：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 1分 又因为BC ⊂平面ABCD 所以ED ⊥BC 2分 在直角梯形ABCD 中BC 2=22+22=8,BD 2=AB 2+AD 2=22+22=8,CD 2=42=16所以，CD 2=BC 2+BD 23分 所以，BD ⊥BC 4分 又因为ED ∩BD =D所以BC ⊥平面BDE ． 5分 解法二：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 1分 所以DE,DA,DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA,DC,DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D −xyz则D(0,0,0),E(0,0,2),B(2,2,0),C(0,4,0) BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)2分 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =03分 所以，BC ⊥DE,BC ⊥DB 4分 又因为ED ∩BD =D 所以BC ⊥平面BDE ． 5分（Ⅱ）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 所以DE,DA,DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA,DC,DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz则D(0,0,0)A(2,0,0),E(0,0,2),B(2,2,0),F(2,0,2) EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)6分 设P(0,y,z)，则|y|=|z|令n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)是平面BEF 的一个法向量，则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅Eb ⃗⃗⃗⃗⃗ =0所以{2x ′=02x ′+2y ′−2z ′=0，令y ′=1，得{x ′=0y ′=1z ′=1 所以n ⃗ =(0,1,1)8分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30∘， 所以AP 与n ⃗ =(0,1,1)所成的角为60∘或120∘ 所以|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√4+y 2+z 2⋅√2=1210分所以y 2+z 2+4yz −4=0⋯⋯⋯(∗) 又因为|y|=|z|，所以y =z 或y =−z 11分 当y =−z 时，（*）式无解 当y =z 时，解得：y =z =±√6312分 所以，P(0,√63,√63)或P(0,−√63,−√63)13分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在立体几何中的应用． 18．(Ⅰ)f(x)的极小值为f(1)=1(Ⅱ)ℎ(x)在(0,1+a)上递减，在(1+a,+∞)上递增 (Ⅲ)−2≤a ≤e 2+1e−1【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，最后根据符号变化规律确定极值（2）先求导数，再因式分解，根据因子符号确定函数单调区间（3）先求命题的否定：区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立，转化为对应函数最值当x∈[1,e]时，ℎ(x)min<0，再根据函数单调性确定函数最值，即得实数a的取值范围.最后根据补集得满足条件的实数a的取值范围.试题解析：（I）当a=1时，f(x)=x−ln x⇒f′(x)=x−1x>0⇒x>1，列极值分布表∴f(x)在（0,1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴f(x)的极小值为f(1)=1；（II）ℎ(x)=x−a ln x+1+ax ∴ℎ′(x)=(x+1)[x−(1+a)]x2①当a≤−1时，ℎ′(x)>0,∴ℎ(x)在（0，+∞）上递增；②当a>−1时，ℎ′(x)>0⇒x>1+a，∴ℎ(x)在（0,1+a）上递减，在(1+a,+∞)上递增；（III）先解区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)<0在[1,e]上有解⇔当x∈[1,e]时，ℎ(x)min<0由（II）知①当a≤−1时，ℎ(x)在[1,e]上递增，∴ℎmin=ℎ(1)=2+a<0⇒a<−2∴a<−2②当a>−1时，ℎ(x)在（0,1+a）上递减，在(1+a,+∞)上递增当−1<a≤0时，ℎ(x)在[1,e]上递增，∴ℎmin=ℎ(1)=2+a<0⇒a<−2∴a无解当a≥e−1时，ℎ(x)在[1,e]上递减∴ℎmin=ℎ(e)=e−a+1+ae ⟨0⇒a⟩e2+1e−1，∴a>e2+1e−1；当0<a<e−1时，ℎ(x)在[1,1+a]上递减，在(1+a,e)上递增∴ℎmin=ℎ(1+a)=2+a−a ln(1+a)令F(a)=2+a−a ln(1+a)a =2a+1−ln(1+a)，则F′(a)=−2a2−11+a<0∴F(a)在(0,e−1)递减，∴F(a)>F(e−1)=2e−1>0，∴F(a)<0无解，即ℎmin=2+a−a ln(1+a)<0无解；综上：存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立，实数a的取值范围为：a<−2或a>e2+1e−1.所以不存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，实数a的取值范围为.点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集ϕ的对立面（如f(x)>m 的解集是空集，则f(x)≤m 恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a 恒成立⇔a >f(x)max ，f(x)>a 恒成立⇔a <f(x)min . 19．（Ⅰ）x 24+y 22=1．（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)．证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长为2√2，得b =√2，由e =c a=√a 2−b 2a=√22，得a 2=4,b 2=2．（Ⅱ）设P(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0)，则有x 02+2y 02=4，从而直线PA 方程y =y 0x 0+2(x +2)，得到M(0,2y 0x0+2)，由直线QA 方程y =y 0x 0−2(x +2)，得到N(0,2y 0x 0−2)，以MN 为直径的圆x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0， 根据x 02−4=−2y 02，得到x 2+y 2+2x 0y 0y −2=0，令y =0，解得x =±√2即知以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 试题解析：（Ⅰ）由短轴长为2√2，得b =√2， 1分 由e =ca =√a 2−b 2a=√22，得a 2=4,b 2=2． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1． 4分（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 5分 证明如下：设P(x 0,y 0)，则Q(−x 0,−y 0)，且x 024+y 022=1，即x 02+2y 02=4，∵A(−2,0)，∴直线PA 方程为：y =y 0x 0+2(x +2)，∴M(0,2y 0x0+2)6分直线QA 方程为：y =y 0x−2(x +2)，∴N(0,2y 0x 0−2)， 7分以MN 为直径的圆为(x −0)(x −0)+(y −2y 0x 0+2)(y −2y 0x 0−2)=010分【或通过求得圆心O ′(0,2x 0y 0x 02−4)，r =|4y 0x2−4|得到圆的方程】即x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0，∵x 02−4=−2y 02，∴x 2+y 2+2x 0y 0y −2=0， 12分令y =0，则x 2−2=0，解得x =±√2. ∴以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 14分考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的方程. 20．（Ⅰ）1,4,7； （Ⅱ）84；（Ⅲ）*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈,2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.【解析】试题分析：（Ⅰ）1,4,7; （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b 进一步计算即得. （III ）首先由1111a S c ==+=得0c = 当2n ≥时，可得*21()n a n n N =-∈ 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 由使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，得到*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈.当*21()m t t N =-∈时，当*2()m t t N =∈时分别求和即得. 试题解析：（Ⅰ）1,4,7； 3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b8分（Ⅲ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ 9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+11分 当*2()m t t N =∈时： 2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩13分考点：1.数列的求和；2.新定义；3.数列的通项；4.不等式恒成立问题.。

北京市石景山区2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r .【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题3．ABC ∆中，5BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．2C ．65D ．2【答案】D 【解析】 【分析】在ABD ∆中，由正弦定理得10sin 10B =；进而得5cos cos 45ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC . 【详解】在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BDB π=，得10sin B =，又BD AD >，所以B 为锐角，所以310cos B =5cos cos 4ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭ 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.4．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r（ ）A B ．C D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.5．已知向量(22cos m x =r，()1,sin2n x =r ，设函数()f x m n =⋅r r，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f(x)不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f(x)关于点5(,1)12π对称； f(x)得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f(x)在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.7．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21 B ．﹣24C ．85D ．﹣85【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得a 1q 4＝16，a 12q 5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n 项和公式解答即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 5＝16，a 3a 4＝﹣32， ∴a 1q 4＝16，a 12q 5＝﹣32， ∴q ＝﹣2，则11a =，则881[1(2)]8512S ⨯--==-+，故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 9．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．10．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q ()55(1)5513451222i i z i z i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22-，∴z 对应的点位于复平面的第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 11．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.12．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5(,]2-∞- B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-【答案】B 【解析】 【分析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率10m-<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意； 当0m <时，直线10x my ++=的斜率10m->，不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率12AD k m -≤=，解得12m ≤-. 综上可得实数m 的取值范围为1(,]2-∞-， 故选：B. 【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021北京石景山高三一模数学本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（ 1 ）已知集合，，则（A）（B）（C）{1,3,5}（D）（ 2 ）下列函数中，是奇函数且最小正周期的是（A）（B）（C）（D）（ 3 ）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（ 4 ）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ 5）“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（ 6）已知菱形A B C D的边长为，，则＝（A）（B）（C）（D）（ 7 ）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段A B的中点，则 | A B |=（A）1（B）2（C）3（D）4（ 8 ）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有（A）个（B）个（C）个（D）个（ 9 ）已知若在上恒成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△A B C，A B＝A C＝4，点B()，点C()，且其“欧拉线”与圆M：相切．则圆M上的点到直线的距离的最小值为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）双曲线的离心率为__________．（12）已知函数，若，，，则从小到大排序为__________．（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的的值．_______，_______，_______，_______．（14）在锐角△中，，则__________，__________．（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过A I技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为（），其中；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）如图，在五面体中，面为正方形，面面，，．（Ⅰ）求证：C D∥平面A B F E；（Ⅱ）若，，求平面与平面所成的锐二面角的大小．\（17）（本小题13分）已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）数列中的最大项．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X 表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，且经过点和点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）和是椭圆上两个不同的点，四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值．门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591217192321.515已知函数．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）已知对任意恒成立，求的值．（21）（本小题15分）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合M为“满集”.（Ⅰ）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；（Ⅱ）若集合M为“满集”，求的值；（Ⅲ）若是首项为1公比为的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2021北京石景山高三一模数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案A C C B B D D B C A 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．（11）；（12）（13）答案不唯一；（14）（15）①④．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）在五面体中，因为面是正方形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为面是正方形，所以.又因为.又，所以平面又因为平面，所以．因为面是正方形，所以．又因为，所以以点为坐标原点，,,分别为,,轴，如图建立空间直角坐标系．因为，，,，.由（Ⅰ）平面，平面，平面平面，所以．所以.可得.由题意知平面的法向量为设平面的法向量为.由得令，得，,所以设平面与平面所成锐二面角为.．所以平面与平面所成锐二面角为（17）（本小题13分）选择条件①：解：（Ⅰ）因为的前20项成等差数列，，所以解得．所以．因为数列后11项成公比为的等比数列，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递增数列．即:前20项的最大项为．数列的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列．即:后11项的最大项为综上，数列的最大项为第20项，其值为40．选择条件②：解：（Ⅰ）因为的前20项成等差数列，，所以所以因为数列后11项成公比为的等比数列，，又因为，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为．因为．i.当时，，所以当时，．此时，数列的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当时，，后11项的最大项为.此时，数列的最大项为第21项，其值为18．综上，当时，数列的最大项为第1项，其值为2；当时，数列的最大项为第21项，其值为18．选择条件③：解：（Ⅰ）因为数列后11项成公比为的等比数列，，所以，解得．所以．又因为的前20项成等差数列，，所以．综上，．（Ⅱ）的前20项成等差数列，．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为．的后11项成等比数列，而，，，所以后11项为递增数列．后11项的最大项为综上，数列的最大项为第30项，其值为10240．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件，由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以.所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为.（Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为.依题意，随机变量的所有可能取值为.；；；.所以随机变量的分布列为：其数学期望.（Ⅲ）.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知，，所以.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）因为四边形是平行四边形，所以A B与M N的中点重合，所以M、N关于原点对称.设，则.（），直线A M的方程为，令，得，即,又，直线A N的方程为，令，得，即.四边形面积为，.因为点M在椭圆上，所以，.所以.所以.所以当时，.所以四边形面积的最小值为.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，切线的斜率为.所以在处的切线方程为.（Ⅱ）依题意，对任意恒成立，当时，，由于，则恒成立，所以在内单调递减，因为，故当时，，不符合题意.当时，令，得当时，，因为，那么的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以结合的单调性知：当时，，不符合题意.当时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，.由的单调性可知，，所以符合题意.综上，.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）是满集，不是满集.，且的子集为，，所以是满集；，且的子集为时不存在集合M的两个子集A、B，使得)成立，所以不是满集.（Ⅱ）设，因为集合M为“满集”对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A、B，使得)成立.则，且，所以或.当时，此时；当时，因为，所以为最大，此时.综上.（Ⅲ）集合是满集.由题意知集合，，对任意的正整数，根据二进制可知，（）.取，.即，所以集合M为“满集”.【若有不同解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2021届高考数学一模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设集合A ={x|x ≤a}，B ={x|x 2−2x −3>0}，若A ∩B =A ，则( )A. a <−1B. a ≤−1C. a >3D. a ≥32.已知函数y = 2cosx 的定义域为，值域为，则的值是( )A. 2B. 3C.D.3.已知i 是虚数单位，设z =2−3i3+2i ，则复数z −+2对应的点位于复平面( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B. C.D.5.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立6.在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =1，AC =2，设点P ，Q 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，则λ=( ) A. 13B. 23C. 43D. 27.已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，若O 为坐标原点，点A 、B 在抛物线C 上，且2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF||OF|=( ) A. 54B. 43C. 32D. 538.从2、4、6、8、10五个数字中任取2个作为一个分数的分子与分母，则可组成分数值不同的分数个数为( )A. 20B. 18C. 10D. 99.若实数a ，b ，c 成等比数列，则函数f(x)=ax 2+2bx +c 的图象与x 轴交点的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定10. 已知直线l ：x −y −1=0是圆C ：x 2+y 2+mx −2y +1=0的对称轴，过点A(m,−1)作圆C的一条切线，切点为B ，则|AB|=( )A. 2B. 4√2C. 6D. 2√10二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 已知F 1、F 2是双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若∠PF 1F 2=π6，则双曲线的渐近线方程为______． 12. 求值：．13. 已知双曲线的中心在坐标原点，如果左焦点F 与右顶点A 以及虚轴上顶点B 构成直角三角形，则其离心率为√5+12，称此双曲线为“黄金双曲线”.类比“黄金双曲线”可推知“黄金椭圆”的离心率为______ ．14. 在锐角△ ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，B =2 A ，则c 的取值范围________． 15. 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=−x 2+21x 和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为=______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB ，CD 的中点． 求证：AF//平面PEC ．17. 已知集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }(0≤a 1<a 2<⋯<a n ,n ∈N ∗,n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j(1≤i ≤j ≤n)，a i +a j 与a j −a i 至少一个属于A ．(1)分别判断集合M ={0,2，4}与N ={1,2，3}是否具有性质P ，并说明理由； (2)研究当n =3，4和5时，具有性质P 的集合A 中的数列{a n }是否一定成等差数列．18. (本小题满分12分)翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，需切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值，其举办商在赌石游戏中设置了甲乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为，赌中后可获得30万元；未赌中则没有收获，每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．(1)收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为(单位：万元)，若的概率为，求的大小；(2)若收藏者张先生李先生都选择赌石规则甲或赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累积得到的金额的数学期望最大？19. 已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r >0)的圆心，动直线l ：y =kx 与椭圆交于P.Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点S 在线段AB 上,OS ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值； (3)若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG|=|PH|，求r 的取值范围．−a−1(a∈R)20. 已知函数f(x)=−aln(x+1)+a+1x+1(1)讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；)n−a>e成立，求a的取值范围．(2)若对任意的正整数[−1,1)都有(1+1n21. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，若k>T n对n∈N∗恒成立，求k的取值范围．(Ⅱ)设数列{1S n【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={x|x≤a}，B={x|x2−2x−3>0}={x|x<−1或x>3}，A∩B=A，∴a<−1．故选：A．集合A={x|x≤a}，B={x|x<−1或x>3}，A∩B=A，由此能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的灵活运用．2.答案：B解析：解：因为函数y=2cosx在上具有单调性，且单调递增减，所以最大值为：;最小值为：即：b−a=1+2=3故选B3.答案：A解析：解：z=2−3i3+2i =−i(3+2i)3+2i=−i，则复数z−+2=i+2∴z−+2对应的点(2,1)位于复平面的第一象限．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义及其复数的几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义及其复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为正方形其面积为，由正视图可知该四棱锥的高为1，∴该几何体的体积为，故选D考点：本题考查了三视图的运用点评：解决三视图问题的关键是还原空间几何体，然后再利用相关公式求解即可5.答案：C解析：故答案为C ．6.答案：B解析：解：如图所示，∵BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2． 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ． ∴[(1−λ)AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2， ∴[(1−λ)λ+1]AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2， ∵在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =1，AC =2，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，−4(1−λ)−λ=−2， 解得λ=23． 故选：B ．如图所示，由BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，可得(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2.又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R.可得[(1−λ)AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2，展开利用数量积运算性质即可得出． 本题考查了平面向量三角形法则及其应用、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：C解析：作AA′⊥准线于A′，BB′⊥准线于B′，过点A 作AC//x 轴，与BB′交于点C ，与y 轴交于点E ，设|AF|=m ，结合2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和抛物线的定义，可以导出p =43m ，而|AF||OF|=mp2，代入消元即可得解．本题考查抛物线的定义，平面向量的数乘，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 解：如图所示，作AA′⊥准线于A′，BB′⊥准线于B′，过点A 作AC//x 轴，与BB′交于点C ，与y 轴交于点E ，设|AF|=m ，则|AA′|=m ，|FB|=|BB′|=2m ，∴|BC|=|BB′|−|CB′|=|BB′|−|AA′|=2m −m =m ，|EF|=13|BC|=13m ， 而点F 到准线的距离为p ，也等于|EF|+|AA′|=13m +m =43m ，∴p =43m ， ∴|AF||OF|=mp 2=m 23m=32．故选：C ．8.答案：B解析：解：从2、4、6、8、10五个数字中任取2个作为一个分数的分子与分母一共有A 52=20种， 而分数值相同的有24=48，42=84共2种，所以可组成分数值不同的分数个数为20−2=18种． 故选：B ．利用间接法，先选取全部的情况，再排除分数值相同的情况．本题主要考查了排列和组合问题，关键是注意分数值相同的分数，属于中档题．9.答案：B解析：解：由a ，b ，c 成等比数列，得到b 2=ac ，且ac >0， 令ax 2+2bx +c =0(a ≠0) 则△=4b 2−4ac =4ac −4ac =0，所以函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是1个．故选：B．根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac>0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数．本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属于基础题．10.答案：C解析：解：∵圆C：x2+y2+mx−2y+1=0，即(x+m2)2+(y−1)2=m24，表示以C(−m2,1)为圆心、半径等于|m2|的圆．由题意可得，直线l：x−y−1=0经过圆C的圆心(−m2,1)，故有−m2−1−1=0，∴m=−4，点A(−4,−1)．∵AC=√(−4−2)2+(−1−1)2=2√10，CB=R=2，∴切线的长|AB|=√40−4=6．故选：C．求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x−y−1=0经过圆C的圆心(−m2,1)，求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．11.答案：y=±√2x解析：解：把x=c代入双曲线x2−y2b2=1，可得|y|=|PF2|=b2，Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2=b22c =tan30°=√33，∴b=√2，∴渐近线方程为y=±√2x．故答案为：y=±√2x．先求出|PF2|的值，Rt△PF1F2中，由tan∠PF1F2=b22c=tan30°，求出b的值，进而得到渐近线方程．本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键．12.答案：解析：试题分析：．考点：指对数运算．13.答案：√5−12解析：解：由题意可得，FA2=FB2+BA2，即(a+c)2=a2+a2+b2，即(a+c)2=2a2+a2−c2，．整理得，a2=c2+ac，两边同除以a2，得1=e2+e，解得e=√5−12．故答案为：√5−12由题意可得，FA2=FB2+BA2，把该式转化为关于a，b，c的方程，然后利用a2=b2+c2消掉b，两边再同除以a2可得e的二次方程，解出即可．本题考查椭圆的简单性质、基本量的求解，属基础题，正确理解新定义是关键．14.答案：解析：解：∵在锐角△ABC中，B=2A，∵b=2，A=2B，∴由正弦定理得：．所以：因为函数的导数，故函数f(x)是增函数．又，所以，代入c的化简式子中(c的函数式是增函数)，故可得c的范围为．故答案为：．15.答案：120万元解析：解：设公司在甲地销售品牌车x辆，则在乙地销售品牌车(15−x)辆，根据题意得，利润y=−x2+21x+2(15−x)=−(x−192)2+4814，∵x是正整数，∴x=9或10时，能获得最大利润，最大利润为120万元．故答案为：120万元．设公司在甲地销售品牌车x辆，则在乙地销售品牌车(15−x)辆，表示出利润，利用配方法求出函数的最值．本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，属于中档题．16.答案：证明：如图，。

2021年石景山区高三统一测试数学（文科）本试卷共6页，总分值为150分，考试时刻为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试终止后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么UAB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．以下函数中，在(0)+∞，内单调递减，而且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =-D ．2xy =3．直线:40l x +-=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，那么其离心率为（ ） A ．5BCD5．以下函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ） A ．2sin()23x y π=+B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=-67A ．4B ．12C ．3D ．248．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右核心，假设点M 知足||1MF =且0MP MF ⋅=，那么||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分． 9．i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，那么数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，那么数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知命题p :0x x e ∃∈<R ，，那么p ⌝是____________________． 12．已知变量x y ，知足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________. 13．一艘轮船在匀速行驶进程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 假设匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.14．假设存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其概念域内的任意实数x 别离知足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，那么称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． 15．（本小题总分值13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边别离为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题总分值13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率散布直方图都受到不同程度的污损，可见部份如下图．A ．2-B ．12C ．1-D ．2（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率散布直方图中[8090)，间矩形的高； （Ⅲ）假设要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情形，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率． 17.（本小题总分值14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，AB BC ==CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积． 18．（本小题总分值13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题总分值14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C 的“准圆”.假设椭圆C 的一个核心为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值. 20．（本小题总分值13分）关于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，． 已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）假设生成数列{}n b 知足的通项公式为1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .2021年石景山区高三统一测试 高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明进程或演算步骤．15．（本小题总分值13分） 解：2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………2分因为0A π<<，因此sin 0A ≠， 因此sin B =， ………………4分 因为0B π<<，且a b c <<，因此60B =． ………………6分（Ⅱ）因为2a =，b =因此由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， ………………8分解得3c =或1c =-（舍），因此c 边的长为3． ………………10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． ………………13分 16．（本小题总分值13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，因此全班人数为2250.08=. ………………4分 （Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率散布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分 （Ⅲ）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的大体事件为： 2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分 其中，至少有一个在[90100)，之间的大体事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)，之间的概率是70.710=. ……………13分 17．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，别离是AD ，AC 的中点，FG ∴∥CD ，且112FG DC ==. BE ∥CD ， ………………2分FG ∴与BE 平行且相等. ∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又ACDC C =，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC ==, AH BC ∴⊥.DC ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BCDC C =，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =， ………………12分11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形. ………………14分 18．（本小题总分值13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的概念域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x-=2()()x a x a x +-=. ………………2分 ()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>， 因此a 的值为1. ………………4分（Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内转变时，()()f x f x '，的转变情形如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得 02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分 （ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<因此1a <<………………12分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，知足题意. 综上，a 的取值范围为0a << ………………13分19．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，因此由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，因此2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分因此12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x = 当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 现在2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直. ………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设通过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 因此由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，因此有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率别离为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 因此12t t ，知足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 因此121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，通过点00()P x y ，，又别离交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直. 因此线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，因此线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分（Ⅱ）∵1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，. ∴3()n k k *=∈N 时，38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-.31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ；32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， ………………13分【注：假设有其它解法，请酌情给分】。

2021届北京市石景山区高三高考一模数学试卷【含解析】一、单选题1．已知集合{}2{1,3,5},160A B x x ==-<∣，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．(0,4)【答案】A【分析】算出集合B ，再求交集即可. 【详解】因为()4,4B =-，所以{}1,3A B =故选：A2．下列函数中，是奇函数且最小正周期T π=的是（ ） A ．1()f x x= B ．3()f x x = C ．()2sin cos f x x x=D ．()sin f x x =【答案】C【分析】画出函数1()f x x=，3()f x x =的图象，由图象判断AB ；利用定义证明()2sin cos f x x x =为奇函数，再求周期，从而判断CD.【详解】由下图可知，函数1()f x x=，3()f x x =都不是周期函数，故AB 错误；()2sin cos sin 2f x x x x ==，()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-即函数()2sin cos f x x x =为奇函数，且周期22T ππ==，故C 正确； 对于D 项，周期221T ππ==，故D 错误； 故选：C3．复数1ai i-在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】C【分析】化简复数即可判断. 【详解】()2111ai i ai a ia i i i ----===+- 因为对应的点位于第一象限，所以0a > 故选：C.4．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确 故选：B.5．“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要也不充分条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义即可判断.【详解】设命题p ：直线l 与平面α内无数条直线垂直， 命题q ：直线l 与平面α垂直， 则pq ，但q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及线面垂直的定义和性质，属于中档题.6．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则·BD CD = A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【答案】D【详解】试题分析：由题意得，设,BA a BC b ==，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知2223•()cos602BD CD a b a a a b a a a a =+⋅=+⋅=+⨯⨯=，故选D.【解析】向量的数量积的运算.7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段AB 为抛物线的通径 所以AB 4= 故选：D8．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在四位数中，回文数共有（ ） A ．81个 B ．90个 C ．100个 D ．900个【答案】B【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果.【详解】由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的所以共有：1191090C C =故选：B9．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-【答案】C【分析】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象，当()y f x =的图象在y ax =的图象的上方时，分析此时a 的取值范围即可.【详解】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象如下图所示：因为()f x ax 在[]1,1x ∈-上恒成立，所以()y f x =的图象在y ax =的图象的上方（可以部分点重合），且()1121f -=-=，令320x -=，所以23x =，所以()21,1,,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据图象可知：当y ax =经过点()1,1A -时，a 有最小值，min 1a =-， 当y ax =经过点2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭时，a 有最大值，max 0a =， 综上可知a 的取值范围是[]1,0-， 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．42D ．6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案. 【详解】解：因为在ABC 中，4AB AC ==所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线AD因为点()1,3B -，点()4,2C -，所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭因为直线BC 的斜率为32114+=---，所以BC 的垂直平分线的斜率为1 所以BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即10x y --=因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以可得圆心(,3)a a -到“欧拉线”的距离为|31|,22a a r r -+-==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为|33|322a a -++= 由圆的对称性可知，圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为32222-=故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线30x y -+=的距离，再由对称性得出最小值.二、填空题11．双曲线221169x y -=的离心率为___________. 【答案】54【分析】依据题意可得,,a b c ，然后根据离心率公式可得结果. 【详解】由题可知：4,3a b ==，由225c a b += 所以离心率54c e a == 故答案为：5412．已知函数()ln =f x x ，若11,,(2)84a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 从小到大排序为_______. 【答案】c b a <<【分析】直接代入计算简单判断即可. 【详解】由题可知：1111ln ln 8,ln ln 4,(2)ln 2ln 28844a f b f c f ⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由函数ln y x =在定义域中是单调递增的，所以c b a << 故答案为：c b a <<13．如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的11212212,,,a a a a 的值.11a =______，12a =______，21a =______，22a =_____. 11a12a21a22a【答案】1 2 2 1【分析】由题意列出方程组，得出12211122,a a a a ==，进而得出答案. 【详解】11122122a a a a +=+11211222a a a a +=+两式相加、相减得出12211122,a a a a == 不防取111221221,2,2,1a a a a ==== 故答案为：1；2；2；114．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________. ①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大. 【答案】①④【分析】根据船离海底距离为0.8sin .204x y y ω≥==-，解三角不等式可判断①；由船离海底距离()20.8sin0.46f x x x π=+，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离()()30.8sin 0.41f x x x =+-，利用导数求出最值即可判断③、④ 【详解】①不卸货，则吃水恒为2米，∴船离海底为()10.8sin 2x y y f x ω=-==，当()10.4f x ≥时，1sin62x π≥，则5666x πππ≤≤， 解得15x ≤≤，所以最多停留时间为514-=小时，故①正确； ②立即卸货，∴吃水深度220.4h x =-，且20.40.5x -≥， 解得1504x ≤≤， 此时船离海底()220.8sin0.46f x y h x x π=-=+，()2215cos 0.40,01564f x x x ππ'=+>≤≤，所以()2f x 在150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当1x =时，()210.80.4f =>，由1564x <≤，0.8sin 20.50.8sin 1.5 1.50.80.70.466y x x ππ=+-=+≥-=>， 此段时间都可以停靠，又()210.80.4f =>，6154∴-=>，故②错误；③与④，0.8sin 2()y x R ωω=+∈，()()320.41,1h x x π=--≤≤，()()30.8sin 0.41f x x x ∴=+-，()30.8cos 0.40f x x '=+=，解得23x π=， 当21,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()30f x '>；当2,3x ππ⎛⎤⎥⎝⎦时，()30f x '<，所以当23x π=时，船底离海底的距离最大. 故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力.三、双空题15．在锐角ABC 中，33,5,2sin a c a b A ===，则B =__________，b =________. 【答案】π67 【分析】由2sin a b A =，利用正弦定理可得B ，然后使用余弦定理可得b 【详解】由题可知：在锐角ABC 中，2sin a b A = 所以sin 2sin sin A B A =，因为sin 0A ≠，所以1sin 2B = 又0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6B π=又2222cos b a c ac B =+-，33,5a c == 所以27b =，则7b =故答案为：π6，7四、解答题16．如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，面ABFE面CDEF EF =，AD ED ⊥，CD EA ⊥．（1）求证：CD ∥平面ABFE ；（2）若EF ED =，2=2CD EF =，求平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）π4. 【分析】（1）由//CD AB 结合线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明CD ⊥平面ADE ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可.【详解】解：（1）在五面体ABCDEF 中， 因为四边形ABCD 是正方形，所以//CD AB又因为AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以//CD 平面ABFE . （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD又因为CD ⊥AE ，又AD AE A ⋂=，,AD AE ⊂面ADE ，所以CD ⊥平面ADE 又因为DE ⊂平面ADE ，所以CD ⊥DE .又因为AD ⊥DE ，所以以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系.因为=22,CD EF EF ED ==(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E .由（1）//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF 平面ABFE EF =所以//CD EF ，所以12EF DC =.可得(0,1,1)F . 由题意知平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = 设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =.由00BC FC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200x y z -=⎧⎨-=⎩令1y =，得=1z ，0x =， 所以(0,1,1)n = 设平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为θ.cos θ=2222DC n DC n⋅==⋅. 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为π4【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角. 17．已知有限数列{}n a 共有30项，其中前20项成公差为d 的等差数列，后11项成公比为q 的等比数列，记数列的前n 项和为n S ．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （1）,d q 的值；（2）数列{}n a 中的最大项． 条件①：2521=4,=30,20a S a =； 条件②：320220,36,9S a a ==-=-； 条件③：1212448,20,160S a a ===． 【答案】答案见解析.【分析】（1）分别选择一个条件，利用等差、等比数列的通项公式以及前n 项和公式计算即可.（2）根据（1）所得到的数据，然后根据数列等差部分、等比部分的单调性简单判断即可.【详解】选择条件①：2521=4,=30,20a S a =解：（1）因为{}n a 的前20项成等差数列，25=4,=30a S ，所以114,545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得12,2a d =⎧⎨=⎩. 所以20=2192=40a +⨯.因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列， 所以212012a q a ==. 综上，12,2d q ==. （2）{}n a 的前20项成等差数列，0d > . 所以前20项为递增数列. 即：前20项的最大项为2040a =. 数列{}n a 的后11项成等比数列，12q =， 所以后11项是递减数列. 即：后11项的最大项为2040a =综上，数列{}n a 的最大项为第20项，其值为40. 选择条件②：320220,36,9S a a ==-=-解：（1）因为{}n a 的前20项成等差数列，3200,36S a ==-，所以11330,1936a d a d +=⎧⎨+=-⎩，所以122.a d =⎧⎨=-⎩，因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，2036a =-，又因为229a =-，2222014a q a == 所以12q =±. 综上，12,2d q =-=±.（2）{}n a 的前20项成等差数列，0d < . 所以前20项为递减数列. 前20项的最大项为12a =. 因为12q =±. i .当12q =时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，所以当2030n ≤≤时，0n a <.此时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当12q =-时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，后11项的最大项为2118a =.此时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18 综上，当12q =时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2； 当12q =-时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18.选择条件③：1212448,20,160S a a ===解：（1）因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，212420,160a a ==，所以324218a q a ==， 解得2q .所以212010a a q==. 又因为{}n a 的前20项成等差数列，1148S a ==， 所以2012201a a d -==--. 综上，2,2d q =-=.（2）{}n a 的前20项成等差数列，0d < . 所以前20项为递减数列. 前20项的最大项为148a =.{}n a 的后11项成等比数列，而2010a =，2q，20102(2030)n n a n n -*=⋅∈N ≤≤且，所以后11项为递增数列. 后11项的最大项为3010240a =综上，数列{}n a 的最大项为第30项，其值为10240.18．某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下 日营业额 96.5199.514.516.520.512.5线上 日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X 表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X 的分布列和数学期望；（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1μ和2μ，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为21S 和22S ．试判断1μ和2μ的大小，以及21S 和22S 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）156；（2）分布列见解析，32；（3）221212,S S μμ<=. 【分析】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可.【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7所以所求的概率为3338156C C =（2）由题意，日营业总额达标的概率为12， X 的所有可能取值为：0，1，2，3，所以()330112108P X C ⎛⎫- ⎪⎝⎭===，()13211138212P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===，()23211122328P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===，()33312138P X C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===，所以X 的分布列为X0 1 2 3P18 383818所以()322E X =⨯=； （3）19 6.5199.514.516.520.512.513.58μ+++++++==211.591217192321.515168μ+++++++==()()()()()()()()2222222221913.5 6.513.51913.59.513.514.513.516.513.520.513.512.513.58S -+-+-+-+-+-+-+-=所以21175.58S =()()()()()()()()222222222211.516916121617161916231621.51615168S-+-+-+-+-+-+-+-=所以22175.58S =所以221212,S S μμ<= 19．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且经过点(2,0)A -和点(2,0)B .（1）求椭圆C 的方程；（2）M 和N 是椭圆C 上两个不同的点，四边形AMBN 是平行四边形，直线AM AN 、分别交y 轴于点P 和点Q ，求四边形APFQ 面积的最小值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）33【分析】（1）题目告诉了椭圆焦点和顶点，即知道了,a c ，再由222b a c =-，即可求解；（2）由对称性可设设11(,)M x y ，则11(,)N x y --，通过表示直线,AM AN 的方程，求得,P Q 的坐标，从而表示出面积，再根据点M 在椭圆上，得到1x 与1y 的关系以及1y 的范围，即可求解.【详解】（1）由已知2a =，1c =， 所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为四边形AMBN 是平行四边形，所以AB 与MN 的中点重合，所以M 、N 关于原点对称. 设11(,)M x y ，则11(,)N x y --.（1120x y ≠±≠且）112AM y k x =+， 直线AM 的方程为11(2)2y yxx ，令0x =，得1122y y x =+，即112(0,)2y P x +， 又112AN y k x =-， 直线AN 的方程为11(2)2y y x x =+-， 令0x =，得1122y y x =-，即112(0,)2y Q x -. 四边形APFQ 面积为13||||||22AF PQ PQ ⋅=，1112111228||||||224y y yPQ x x x =-=+--.因为点M 在椭圆上，所以2211143x y +=，11330y y -≠且.所以2211443x y -=-.所以16||||PQ y =.所以当13y =时，min ||3PQ =所以四边形APFQ 面积的最小值为33【点睛】关键点点睛：本题的关键是把面积用一个量表示出来，再去寻求这一个量的取值范围，从而求出面积的取值范围. 20．已知函数1()()x axf x a R e+=∈. （1）当1a =-时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）已知()1f x 对任意x ∈R 恒成立，求a 的值. 【答案】（1）21y x =-+；（2）1.【分析】（1）将1a =-代入，然后求导，并得到(0),(0)f f '，最后可得结果.（2）计算()'f x ，然后按照0a =，0a <，0a >进行分类讨论，并研究原函数的单调性，利用max ()1f x =计算即可. 【详解】解：（1）当1a =-时，1()e x x f x -=，2()ex x f x -'=， 所以(0)1f =，(0)2f '=- 切线l 的斜率为(0)2k f '==-.所以()f x 在0x =处的切线方程为21y x =-+. （2）依题意，()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立， 2(1)e (1)(e )1()=(e )e x x x xax ax ax a f x ''+-+-+-'=当0a =时，1()ex f x '=-，由于e 0x >，则()0f x '<恒成立， 所以()f x 在R 内单调递减， 因为(0)1f =，故当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a ≠时，令()0f x '=，得11x a=- 当0a <时， 110x =->，因为(0)1f =，那么,(),()x f x f x '的变化情况如下表： x1(,1)a-∞-11a -1(1,)a-+∞()'f x-+()f x单调递减极小值 单调递增所以结合()f x 的单调性知：当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：x1(,1)a-∞-11a -1(1,)a-+∞()'f x+-()f x单调递增极大值 单调递减当01a <<时，110x a=-<，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当11,0)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a >时，110x a=->，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当10,1)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a =时，110a-=.由()f x 的单调性可知，max ()=(0)1f x f =，所以符合题意. 综上，1a =.【点睛】方法点睛：求解函数在某点()00,x y 处的切线方程步骤：（1）求导；（2）00(),()f x f x '；（3）点斜式可得方程.利用导数求解含参数的恒成立问题：（1）参数分离的方法；（2）求导并按参数的范围进行讨论.21．由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅（其中123m a a a a <<<⋅⋅⋅<），记()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”.（1）分别判断集合{}11,2M =与{}22,3M =是否为“满集”，请说明理由； （2）若集合M 为“满集”，求1a 的值；（3）若123,,,,m a a a a ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，判断集合M 是否为“满集”，并说明理由.【答案】（1）1M 是“满集”，2M 不是“满集”；理由见解析；（2）1；（3）是“满集”，理由见解析.【分析】（1）由()13P M =和()25P M =确定k 可能的取值，根据“满集”定义可知1M 满足定义，但2M 存在4k =时不符合“满集”定义，由此可得结论；（2）设()0k P M =，由“满集”定义知：()()01k P A P B -=-，由此可知()0P A k =或()01P A k =-，在两种情况下均可确定11a =，由此得到结果；（3）由等比数列求和公式确定()P M ，可得到12222s i i i k =++⋅⋅⋅+()10s i i m ≤<⋅⋅⋅<<，取{}212,,2,2s i i iA =⋅⋅⋅，B =∅即可得到结论.【详解】（1）()13P M =，且1M 的子集为∅，{}1，{}2，{}1,2， 当1k =时，{}()()1k P P =-∅；当2k =时，{}()()2k PP =-∅；当3k =时，{}()()1,2k P P =-∅，1M ∴是“满集”；()25P M =，且2M 的子集为∅，{}2，{}3，{}2,3，当4k =时，不存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()4P A P B =-成立， 2M ∴不是“满集”.（2）设()0k P M =，集合M 为“满集”对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立，()()01k P A P B ∴-=-，且()0P B ≥，()0P A k ∴=或()01P A k =-.当()0P A k =时，()1P B =，此时11a =； 当()01P A k =-时，()0P B =，123m a a a a <<<⋅⋅⋅<，2m a a ∴+⋅⋅⋅+为最大01k -，此时11a =.综上所述：11a =.（3）由题意知：集合{}11,2,4,,2m M -=⋅⋅⋅，()122112mm P M -==--， 对任意的正整数21m k ≤-，根据二进制可知，12222s i i i k =++⋅⋅⋅+()10s i i m ≤<⋅⋅⋅<<. 取{}212,,2,2s i i iA =⋅⋅⋅，B =∅.即()()k P A P B =-，∴集合M 为“满集”.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义的问题，解题关键是能够充分理解“满集”的定义，通过分析k所需满足的条件，找到符合要求的子集，从而说明是否符合“满集”定义.。

2020-2021学年北京市⽯景⼭区⾼三统⼀测试（⼀模）数学（理）试题及答案解析⾼考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效．考试结束后上交答题卡．第⼀部分（选择题共40分）⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（）AB ．2 C． D ．33．执⾏如右图的程序框图，若输出的48S =，则输⼊k 的值可以为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．⼆项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所⽰的空间直⾓坐标系O xyz -中，⼀个四⾯体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四⾯体的正视图和俯视图分别为（）②③④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离⼼率215+=e ，则称此双曲线为黄⾦双曲线．有以下⼏个命题：①双曲线115222=--y x 是黄⾦双曲线；②双曲线115222=+-x y 是黄⾦双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=?,则该双曲线是黄⾦双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=?，则该双曲线是黄⾦双曲线．其中正确命题的序号为（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第⼆部分（⾮选择题共110分）⼆、填空题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ?+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤??+≥??--≤?表⽰的平⾯区域为D ，在区域D 内随机取⼀点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66?的⽅格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c v v v 满⾜,(,)c xa yb x y R =+∈v v v，则=x y．13．若甲⼄两⼈从6门课程中各选修3门，则甲⼄所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种（⽤数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成⽴，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==；②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-；④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本⼩题满分13分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，设锐⾓α的始边与x 轴的⾮负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针⽅向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ?的⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本⼩题满分13分）ACDE FB下表是由天⽓⽹获得的全国东西部各6个城市3⽉某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空⽓质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进⾏调研，记选到空⽓质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本⼩题满分14分）如图，多⾯体ABCDEF 中，平⾯ADEF ⊥平⾯ABCD ，正⽅形ADEF 的边长为2，直⾓梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平⾯BDE ；(Ⅱ)试在平⾯CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30°．18．（本⼩题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成⽴，求a 的取值范围．19．（本⼩题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离⼼率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准⽅程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率⽆关）？请证明你的结论．20．（本⼩题满分13分）设数列{}n a 满⾜：①11a =；②所有项*N a n ∈；③ΛΛ<<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最⼤值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满⾜不等式n a m ≤的所有项的项数的最⼤值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．⽯景⼭区⾼三统⼀测试数学（理）参考答案⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．三、解答题共6⼩题，共80分．15．（本⼩题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2 y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ?中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本⼩题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=?+?+?=． ………………13分 17．（本⼩题共14分）（Ⅰ）证明：因为平⾯ABEF ⊥平⾯ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平⾯ABCD ………………1分⼜因为BC ?平⾯ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分在直⾓梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分⼜因为ED I BD=D ，所以BC ⊥平⾯BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建⽴空间直⾓坐标系D -xyz ……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平⾯BEF 的⼀个法向量，则00n EF n Eb ??==??r u u u r r u u r 所以202220x x y z '=??'''+-=?，令1y '=，得011x y z '=??'=??'=?所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的⾓为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ?<>===?u u u r r u u u r r u u ur r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L⼜因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分当y z =-时，（*）式⽆解当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P或(0,P --. ………14分 18.（本⼩题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极⼩值，极⼩值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．⼜222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得00()()f x g x <成⽴，即在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最⼩值⼩于零． …8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最⼩值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最⼩值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满⾜题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本⼩题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==．∴椭圆C 的标准⽅程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA ⽅程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分直线QA ⽅程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆⼼00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的⽅程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本⼩题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ====……………………5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109====b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=?+?+?+?=+++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1 ()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成⽴的n 的最⼤值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -======∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=?-+==+……………………11分当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=?=+=+……………………12分所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ?+=-∈??=?+?=∈??……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市石景山区届高考一模考试数学(文)试题有答案(扫描版)（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）2021年石景山区高三统一测试数学（文）试卷考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A0≤x＜402B40≤x＜809C80≤x＜120mD120≤x＜1603E160≤x＜200n（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．2021年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案C B B CD A A B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，所以．………………2分又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以． (3)分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝． (7)分直线CM：，即． (8)分代入椭圆方程，得，所以． (10)分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值． (3)分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】（一）阅读下面材料，完成11-13题。

100测评网2021年北京市石景山区高三统一测试数学（理科一模） 2021年石景山区高三统一测试数学（科学）考生1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．须知2.本试卷共10页，第ⅰ卷1-2页，第ⅱ卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均答在本题规定的位置．问题编号得分1 2 151617 3 181920总分第ⅰ卷（选择题共40分）评分员一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知的完整集合u？{1,2,3,4,5,6,7}，a？{3,4,5}，b？是{6,2}a．abb．a?bc、铜（ab）d．cu(ab)2.功能y？sin（2x？a。

6)cos(2xb．6）最小正周期为c．2?d、 ?。

？243．已知数列{an}的前n项和sn?n3，则a5?a6的值为a、 91b．152c、 218d．2794.对于两条直线a、B和平面？，如果B？？，那么“A//b”就是“A//”属于a．充分但不必要条件b、必要但不充分的条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件5.在由数字0、1、2、3和4组成的五位数字中，中间三位不同，但前两位和后两位相同a．480个2B。

2402c．96个d．48个y2？如果右焦点1重合，则P的值为6。

如果抛物线y？2px和双曲线x的焦点？3a.4b．?4c、二,d．?27.如果函数f（x）？cos2x？根据向量a平移1的图像后，获得的图像与原点对称，则向量a可以是a．(1,0)8．设f?x??b．(?2,?1)c．(?4,?1)d．(四,1)1.x、还记得F1吗？十、F十、fk？1.十、Ffk？十、K1,2,1? 十、则f2021(x)?答。

1?x1?xb．十、1x？1c.xd。

？1x第ⅱ卷（非选择题共110分）2.填空：这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，共30分。

在问题的水平线上填写答案9．若复数A.3I（I是虚单位）是一个纯虚数，那么实数a的值是。