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第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rE d re E d r e r U ⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(822030020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Z e 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε 2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 20302452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
第五章 微扰理论Chapter five perturbation Theory§5-1 非简并定态微扰理论一、体系本征方程nn n E H ψ=ψˆ here '0ˆˆˆH H H+= 二、方程近似解设 +ψ+ψ+ψ=ψ)2()1()0(n n nn+++=)2()1()0(nnnn E E E E))(())(ˆˆ()2()1()0()2()1()0()2()1()0(10 +ψ+ψ+ψ+++=+ψ+ψ+ψ+n n n n n n n n n E E E H H 零阶： )0()0()0(0ˆnn n E H ψ=ψ （零级就是未受微扰情况） （1） 一阶：)0(1)1()1()0(0)ˆ()ˆ(nnn H E E H ψ-=ψ- （2） 二阶：0(0)(2)(1)1(1)(2)(0)ˆˆ()()n n n n n nH E E H E -ψ=-ψ+ψ （3） 三阶：n 阶：…1．能量的一阶修正)1(nE(1)0*0ˆn n n E Hdx ψψ'=⎰conclusion: H ˆ在)0(nψ平均值即能量一阶修正 证明： )0()1()1()1()ˆ()ˆ(nn n n H E E H ψψ'-=- 上式两边和*)0(nψ然后对空间积分⎰⎰-=-τψψτψψd H E d E H n n nn n n)0(1)1()*0()1()0(0)*0()ˆ()ˆ( 左=⎰-τψψd E H n nn)1(*)0()0(0])ˆ[(=0 右=⎰-τψψd H E nnn)0()*0()1('ˆ⎰=τψψd H E nnn)0()*0()1('ˆ 2．波函数的一阶修正)1(n ψ∑-'=m n mn mn E E H )0()0()0()1(0ψψ证明：设(1)(0)n l a ψψ=∑（)0()0(H n 是ψ本函）因：)0()1(nn a ψψ∑'=是方程（2）的解则∑+)0()0(na a ψψ也是（2）的解适当选a ：消取a n 项 则)0()1(ψψa n '∑=撇“’”表示n ≠代入（2）式0(0)(0)(0)(0)ˆˆ(()n n nH E a E H ψψ''-∑=-） 两边采)*0(m ψ然后空间积分⎰⎰⎰-=ψ∑-τψψτψψτψd H d E d a E H n m n n m n m )0()*0()0()1((*))0()0(0)0('ˆ')ˆ(mn n m H d E E a 'ˆ)(')0()0()0()0(-=-∑⎰τψψmn n m H E E a ')(')0()0(-=-∑δ)0()0()0()0(''mn mnn m mn m E E H E E H a -=--=)0()0()0()1(''mmn mn n E E H ψψ-∑=3．能量二阶修正)2(n E （不讲推导）2200()()()''nmn mn mH E E E =∑-（注：*''m n nm H H m n =≠厄米矩阵）三、conclusion1.设,ˆˆˆ0H H H+=若)0()0('mn mnE E H -〈〈1式'ˆH 很小，且)0()0(m n E E -能级间隔较大则波函数 )2()1()0(n n n n ψ+ψ+ψ=ψ 能级 +++=)2()1()0(n n n n E E E E2．一般情况下能级修正到二阶，波函数修正到一阶（1）能级 1002200'()()*()()()()ˆ||'一级修正二级修正n n nnm nm n mE H dx H EE E ⎧=ψψ⎪⎨=∑⎪-⎩⎰（2）波函数一阶修正)0()0()0()1(''mmn mn mn E E H ψψ-∑= 参原讲义例题例题例题⎪⎭⎪⎬⎫321§5-2 简并的定态微扰理论一、体系的本征方程nn n E H ψ=ψˆ 'ˆˆˆ0H H H += 但in i E H ϕϕ=0ˆ k i ,2,1= （k 重简并） 设 +ψ+ψ+ψ=ψ2)1()0(n n n n +++=2)1()0(n n n n E E E E则()0110()()()()ˆˆ()'n n n nH E E H -ψ=-ψ 一阶方程 二、近似求解1．零阶波函数设001kniii c ψϕ==∑ k i ,2,1=2．久期方程对一阶方程两边同乘*ϕ，后对空间积分⎰ψ-=τϕd E H n n )1()0(0*)ˆ( 左0=⎰ψ-=τϕd H E nn )0()1(*)'ˆ( 右*(1)(0)ˆ(')n i iiE H c d ϕϕτ=-∑⎰10()**()ˆ['] ni i i iE d H d c ϕϕτϕϕτ=∑-⎰⎰(1)(0)[']0n i i iiE H c δ=∑-= (1)(0)(')0i n i iiH E c δ∑-=线性方程组11(1)(0)(0)'(0)111122133(0)'(1)(0)'(0)2112222331(')'02'()0n H E c H c H c H cH E cH c=-+++==+-++=(0)(0)(1)(0)1122'()0k k kk n k kH c H c H E c =+++-=(1)(0)1112131(2)(0)2122132(0)(1)123''''''0''''n n k k k k k n H E H H c H H E H c c H H H k H E ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ （1） 齐次线性方程组0'''''''''')0(212)1(222111312)1(11=---nkk k k kn knE H H H H E H H H H H E H 久期方程 （2）三、conclusions1.求解方程（1）就可以得到能量的一阶修正和零阶波函数)0(n ψ2．求解步骤（1）先解久期方程，解出K 个根，若K 个根无重根，简并全部解除，若有重根则部分解除例第n 个能级 k j E E E njn nj 2,1)1()0(=+=)1()0()1(2)0(2)1(1)0(1njn nj n n n n n n E E E E E E E E E +=+=+=（2）将)1()1(2)1(1,nj n n E E E 代入原方程解出)0(i C例)0(1n E 代入可得出一组)0(i C则i ki i nC ψ=ψ∑=1)0()0(§5-3 氢原子的一阶stark 效应一、stark 效应（定义）原子在外电场的作用下，产生谱线分裂的现象叫～二、体系的Hamiltonianr e re H s ⋅+-∇=εμ2222ˆ'ˆˆ0H H+= ˆ'cos H e r e r εεθ=⋅= （设ε 沿Z 方向）三、方程求解 n=21.能量一阶修正003221200200000322221021100322321121110032242112111002rrr r1r (),))()1(),))cos 1r(),))()sin 1r (),))()sin ＝（（（（（（（（a a a i a i R r Y ea a R r Y e a R r Y ee a a R r Y e e a a ϕϕϕθϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-------=ψ-=ψ==ψ==ψ=1111''*ˆH H d ϕϕτ=⎰⎰⎰ 4242''*ˆH Hd ϕϕτ=⎰⎰⎰ 110'H = 22111111000''**ˆcos sin H H d r dr d d ππϕϕτϕϕϕθθθ∞==⎰⎰⎰⎰⎰⎰20000cos sin sin sin (sin )|1＝2d d πππθθθθθθ==⎰⎰ 110'H =01212000211232''*ˆ()()()cos cos sin ra r r H H d e e xa a a r r drd d ϕϕτθεπθθθϕ-==-⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰1!x n n n e x dx αα∞-+=⎰1203'H e a ε=-同理可以求得其他矩阵元0000003003)1(2)1(2)1(2)1(2=------E E E a e a e E εε解行列式方程得：33)1(24)1(23)1(220)1(21==-==E Ea e E a e E εε2．零阶波函数求解（1）0)1(213a e E ε=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000003000030000330033a e a e a e a e a e a e εεεεεε(0)1(0)2(0)3(0)4c c c c ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=0 解得到 (0)(0)340c c ==(0)(0)12c c =- ∴ (0)(0)(0)(0)211122i i icc c ϕϕϕψ==+∑(0)(0)1112c c ϕϕ=- (0)(0)12001210c c =ψ-ψ⎰=ψψ1)0(21*)0(21τd 得(0)1c = 由此得零级近似波函数为：)(21210200)0(21ψ-ψ=ψ∴同理 12203()E e a ε=-当解出：000034120()()()()c c c c === 由此得零级近似波函数为：)(21210200)0(22ψ+ψ=ψ1122()()340 E E =当＝时解出： 010*********0300000000()()()()00 0 0 0＝c e a c e a c c εε⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00000()()()()1234 和为不同时等于零的常数。
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)n E 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
第五章微扰理论经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。
微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
量子力学第五章微扰理论微扰理论在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。
常用的近似方法有微扰论、变分法等。
不同的近似方法有不同的适用范围。
在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。
本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。
§5. 1 非简并定态微扰理论近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。
当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。
假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：Hψ=Eψ (5.1.1)满足下述条件:(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)H=H(0) + H' (5.1.2) H'H(0) (5.1.3)（5.1.3）式表示，H与H(0)的差别很小，H'可视为加于H(0)上的微扰。
（5.1.3）式的严格意义将在后面再详细说明。
由于H 不显含t，因此，无论H(0)或是H'均不显含t。
(2) H(0) 的本征值和本征函数已经求出，即H(0)的本征方程(0)(0)(0)H(0)ψn=Enψn (5.1.4)中，能级En及波函数ψn都是已知的。
微扰论的任务就是从H(0)的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。
(3) H(0)的能级无简并。
严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并，例如，要通过微扰论计算H'对H(0)的第n个能级En的修正，就要求En不简并，它相应的波函数(0)ψn只有一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是不简并的。
(0)(0)(0)(0)(4) H(0)的能级组成分立谱。
或者严格点说，至少必须要求通过微扰论来计算它的修正的那个量子力学微扰理论能级En处于分立谱内，En是束缚态。
在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的H(0)必须的本征值和本征函数近似求出H的本征值和本征函数。
为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数λ,将H'写成λH'，将(0)(0)H'的微小程度通过λ的微小程度反映出来。
体系经微扰后的薛定谔方程是Hψn=(H将能级En和波函数ψn按λ展开：En=En+λEn+λEn+... (5.1.6) ψn=ψn+λψn+λψn+... (5.1.7)(1)(2)(1)(2)En，En，…，ψn，ψn…分别表示能级En和波函数ψn的一级，二级，…修正。
将(5.1.6)及(5.1.7)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)+λH')ψn=Enψn (5.1.5)式代入(5.1.5)式后得(0)(1)(2)(H(0)+λH')(ψn+λψn+λ2ψn+...)=(En+λEn+λEn+...)(ψn+λψn+λψn+...) (5.1.8) 比较(5.1.8)式两端λ的同次幂，可得出各级近似下的方程式:(0)(0)(0)H(0)ψn=Enψn(0)(1)(1)(0)(H(0) En)ψn= (H' En)ψn (5.1.9) (0)(2)(1)(1)(2)(0)(H(0) En)ψn= (H' En)ψn+Enψn (5.1.10)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)……零级近似显然就是无微扰时的定态薛定谔方程(5.1.4)式。
同样，还可以列出准确到λ,λ,…等各级的近似方程式。
341．一级微扰求一级微扰修正只需求解(5.1.9)式。
由于H(0)厄米，H(0)的本征函数系{ψn}是正交、归一、完备、封闭系，可将一级修正波函数ψn按{ψn}系展开(1)ψn=(1)(0)(0)∑al(1)lψl(0) (5.1.11)将(5.1.11)式代入(5.1.9)式得(H(0)(0)(1)(0)(1)(0) En)∑alψl= (H' En)ψn (5.1.12)l量子力学微扰理论以求出（5.1.11）式的展开系数，以ψk性后，得(0)*左乘(5. 1. 12)式并对空间积分后，利用{ψn}系的正交归一(0)(1)(0)(1)(0)(1)Ek(0)ak Enak= ∫ψk(0)*H'ψndx+Enδnk (5 .1 .13)记'(0)(0)Hkn=∫ψk(0)*H'ψndx= ψk(0)H'n (5 .1.14)并将它代人(5.1.13)式，当n = k时，得En=Hnn (5.1.15) 当n≠k时，得(1)'a(1)k'Hkn=(0) (5.1.16) (0)En Ek(1)注意(5.1.16)式只在n≠k时成立。
对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有an要另外计算。
为此，利用ψn的归一条件，在准确到O(λ)数量级后，有(0)(1)(0)(1)1=nψn=(ψn+λψn)(ψm+λψn又因波函数nψn=1归一得(0)(1)(1)(0)nψn+nψn=0 (5.1.17)将(5.1.11)式代入(5.1.17)式后，得an+an(5.1.18)式表明，an必为纯虚数，即an=iγ(1)(1)(1)(1)*=0 (5.1.18)γ为实数。
准确到λ的一级近似，微扰后体系的波函数是(0)(1)ψn=ψn+λψn(0)(0)=ψn+λiγψn+λ∑al≠n(1)lψl(0)=e(0)ψn+λ∑al(1)ψl(0)l≠n=eiλγ[ψn+λ(0)(1)(0)a∑lψl] (5.1.20) l≠n量子力学微扰理论(5.1.20)式表明an的贡献无非是使波函数增加了一个无关重要的常数位相因子，不失普遍性，可取an=iγ=0 (5.1.21)因此，准确到一级近似，体系的能级和波函数是En=En+Hnn=En+nHn (5.1.22) ψn=ψn+(0)(0)'(0)'(1)(1)ψk(0) (5.1.23) ∑(0)(0)k≠nEn Ek(5.1.22)和(5. 1.23)式表明，准确到一级近似，H’在无微扰能量表象中的对角元给出能量的一级修正，非对角元给出波函数的一级修正。
2．二级修正求二级修正需要求解(5.1.l0)式。
与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按{ψn}展开(2)ψn=∑al(2)ψl(0) (5.1.24)l(0)将(5.1.24)式代入(5.1.10)式后，有∑al(2)l(0)'El(0)ψl(0) En∑al(1)ψl(0)= H'∑al(1)ψl(0)+Hnn∑al(1)ψl(0)+En(2)ψn(0) (5.1.25)ll≠k以ψk(0)*左乘(5.1.25)式，并对空间积分后得(2)(0)(0)(2)(2)akEk Enak= ∑al(1)ψl(0)+Enδkn (5 .1 .26) l≠k当n=k时，考虑到an=0由(5.1.26)式得(1)E(2)n=∑aH(1)ll≠n'nl''HlnHnl=∑(0) (0)l≠nEn El'Hln(0)n2=当n≠k时，由(5.1.26)式得∑El≠nEl(0)(5 .1.27)a(2)(2)k=∑l≠n(0)(En''''HklHlnHknHnn(0) (5.1.28) (0)Ek(0))(En El(0))(En Ek(0))2至于an，同样可以由波函数的归一条件算出。
由(0)(1)(2)(0)(1)(2)nψn=(ψn+λψn+λ2ψn)(ψn+λψn+λ2ψn)=1得量子力学微扰理论(0)(2)(2)(0)(1)(1)nψn+nψn+nψn=0或a(2)(2)n+a(2)*n+∑am.n(1)*m(1)anδmn=0 (5.1.29)同样，若取an为实数，由(5.1.29)得(2)an=1(1)am∑2m≠n2=1∑(0) E(0))2 (5 .1.30) 2m≠n(Enm2'Hmn2综合上述，准确到二级近似，体系的能级和波函数是(0)'En=En+Hnn+∑l≠n'Hnl(0)En El(0)(5.1.31)ψn=ψ(0)n'Hkn(0)+∑(0)+ k(0)k≠nEn Ek''''HklHlnHknHnn(0)ψk(0) (0)(0)(0)(0)2Ek)(En El)(En Ek)'2mn∑{∑(Ek≠nl≠n(0)nH1(0)(5.1.32) ∑(0)(0)2n2m≠n(En Em)同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。
现在对定态非简并微扰作些讨论：(i)由(5.1.31)、(5.1.32)式可见，微扰的适用条件是'Hkn1 (5.1.33) (0)En Ek(0)只有满足(5.1.33)式，才有可能保证微扰级数的收敛性，保证微扰级数中后一项的结果小于前一项。
(5.1.33)式就是本节开始时所说的H'H(0)的明确表示。
微扰方法能否应用，不仅决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。
只有当微扰算符H'在两个无微扰体系波函数之(0)间的矩阵元Hkn的绝对值远小于无微扰体系相应的两能级间隔En Ek(0)时，才能用微扰论计算。
这也说明了为什么我们必须要求作微扰计算的能级处于分立谱，因为如果能级En是连续谱，它和与之相邻的能级的能级间距趋于零，对于除能级En外的所有其他能级(5.1.33)式不可能都被满足。
(ii)由此看来。
如何在H中划分H(0)和H'十分重要。
H(0)和H'取得好，不仅(5.1.33)式可以满足，而且可以使级数收敛得很快，避免冗长的高级微扰计算的麻烦。
通常，除了要求H(0)的本征值和本征函数必须已知外，还可以从体系的对称性及微扰矩阵元是否满足一定的选择定则来考虑划分量子力学微扰理论H(0)和H'。
(iii)由(5.1.22)及(5.1.23)式可见，能量本征值和波函数的一级修正由H(0)的本征值和本征函数给出；由(5.1.27)、(5.1.28)和(5.1.30)式可见，能量本征值和本征函数的二级修正由相应的一级修正给出，余类推。
在这个意义上，我们也可以说，微扰论其实也是一种逐步逼近法。
(iv)关于λ的讨论: 由H=H(0)+λH'得出，若我们将λ看成一个可变化的参数，则显然当λ=0时H=H(0)，这时体系未受微扰的影晌；当λ=1时，H=H+H'，微扰全部加进去了。
