太阳光 灯光与影长

1、就用影子来测高2、和投影有关的中考题赏析3、生活中的“光与影”4、“影子”精品屋1、就用影子来测高物体在光线的照射下会留下“影子”，利用影子可以测量物体的高度，下面结合例题谈谈阳光下的影子和灯光下的影子问题，供同学们学习时参考.一、利用阳光下的影子阳光下的影子是太阳光线形成的，由于太阳离我们非常遥远，所以我们可以把太阳光线看成平行光线.1．影子全落在地面上例1．在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为( )A．60米 B．40米 C．30米 D．25米分析：在同时同地的条件下，物体和它在地面上的影长成比例，因此，可利用相似比，设古塔高为x米，则1.5240x=，求得古塔高为30米，故选C．2．影子有一部分落在墙上例2．如图1，小明家楼房旁边立了一根长4米的竹竿，小明在测量竹竿的影长时，发现影子不全落在地面上，有一部分落在楼房的墙壁上，小明测出它落在地面上的影子长为2米，落在墙壁上的影子长为1米．此时小明想把竹竿移动位置，使其影子刚好不落在墙上．试问：小明应把竹竿移到什么位置（要求竹竿移动距离尽可能小）？图1析解：连接AD，过C作CE∥AD交AB于点E，则四边形AECD是平行四边形，所以AE=DC=1米，BE=AB-AE=3米，即影子BC所对应的物高为BE．设竹竿的影子全落在地面上时长为x米，依据“在同时同地的条件下，物体和它在地面上的影子长成正比”，得4BEBC x=，即342x=，所以83x=（米）．从而，要使影子刚好不落在墙上，应把竹竿沿落在地面上的影子所在的直线向左移米． 3．影子有一部分落在斜坡上 例3．小明想测量电线杆AB 的高度，发现影子落在坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4米，BC=10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得一根1米长的杆的影长为2米，则电线杆的高度约为 米。

（3=1.732 精确到0.1米）图2析解：假设光线AD 直接照射到水平地面上的点F 处，则BF 是电线杆AB 在地面上的影子，只要求出了BF 的长，就可以利用比例求出AB 的长．分别延长AD ，BC 相交于点F ，过点D 作DE BF ⊥于点E ，如图2， 在Rt △CDE 中，∵CD=4，∠DCE=30°，∴DE=2，CE=23 又∵同一时刻物高与影长成正比，21=BF AB ，在Rt △ABF 中，可知tanF=21， 在Rt △DEF 中，tanF=21=EFDE，∴EF=4，∴BF=BC+CE+EF=10+4+23， ∴AB=21BF=7+37.8732.8732.17≈=+≈（米）即电线杆的高度约为8.7米。

北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题【学习目标】1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行投影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.【知识点梳理】知识点一、投影1.投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.知识点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.知识点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.知识点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.知识点二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.知识点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.知识点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.知识点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.知识点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.知识点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．【思路点拨】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt∥ABC∥∥RtDGE，然后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解：（1）影子EG如图所示；（2）∥DG∥AC，∥∥G=∥C，∥Rt∥ABC∥∥RtDGE，∥=，即=，解得DE=，∥旗杆的高度为m．【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB 的高．【答案】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以DE EF AB BC=，即1.720.866AB=，所以AB=12（m）．答：旗杆AB的高为12m．类型二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（1）如图：（2）如图：（3）如图：（4）如图：4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型三、三视图的有关计算5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.【答案与解析】解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×102=1000π．。

北师大版九年级上第四章第三节灯光与影子（一）教案一、教学目标：（一）知识与技能1、经历实践、探索的过程，了解中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用．2、通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化．3、能区别平行投影与中心投影条件下物体的投影．（二）过程与方法1、经历实践、探索的过程．培养学生的实践、探索能力．2、由观察、想象进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化，训练学生的观察、想象能力．（三）情感态度与价值观1、经历观察、实验、想象等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．2、初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造．3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．二、教学重点：1、通过实践、探索，归纳中心投影的含义．2、能进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化．3、能根据投影判断是平行投影还是中心投影．教学难点教学难点：1.通过实践、探索，归纳中心投影的含义．2.平行投影与中心投影的区别．三、教学过程：(一)提出问题，引入新课大家看过皮影戏吗?你知道什么是皮影戏吗?皮影戏是怎样演出来的呢?皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏的原理实际上就是用灯光把剪影照射在银幕上，在现实生活中我们也经常可见有关灯光与影子的实例．比如，在灯光下．做不同的手势可以形成各种各样的手影．上面我们说的皮影与手影都是在灯光照射下形成的影子．灯光与影子在日常生活中有着非常广泛的应用，这节课我们就来探讨一下这个话题．（二）推进新课1．中心投影的含义．取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片．问题1：请大家先想象一下．小棒和三角形、矩形纸片在灯光照射下的影子是什么样子的? （小棒的影子是小棒，三角形、矩形纸片的影子还是三角形和矩形．）问题2：(1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化?问题3：(2)固定小棒和纸片，改变手电简(或台灯)的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化?(1)固定手电筒(或台灯)时，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子将变大或变小，当改变小棒或纸片的位置时，位置距离灯光越近，影子越大；距离越远，影子越小，当不改变位置只改变方向时，影子随着方向的改变而改变．(2)固定小棒和纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置，影子随着物体与手电筒(或台灯)之间距离的缩小而增大；改变手电筒(或台灯)的方向，影子随着发生变化．问题4：大家再讨论一下，手电筒或台灯发出的光线与太阳光线是否相同?（太阳光线是平行光线，手电筒或台灯发出的光线可以看成是从一点发出的．）定义：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影(central projection)．2．由实物与影子确定路灯的位置刚才我们通过实践，总结出了灯光的光线?可以看成是从一点发出的，由此可知，在同—灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过灯泡所在位置，利用这个原理，我们做—下练习．确定下图中路灯灯泡所在的位置．根据刚才我们的讨论可知，在同一灯光下物体的影子与物体上对应点的连线过灯泡所在位置，那么如何找物体与影子上的对应点呢?找一对对应点可以吗?这是本题的关键，请大家互相交流，分析：找一对对应点不行，因为一条直线肯定过灯泡所在位置，但究竟是直线上哪一点呢?我们不能肯定，因此要找两对对应点，它们的连线的交点即为灯泡所在地．在找对应点时，一般要找关键点，如三角形找三个顶点，四边形也找四个顶点，线段找端点，其余部分的对应点不好找，也找不准．本题中找木杆的顶端和影子的顶端即可．解：如下图，过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，两线相交于点O.点O就是路灯灯泡所在的位置．3．议一议(区分是太阳光线还是灯光光线)我们已经学习了太阳光线与灯光的光线，请大家互相讨论它们各自的特点是什么?如何区分它们?（太阳光线是平行光线，灯光的光线是从一点发出的，如下图所示．因此在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形就可得出结论．）练习：(1)下图是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线．它们是太阳的光线还是灯光的光线?与同伴进行交流．(2)下图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示)，并与同伴交流这样做的理由．分析：由刚才我们的讨论可知，先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们找交点，由两条光线可大致判断它们是否平行．若光线平行则为太阳光线，若光线相交即为灯光光线．(1)是灯光的光线；(2)是太阳光线．这样做的理由是：因为太阳光线是平行光线，而灯光光线是由一点发出的光线，因此分别找到两对对应点以后，过这两对对应线作直线，若两直线平行即为太阳光线，若两直线相交即为灯光光线．五、小结本节课我们先由皮影戏引出灯光与影子这个话题，接着经历实践、探索的过程．掌握了中心投影的含义，进一步根据灯光光线的特点，由实物与影子来确定路灯的位置，并与上节课相联系，找到了太阳光线与灯光光线各自的特点，根据特点宋区分形成树影的光线，是太阳光线还是灯光的光线，并能画出在同一时刻另一物体的影子，还要求大家不仅要自己动手实践，还要和同伴互相交流．同时要用自己的语言加以描述，做到手、嘴、脑互相配合，培养大家的实践操作能力，合作交流能力，语言表达能力．六、作业1、晚上，小华在马路的一侧散步，对面有一路灯，当小华笔直地往前走时，他在这盏路灯下的影子也随之向前移动．小华头顶的影子所经过的路径是怎样的？它与小华所走的路线有何位置关系?解：(1)小华头顶的影子所经过的路径是一条直线；(2)它与小华行走的路线是平行的．北师大版九年级上第四章第三节灯光与影子（二）教案一、教学目标：（一）知识与技能1、经历实践、探索的过程，了解视点、视线、盲区的概念。

“影子”中考试题江西 □赖咸权物体在阳光（或灯光）照射下，在地面产生了影子，影子的长度与物体的长度在同一时刻是成比例的.近年出现了较多有关影长和物体长度计算的中考试题,这类试题实质是考查相似形的性质.现总结如下,供同学们复习.1. 在阳光照射下的影长计算例1 (2006年江西)如图,身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度,当他站在C 处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,并测得AC =2.0米,BC =8.0米,则旗杆的高度是( ).(A) 6.4米 (B) 7.0米 (C) 8.0米 (D) 9.0米分析:通常情况下,我们把太阳光看作平行光线.本题是利用太阳光的照射,使某同学头顶与旗杆顶端的影子重合,相似三角形，即△ACD ∽△ABE ，因而AB AC 所以BE =26.110⨯=8米. 解:(C) 例2 (2006年陕西)在同一时刻,小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍,则这棵树的高度为__________米.分析:在同一时刻,物体在阳光照射下的影长与物体的长度成比例. 解:设这棵树的高度为x 米,则5.416.1=x ∴x =7.2即树高为7.2米例3 (2006年赣州)张明同学想利用树影测校园内的树高,他在某一时刻测得小树高为1.5米时,其影子长为1.2米.当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上,经测量,地面部分影长为 6.4米,墙上影长为1.4米,那么这树大树高约_______米.分析:由阳光是平行光线,可得四边形ACDE 为平行四边形,所以AC=DE .而BC 的长度与影子BD解:由于四边形ACDE 为平行四边形∴AC=DE =1.4米又∵2.15.1=BD BC ∴BC =2.15.1×6.4=8米 ∴大树高为:AB=AC+BC =9.4米2.在灯光照射下的影长计算 例4 (2006年盐城)花丛中有一路灯AB ,在灯光下,小明在D 处的影子DE =3米,沿BD 方向行走到达G 点,DG =5米,这时小明的影长GH =5米.如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB 的高度(精确到0.1米).分析:灯光不是平行光线,图中AE 与AH 不平行,但灯光可看作射线,所以图中可构造两组三角形相似,利用相似三角形性质来解题.解: 设AB=x 米,BD=y 米由△CDE ∽ABE 得337.1,+==y x BE DE AB CD 即 ① 由△FGH ∽ABH 得1057.1,+==y x BH GH AB FG 即 ② 由①、②解得y =7.5 , x =5.95≈6.0米∴路灯杆AB 的高度约为6.0米.。

光和影子的教案优秀8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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专题28 投影与视图最新中考真题与模拟精练1．（2022·安徽·定远县育才学校一模）学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m 的小明(AB )的影子BC 长是3 m,而小颖(EH )刚好在路灯灯泡的正下方H 点,并测得HB=6 m . (1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G ; (2)求路灯灯泡的垂直高度GH ;(3)如果小明沿线段BH 向小颖(点H )走去,当小明走到BH 的中点B 1处时,其影子长为B 1C 1;当小明继续走剩下路程的13到B 2处时,其影子长为B 2C 2;当小明继续走剩下路程的14到B 3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的11n +到Bn 处时,其影子BnCn 的长为 m .(直接用含n 的代数式表示)【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m ；（3）BnCn=31n +. 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH 可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC△△GHC 由它们对应成比例可以求出GH ；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.(2)根据题意,得△ABC △△GHC ,∴AB BC GH HC =,∴1.6363GH =+,解得GH=4.8 m . 答:路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m .(3)提示:同理可得△A 1B 1C 1△△GHC 1,∴11111A B B C GH HC=, 设B 1C 1长为x m,则1.64.83xx =+, 解得x=1.5,即B 1C 1=1.5 m . 同理22221.64.82B C B C =+,解得B 2C 2=1 m,∴1.614.861n n n n B C B C n =+⨯+,解得BnCn=31n +. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．2．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l 1、l 2,点A 、B 在直线l 2上，过点A 、B 两点分别作直线l 1的垂线，垂足分别为A 1、B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，l 2）,特别地，线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C ，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB=5，T （AC ，AB ）=3，则T （BC ，AB ）= ；（2）如图2，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，求△ABC 的面积； （3）如图3，在钝角△ABC 中，△A=60°，点D 在AB 边上，△ACD=90°，T （AD ，AC ）=2，T （BC ，AB ）=6，求T （BC ，CD ）.【答案】（1）2 ；（2）△ABC 的面积=39；（3）T （BC ，CD ）=732【分析】(1)如图1，过C 作CH△AB ，根据正投影的定义求出BH 的长即可；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH 的长即可解决问题；(3)如图3，过C 作CH△AB 于H ，过B 作BK△CD 于K ，求出CD 、DK 即可得答案. 【详解】(1)如图1，过C 作CH△AB ，垂足为H ， △T (AC ，AB)=3， △AH=3， △AB=5， △BH=AB-AH=2， △T (BC ，AB)=BH=2， 故答案为2；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ， 则△AHC=△CHB=90°， △△B+△HCB=90°， △△ACB=90°， △△B+△A=90°△△A=△HCB，△△ACH△△CBH，△CH：BH=AH：CH，△CH2=AH·BH，△T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，△AH=4，BH=9，△AB=AH+BH=13，CH=6，△S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如图3，过C作CH△AB于H，过B作BK△CD于K，△△ACD=90°，T(AD，AC)=2，△AC=2，△△A=60°，△△ADC=△BDK=30°，△CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12AC=1，△DH=4-1=3，△T(BC，AB)=6，CH△AB，△BH=6，△DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，△K=90°，BD=3，△BDK=30°，△DK=BD·cos30°=332，△T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+332=73 2.【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键. 3．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG△CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH△AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：90150 72x=，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，△高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG△CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，△斜坡坡度1:0.75i=，△140.753DE FG CE CG ===， △设FG=4m ，CG=3m ，在△CFG 中，()()22243100m m +=，解得：m=20， △CG=60，FG=80， △BG=BC+CG=160， 过点F 作FH△AB 于点H ，△同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG△BE ，AB△BE ，FH△AB ， 可知四边形HBGF 为矩形， △9072AH AH HF BG==， △AH=90901607272BG ⨯=⨯=200，△AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．4．（2011·全国·中考模拟）如图所给的A 、B 、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A 、B 、C 三个几何体的主视图分别是A 1、B 1、C 1；左视图分别是A 2、B 2、C 2；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A 1、A 2、A 3、B 1、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A 1、A 2、A 3的三张卡片放在甲口袋中，画有B 1、B 2、B 3的三张卡片放在乙口袋中，画有C 1、C 2、C 3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片． ①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)见解析；（2）①49;②不公平，详见解析.【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可； （2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．【详解】（1）由已知可得A 1、A 2是矩形，A 3是圆；B 1、B 2、B 3都是矩形；C 1是三角形，C 2、C 3是矩形；（2）①补全树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，△三张卡片上的图形名称都相同的概率是124=279；②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是124=279，即P （小刚获胜）=49，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是31=279，即P （小亮获胜）=19，△49＞19， △这个游戏对双方不公平．【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．5．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO △OD ，EF △FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【答案】旗杆的高AB 为3米．【分析】证明△AOD △△EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明△BOC △△AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：△AD △EG ， △△ADO =△EGF ． 又△△AOD =△EFG =90°， △△AOD △△EFG ． △AO ODEF FG=． △ 1.820152.4EF OD AO FG ⋅⨯===． 同理，△BOC △△AOD ． △BO OC AO OD=． △15161220AO OC BO OD ⋅⨯===． △AB =OA −OB =3（米）． △旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．6．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A 可在BD 上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，AE EF =，90cm AC BC CE ===，70cm DF '=．(1)BD 的长为______． (2)如图2，当54cm AB =时．①求ACB ∠的度数；（参考数据：sin17.50.30︒≈，tan16.70.30︒≈，sin36.90.60︒≈，tan31.00.60︒≈）②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【答案】(1)250cm (2)①35°；②29484π【分析】（1）根据题意可得BD BF F D ''=+，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+，代入数据求解即可；（2）①过点C 作CG AG ⊥，根据BC AC =，可得127cm 2AG GB ACG ACB ==∠=∠，，根据sin 0.3ACG ∠=，sin17.50.30︒≈，即可求解；②根据题意可知CG AF ∥，则17.5EAH ∠=︒，根据sin17.5EH AE =︒⋅求得EH ，根据勾股定理可得222AH AE EH =-，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可． （1）解：△BD BF F D ''=+当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+△BD BF F D ''=+909070250EF F D AC CE F D ''=+=++=++=cm （2）①如图，过点C 作CG AG ⊥90BC AC ==cm ，54cm AB =27AG GB ∴==cm ，12ACG ACB ∠=∠273sin 0.39010AG ACG AC ∠===≈17.5ACG ∴∠=︒ 235ACB ACG ∴∠=∠=︒②如图，连接AF ，过点E 作EH AF ⊥，AE EF =AH HF ∴=根据题意可知CG AF ∥ 17.5EAH ∴∠=︒ 180cm AE =sin17.50.318054EH AE ∴=︒⋅=⨯=222221280598444AH AE EH ∴=-=-= ∴伞能遮雨的面积为29484π【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．7．（2018·江苏扬州·中考模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P (1x , 1y ) ，Q (2x , 2y ) 是图形 W 上的任意两点，若12x x -的最大值为 m ，则图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx = m ；若12y y -的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的投影长度为 ly = n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx =40- = 4 ；在 y 轴上的 投影长度为 ly =30-= 3 ．（1）已知点 A (1, 2) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ， 则 lx = ， ly = ；（2）已知点 C (-32, 0) ，点 D 在直线 y =12x - 1(x < 0) 上，若图形 W 为 ∆OCD ，当 lx =ly时，求点 D 的坐标；（3 ）若图形 W 为函数 y = x 2(a ≤ x ≤ b ) 的图象，其中 (0 ≤ a < b ) ，当该图形满足 lx = ly ≤ 1时，请直接写出 a 的取值范围．图 1 图 2【答案】（1）4,3;(2)（-23，143）或（-10，-14）;(3) 102a ≤<.【分析】（1）确定出点A 在y 轴的投影的坐标、点B 在x 轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x =l y ，列方程求解即可；（3）设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．分别求得图形在y 轴和x 轴上的投影，由l x =l y 可得到b+a=1，然后根据0≤a ＜b 可求得a 的取值范围． 【详解】解：（1）△A （3，3），△点A 在y 轴上的正投影的坐标为（0，3）． △△OAB 在y 轴上的投影长度l y =3． △B （4，1），△点B 在x 轴上的正投影的坐标为（4，0）． △△OAB 在x 轴上的投影长度l x =4． 故答案为4；3．（2）如图1所示；过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=2x+6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△2x+6=4-x ，解得；x=-23．△D （-23，143）． 如图2所示：过点D 作DP△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=-2x-6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△-2x-6=4-x ，解得；x=-10．△D （-10，-14）．综上所述，点D 的坐标为（-23，143）或（-10，-14）． （3）如图3所示：设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．则CE=b-a ，DF=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）．△l x =l y ，△（b+a ）（b-a ）=b-a ，即（b+a-1）（b-a ）=0．△b≠a ，△b+a=1．又△0≤a ＜b ，△a+a ＜1，△0≤a ＜12. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W 在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x =l y 列出关于x 的方程和不等式是解题的关键．8．（2022·江苏无锡·模拟预测）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥S ABCD -，点O 是正方形ABCD 的中心SO 垂直于地面，是正四棱锥S ABCD -的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子PBC 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S ABCD -表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD 的边长为80m ，金字塔甲的影子是50m PBC PC PB ==，，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m ．（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD 边长为80m ，金字塔乙的影子是PBC ，75,402m PCB PC ∠=︒=，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2）506．【分析】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ；（2）如图1中，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ．【详解】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，四边形ABCD 是正方形，,OC OB AC BD ∴=⊥，80BC CD == ，50PC PB ==，OP ∴垂直平分BC ，1140,4022OT CD TC TB BC ∴=====， 2222504030PT PC CT ∴=-=-=，403070OP OT PT ∴=+=+=，设金子塔的高度为h ，物体的长度与影子的长度成比例，10.7h OP =， 100h ∴=，故答案为：100．（2）如图，根据图1作出俯视图，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,4575120OCP OCB PCB∠=∠+∠=︒+︒=︒，60OCR∴∠=︒，80BC=，四边形ABCD是正方形，22221118080402222OC AC AB BC∴==+=+=，cos60202CR OC∴=⨯︒=，3sin604022062OR OC=⨯︒=⨯=，402202602PR PC CR∴=+=+=，2222(206)(602)406OP OR PR∴=+=+=，10.8SOOP=，506SO∴=．∴乙金字塔的高度为506．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．【答案】（1）320；（2）见详解【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，△荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-12×2×1=3，△站在监控盲区的概率=3÷20=320；（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2×12×1×2=2，若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=12×(CM+2)×2＞2．【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．10．（2019·陕西西安·中考模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【答案】（1）18米；（2）3.6米【分析】（1）如图1，先证明△APM△△ABD，利用相似比可得AP＝16AB，即得BQ＝16AB，则16AB+12+16AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM△△NAC，利用相似三角形的性质得1.6189.6BNBN=+，然后利用比例性质求出BN即可．【详解】解：（1）如图1，△PM△BD，△△APM△△ABD，AP PMAB BD=，即1.69.6APAB=，△AP＝16AB，△QB=AP，△BQ＝16AB，而AP+PQ+BQ＝AB，△16AB+12+16AB＝AB，△AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，△BM△AC，△△NBM△△NAC，△BN BMAN AC=，即1.6189.6BNBN=+，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．11．（2021·全国·九年级专题练习）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC 的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C ，并在点C 处安装了测倾器CD ，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B ，顶部作为点A ，现测得古树的项端A 的仰角为37°，再在BC 的延长线上确定一点F ，使CF ＝5米，小华站在F 处，测得小华的身高EF ＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG ＝3米，此时，大树AB 在太阳光下的影子为BF ．已知测倾器的高度CD ＝1.5米，点G 、F 、C 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于BG ，求小河的宽度BC ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）【答案】10米【分析】过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，在Rt △ADH 中，用x 表示出AH ，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC ．【详解】解：如图，过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，△BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，根据题意可知：在Rt △ADH 中，△ADH ＝37°，△AH ＝DH •tan 37°≈0.75x ，△AB ＝AH ＋BH ＝0.75x ＋1.5，BF ＝FC ＋CB ＝5＋x ，根据同一时刻物高与影长的比相等，△EF AB FG BF=， △1.80.75 1.535x x+=+，解得x＝10，所以BC＝10（米），答：小河的宽度BC为10米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．12．（2021·全国·九年级专题练习）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．（1）你认为小玲和小强的说法对吗？（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得DEEH＝10.6，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．【详解】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得； （2）根据题意画出图形，如图所示，根据平行投影可知：DEEH＝10.6，DE＝0.3，∴EH＝0.3×0.6＝0.18，∵四边形DGFH是平行四边形，∴FH＝DG＝0.2，∵AE＝4.42，∴AF＝AE+EH +FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，∵ABAF ＝10.6，∴AB＝4.80.6＝8（米）．答：树的高度为8米．（3）由（2）可知：AF＝4.8（米），答：树的影子长度是4.8米．【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．13．（2021·全国·九年级专题练习）为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.【分析】利用同一时刻投影的性质得出1.51 4.6AB ABBE==,进而得出答案．【详解】解:如图所示:过点E作EB△AC于点B,由题意可得:DC=BE=4．6m ，DE=BC=2. 5m,△同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米,1.51 4.6AB AB BE == 解得: AB=6.9,△AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m ．【点睛】此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．14．（2011·四川达州·中考模拟）已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）答案见解析；（2）7.5m【详解】解：（1）作法：连接AC ，过点D 作DF△AC ，交直线BE 于F ，则EF 就是DE 的投影．（2）△太阳光线是平行的，△AC△DF ．△△ACB=△DFE ．又△△ABC=△DEF=90°，△△ABC△△DEF ．△AB BC DE EF=， △AB=5m ，BC=4m ，EF=6m ，△546DE =， △DE=7.5(m) ．【点睛】本题难度中等，主要考查学生对投影问题与相似三角形相结合解决实际问题的能力．15．（2021·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案】（1）树AB 的高约为43m ；（2）83m ．【分析】（1）在直角△ABC 中，已知△ACB =30°，AC =12米．利用三角函数即可求得AB 的长；（2）在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，△B 1AC 1=45°，△B 1C 1A =30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】解：（1）AB =AC tan30°=12× 33= 43（米）．答：树高约为43 米．（2）如图（2），B 1N =AN =AB 1sin45°=43×22=26（米）．NC 1=NB 1tan60°=26 ×3 =62 （米）．AC 1=AN +NC 1=26 +62 ．当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的△A 相切时影长最大）AC 2=2AB 2=83 ；16．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A ，B 两地相距12米，小明从点A 出发沿AB 方向匀速前进，2秒后到达点D ，此时他（CD ）在某一灯光下的影长为AD ，继续按原速行走2秒到达点F ，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H ，此时他（GH ）在同一灯光下的影长为BH （点C ，E ，G 在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM （不写画法）；（2）求小明原来的速度．【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m /s ．【分析】（1）利用中心投影的定义作图；（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =（4x ﹣1.2）m ，EG =3xm ，BM =13.2﹣4x ，由△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，得到CE EG AM BM，即代入解方程即可． 【详解】解：（1）如图，（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =AF ﹣MF =（4x ﹣1.2）m ，EG =2×1.5x =3xm ，BM =AB ﹣AM =12﹣（4x ﹣1.2）=13.2﹣4x ，△点C ，E ，G 在一条直线上，CG △AB ，△△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，△CE OE AM OM =，EG OE BM OM=， △CE EG AM BM =，即234 1.213.24x x x x=--， 解得x =1.5，经检验x =1.5为方程的解，△小明原来的速度为 1.5m /s ．答：小明原来的速度为1.5m /s ．【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键．17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB 和一根高度未知的电线杆CD ，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF 的长度为2米，落在地面上的影子BF 的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH 的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度．【详解】（1）平行；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以电线杆的高度为7m．18．（2020·甘肃白银·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量,折断部分AB与地面的夹角33α︒=,树干BC在某一时刻阳光下的影长6CD=米，而在同时刻身高1.8米的人的影子长为2.7米．求大树未折断前的高度(精确到0.1米)．(参考数据：330. 54,330. 84,330.65sin cos tan︒︒︒≈≈≈)【答案】11.4米【分析】利用比例式求得BC的长，然后在Rt△ACB中求得AB的长，两者相加即可得到铁塔的高度．【详解】解：依题意，得1.82.7BCCD=即263BC=4BC∴=在Rt ACB∆中，47.4sin0.54BCABα==≈（米）47.411.4∴+=（米）答：大树未折断前的高度为11.4米【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解．19．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．【答案】（1）敏敏的影长为100公分；（2）高圆柱的高度为330公分．【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．分别求出AB ，BC 的长即可解决问题．【详解】解：（1）设敏敏的影长为x 公分．由题意：1509060x =， 解得100x =（公分），经检验：100x =是分式方程的解．△敏敏的影长为100公分．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．//AB EF ，△四边形ABFE 是平行四边形，150AB EF ∴==公分，设BC y =公分，由题意BC 落在地面上的影从为120公分．9012060y ∴=， 180y ∴=（公分），150180330AC AB BC ∴=+=+=（公分），答：高圆柱的高度为330公分．。

课题：5.1.2投影课型：新授课年级：九年级教学目标：１．经历平行投影的观察、操作、分析、抽象、概况、想象、推理、交流等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念．2．通过丰富的实例了解平行投影和正投影的概念．3．在具体的操作活动中，初步感受在太阳光下物体影子的变化情况；认识在太阳光下物体影子的长短和方向的变化规律；能运用平行投影的基本规律解决一些简单问题．4．在具体情境中认识中心投影与平行投影的区别．教学重点与难点：重点：感受在太阳光下物体影子的变化情况，认识在太阳光下物体影子的长短和方向的变化规律．难点：能运用平行投影的基本规律解决一些简单问题．课前准备：教师准备：多媒体课件、导学案．学生准备:1.利用标杆观察不同时刻其影子的方向及长度变化情况,并完成下表，在小组内讨论交流由此得到的结论．时间影子的方向影子的长度7:409:0510:1511:3013:1515:4516:202.选择一天中任意固定时刻进行测量小棒影长实验，并记录数据,完成下面的表格,在小组内讨论交流由此得到的结论．时刻小棒长度h（cm）影子长度l(cm) h:l的值10cm15cm20cm25cm30cm３．利用实物在阳光下完成教材第129页“做一做”实验，并思考由此得到的结论．教学过程：一、美图欣赏，引入新课活动内容：请欣赏下列图片：（多媒体出示）师：我们欣赏的一幅幅美丽图片中的投影现象可以分为两类，一类是在灯光下形成的投影现象，一类是在太阳光线下形成的投影现象，你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？处理方式：利用多媒体展示精美图片，然后通过问题：“你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？”引入新课并板书课题．设计意图：学生在欣赏精美图片的同时，能够初步感受到生活中的影子可以分为灯光下的影子和太阳光下的影子两类，然后通过“你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？”，引发学生的思考及参与的热情，从而引出本节课的内容．二、自主探究，合作交流活动内容1：（多媒体出示）取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子．（1）固定投影面，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？（2）固定小棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？师：通过同学们的实验我们可以得到：改变物体的位置和方向或改变投影面的位置都会使物体影子的形状和大小发生改变．这些影子都是在太阳光线下形成的，太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影．处理方式：以小组为单位，在课前完成该实验，课上找2名同学回答所提问题，然后利用多媒体进行形象的展示，从而得到如下结论：改变物体的位置和方向或改变投影面的位置都会使物体影子的形状和大小发生改变．设计意图：本环节的设置，让学生在试验活动中，积累活动经验，切实感受改变物体的位置和方向或改变投影面的位置都会使物体影子的形状和大小发生改变．活动内容2：（多媒体出示）1.利用标杆观察不同时刻其影子的方向及长度变化并完成下表，由此你得到什么结论？时间影子的方向影子的长度7:409:0510:1511:3013:1515:4516:202．选择一天中任意固定时刻进行测量小棒影长实验并记录数据，由此你得到什么结论？时刻小棒长度h（cm）影子长度l(cm) h:l的值10cm15cm20cm25cm30cm处理方式:教师课前整理太阳光成影现象调查，选择合适的学生资源多媒体展示，选2个代表小组结合实验数据，对一天中不同时刻同一物体影子的长短和方向的情况及同一时刻不同高度物体的影长进行介绍，其他小组同学进行补充，使学生明晰一天当中影子的变化方向为“西—西偏北—北—北偏东—东”，影子的长度变化为上午：“长—短”；下午“短—长”；一天变化为“长—短—长”，同一时刻物体的高度与影长的变化为：A物高：A影长=B 物高：B影长.设计意图:通过学生亲身参与，体会到太阳光成影的特点，激发学生学习平行投影的兴趣，在提高学生观察生活及与人合作能力的同时，掌握了太阳光下物体影子的方向与大小的变化规律，知道了在同一时刻，物体与影长成比例这一特点．同时学生在亲身参与的基础上，进行展示及讨论交流，让学生初步学会本节课的研究内容，在小组讨论的基础上得出两个问题的答案，进一步培养了学生探究知识的能力，体会到了自主学习的乐趣，为学生以后更好的学习新知奠定基础．活动内容３：（多媒体出示）下面的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的．1.在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．2.在同一时刻，两棵树的高度与它们的影子的长度之间有什么关系？处理方式：留给学生2分钟左右时间思考，然后找2位同学回答，其他同学做补充．设计意图：在亲身参与并获得知识的基础上，通过两个问题的设置，锻炼了学生应用知识解决问题的能力，体会到了自主学习的乐趣，为学生以后更好的学习新知奠定基础.三、例题解析，应用新知活动内容1：(多媒体出示)例题：某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5 m．1.某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示,你能画出此时乙木杆的影子吗?2.当乙杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?3.在（2）的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗？解：（1）如图，连接DD'，过点E作DD' 的平行线，交AD' 所在的直线于点E'．BE' 就是乙木杆的影子．（2）如图，平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BEE'），直到乙木杆影子的顶端E' 抵达墙根为止．（3）因为△ADD'∽△BEE'，所以AD BEAD BE ='', 1.51.241AD =即 .所以AD=1.86(m).处理方式：在学生独立思考的基础上，借助多媒体对例题实施分步处理,第一个问题引导学生由甲图确定光线,在根据光线及物体确定影子；第二个问题找1位同学谈谈自己的看法，其他同学进行补充；第三个问题先引导学生分析解题思路，再找1位同学在黑板上进行板书，然后教师规范解题过程.设计意图：借助例题讲解得形式，让学生深入了解并运用上一环节所学的相关知识.通过问题1深化学生所学知识，发现物体、影子、光线这三者之间，确定其中的两个因素即可确定第三个因素；通过问题2，让学生学会动态看待投影问题，通过问题3，使学生能够应用所探究到的知识解决实际问题．四、挑战自我,巩固新知 活动内容:(多媒体出示)1.下图是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线．它们是太阳的光线还是灯光的光线？与同桌交流．2.下图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示），并与同桌交流这样做的理由．处理方式:学生在课本上独自处理，完成后在小组内交流，然后找2—3位同学利用实物投影仪进行全班展示，其他同学进行补充.设计意图:通过活动进一步巩固学生对平行投影和中心投影特点对比的认识，熟练确定投影类型的方法，通过活动引导学生思考投影的各种情况，学生经历实践探索,交流讨论的过程，培养了学生的动手实践能力，积累了数学活动经验，全面掌握投影现象的特点.五、课堂小结，提炼升华同学们，知识的积累、能力的提升在于及时的总结．通过这节课的学习，你有哪些收获？请结合以下问题先想一想，再分享给大家．1．什么是平行投影？2．一天中，物体影子的方向和长短变化有什么规律？3．在同一时刻，物体的影长与物体的高度有什么关系？4．如何区分中心投影和平行投影？处理方式:找2位同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测,反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获一定很多！收获的质量如何呢？请完成下面的达标检测题．（多媒体出示）1．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,请将它们按时间先后顺序进行排列．2．画出图中旗杆在阳光下的影子．3．某同学的身高为1.4米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6米，则这棵树的高度为米．处理方式：学生在导学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，落实目标必做题：课本第132页第1、2题拓展题：在太阳光下摆弄立方块，观察立方块在底面上的影子，你得到的影子分别是几边形？与同伴交流．板书设计：§5.1 投影（2）学生展示区教师示范区：例题解：学生展示区。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用相似三角形解决问题—知识讲解（基础）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【课程名称：相似三角形的性质及应用 394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。