八年级数学下册_第二章 分式_2.5分式方程_2.5.2分式方程的应用学案湘教版

中小学教育资源站 1.25222345326235221224563522142451，得解这个整式方程）（）（）（，得）（方程两边同时乘以）（）（）（=+=-+---+=+---+=+--x x x x x x x x x x x x x 的值。

，即可求出然后再令，的字母系数方程，得。

可解关于根为原方程有增根，说明增m x m mx x x 11341=-==分式方程【知识要点】1、分式方程的定义2、解法3、为什么验根4、解分式方程与分式的化简要区别开来，切不可混为一体。

5、分式方程的应用 【典型例题】例1（1）05131=-+-x x （2）41451-=--+x x x 分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根. 解：（1）方程两边同乘以)3(5+x ，得 0)3()1(5=+--x x ，解得 x =2 检验：把x=2代入方程左边， 得 ． ∵左边＝右边，∴x=2是原方程的解． （2）方程两边同乘以(x-4)．∴检验：把x=5代入方程左边， 得 ； 把x=5代入方程右边， 得145141=-=-x ． ∵左边＝右边，∴x=5是原方程的解．点评： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各2．所得结果是否为原方程的解，需要检验． 例2、解下列方程.25615251583263522142451222-=--+++-+=+--x x x x x x x x x ）（；）（分析：解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一个字母作降幂排列，能因式分解的一定要先进行因式分解。

解： .4.063)55344365553553556535533256152515832222是原方程的解（）（）时，（检验：当，得解这个整式方程）（）（）（，得）（）（）方程两边同乘以（）（）（）（）（）（）（）（=∴≠-=-++==+=++--++-+=-++++-=--+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x点评：检验是解分式方程的必要步骤，检验的方法是将整式方程得到的根代入最简公分母检验，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，应舍去。

北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》这一章节主要让学生掌握分式方程的解法及其应用。

在此之前，学生已经学习了分式的基本概念、性质和运算，为本节课的学习打下了基础。

本节课的内容分为两个部分：一是分式方程的解法，二是分式方程在实际问题中的应用。

通过学习，学生能够掌握解分式方程的方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。

但是，学生在解分式方程方面可能还存在一定的困难，特别是对于如何正确地去分母、化简方程等方面。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答。

三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法。

2.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.掌握解分式方程的方法，特别是如何正确地去分母、化简方程。

2.将分式方程应用于实际问题，提高解决问题的能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的解法。

2.通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高团队合作能力。

3.利用多媒体辅助教学，直观地展示分式方程的解法过程。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教案。

2.准备一些实际问题，用于引导学生应用分式方程解决问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。

从而引出本节课的主题——分式方程的应用。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍分式方程的概念和解法。

讲解过程中，重点强调如何去分母、化简方程。

同时，让学生跟随教师一起动手解题，加深对解题方法的理解。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些分式方程问题。

教师在旁边进行指导，解答学生的疑问。

此环节旨在让学生在实际操作中掌握解分式方程的方法。

教学目标:1. 会根据定义判别分式方程与整式方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。

2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。

3. 渗透转化思想。

教学重点: 分式方程的去分母及根的检验教学难点: 方程根的检验及产生增根的原因教学过程:一.创设情景，引入新课1.出示p32情景问题：（1）本题中的主要等量关系是什么？（2）（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？与学生讨论后得到题中的等量关系，并列出方程： 等，让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的概念： 板书：像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性.二.理解应用，体验成功。

1.练一练：你能否根据分式方程的概念举一些分式方程的例子呢？（学生举例）如：12x － 23x =1 , x ＋3x ＋2 = 23 , x ＋1x=2等。

2.做一做：下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？（1）2x ＋x －15 =10 （2）x － 1x=2 （3） 12x ＋1 －3=0 （4） 2x 3 ＋ x －12=0 设计说明：通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程，及时巩固所学知识. 既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程，那么分式方程你会解吗？让我们来看这样一题：3. 出示p33例1,例2.解方程:（1）x ＋32x －4 = 34 (2) 2－x x －3 =13－x－2 分析：这样的方程你以前解过吗？（没有）你以前解过什么方程？（整式方程）那你能不能把这些方程转化为你会解的方程即整式方程呢？（能）怎么转化呢？（给学生足够的时间讨论，然后得出利用去分母把分式方程转化为整式方程）解：（略）解后小结：（1）数学思想：转化思想，把分式方程转化为整式方程（2）方法：去分母，方程两边同乘以最简公分母，突出最简（3）验根：分式方程根的检验是必不可少的步骤，因为方程两边同乘以整式和可能使求的x 的值不是原方程的根（4）增根：使分母为零的根叫增根，增根应该舍去。

分式的乘除(第1课时)教学目标：知识与技能：使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．过程与方法：经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性 情感态度与价值观：渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练．教学重点：掌握分式的乘除运算教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算．教学过程：一、预习导学1、观察下列运算：,43524532543297259275,53425432⨯⨯=⨯=÷⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯， .279529759275⨯⨯=⨯=÷得分数乘除法的法则： 。

2、猜一猜??=÷=⨯cd a b c d b a 与同伴交流。

3、如何计算b ac 34。

3229ac b = bac 34÷3229ac b = 4、分式乘除法则：分式乘分式，把分子乘 ，分母乘 ，分别作为 的分子、分母，然后约去分子与分母的 。

即B A .DC = . 分式除以分式，把除式的分子.分母 后,与被除式 。

即B A ÷DC = 5、分解因式：（1）、2a -4= （2）、2a -6a +9=（3）、1+4a a 4+2= （4）、x 4-y4 二、交流成果三．合作探究； 计算：1、 b a a 2284-.6312-a ab 2、（c b a 4+）23、x y 62÷231x4、2244196aa a a +++-÷12412+-a a5、（a-4）.1681622+--a a a 6.3412-+-a a a ÷aa a 3122--7、.44422+-+m m m ).4(2-m 16424--m m 8、n m n m mn n m m mn m n -+÷+-÷-22222四．课时小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．五、达标测试：1．计算：（1）（-a c b 32）.2229bc a (2)b a b a 22+-.2222ba b a -+ (3) xy z y x z 54232÷- (4) 2222)1()1()1(--+x x x ÷1)1(22--x x2.已知x=-2,求xx x x x x x +-÷++223122的值教后反思：。

一师一优课教学设计难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。

四、学情分析通过前面的学习，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程、用分式方程解决生活中实际问题。

学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程及其应用的复习打下了基础五、教法在本课的教学中，为了达成教学目标，突出重点，攻破难点，教师运用尝试教学法，生生互动教学法和小组合作教学法。

六、教具和课程资源准备多媒体设备，课件教学过程：一、出示学习目标：1、掌握分式方程的定义，熟练解分式方程.2、理解并掌握分式方程中增根的意义.3、会分析实际问题中的等量关系，能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，解决实际问题.教师活动：1.出示学习目标，明确学习任务。

二、课前热身：1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）教师活动：在开始数学之旅之前我们先做个知识热身，回忆一下分式方程的相关内容。

学生活动：1、生独立完成课前热身相关题目，共同订正答案。

教师活动：引导学生复习分式方程的相关内容。

设计意图：让学生通过简单题目的训练初步唤醒大脑中对相关知识的记忆，为复习及梳理知识体系做准备三、知识梳理3.列分式方程解应用题的一般步骤：学生活动：学生通过课前准备练习，回忆梳理知识体系，并主动回答教师活动：板书知识体系，引导学生归纳总结设计意图：老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，。

本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。

四．例题讲解：例1.解分式方程：（师：师生共同完成，有必要时老师补充、纠正）解分式方程的一般步骤：（1）去分母（方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程）（2）去括号（利用去括号法则）（3）移项（移谁改变谁的符号）（4）合并同类项（利用合并同类项法则）（5）化系数为1（系数是谁方程两边同时除以谁）（6）验（双重）【把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，一看是否解方程正确，二看是否是增根，即：如果未知数的值使原分式方程的分母为0，则说明是增根，所以原分式方程无解，如果未知数的值使原分式方程的分母不为0，则说明不是增根，是原分式方程的根。

2.5.1 分式方程（一）
学习目标：
1.了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P53—55的内容
填一填：1．分式方程是：__________________________
2．解分式方程的思路是：把分式方程化成_____________方程，
解这个_____________方程，最后再_______.
议一议：分式方程与整式方程有什么区别？
做一做：解方程
（1）132+=x x
（2）14-x ＝1；
【归纳总结】解分式方程的基本过程是：
（1）在分式方程的两边同时乘以______，约去分母，化成_______方程.
(2)解这个_____________方程.
(3)把_____________方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
【课堂展示】解方程： （1） 480600452x x -= （2）341x x
=-
知识点一、分式方程的概念
合作探究——不议不讲
互动探究一：
填空 ： 1
2112-=-x x ()()12
1x =-
()()()()121x =-g g
（ ）
互动探究二：解方程：
【当堂检测】P57练习 解下列方程：（1）（2）
.32121=-+--x x x =x。

分式方程的应用一.总体说明本节课位于北师大版数学八年级下册第五章第四节的第三课时. 本节课主要让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程．二.学情分析1.前两节课，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程，为本节课用分式方程解决生活中实际问题打下了基础.2.在本节第一课时学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程的应用打下了基础.三.教学目标分析1.知识技能（1）用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题（2）用分式方程解决现实情境中的问题2.数学思考经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.3.问题解决理解并掌握运用表格分析问题中的数量关系,寻找等量关系的方法.4. 情感态度（1）通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．（2）在活动中培养学生乐于探究、乐于合作的学习习惯.（3）培养学生的环保意识.四.教学重难点重点:建立分式方程模型解决实际问题难点:运用表格分析问题中的数量关系五．教学方法：启发诱导法、合作学习法、归纳总结法六．教具准备：多媒体课件七．教学过程（一）复习回顾引入：前面我们学习了分式方程和解分式方程.学习这些都是为了解决生活中的实际问题.今天我们将要探究用分式方程这个数学模型解决生活中的实际问题.其实我们已经有过用一元一次方程、二元一次方程组等解决实际问题的经验.问1:用“一元一次方程”解决问题的基本步骤是什么呢？问2：用分式方程解决实际问题的步骤是否与它类似呢？我们来看一个实例.(二)师生共析出示火车与动车的图片,引出实际问题:漳州到福州铁路长为340千米，动车的平均速度是火车的2倍，乘动车从漳州到福州比乘火车少用2小时，求动车和火车的平均速度.(学生读题后发现问题中量与量之间的关系比较复杂,引出可以借助表格分析问题中的数量关系.)问1:问题中研究了哪些量?问2:研究的对象是什么?老师将研究的量及对象板书写出,并画出横线和纵线,即得一个表格火车动车等量关系路程速度时间表格制作完成后,写下来填写表格.方法是逐字逐句审题,按顺序填写.问3:由第一句“漳州到福州铁路长为340千米”可填写什么？问4：第二句“动车的平均速度是火车的2倍”，请你将这句话翻译成符号语言.它表示速度之间的等量关系，将它写在速度这一行.问5:第三句“乘动车从漳州到福州比乘火车少用2小时”，请你将这句话翻译成符号语言.它表示时间之间的等量关系,将它写在时间这一行.问6:第四句“求动车与火车的平均速度？”可以怎么设元？问7：设火车的平均速度为每小时x千米时，动车的速度怎么表示？追问：你是如何得到它的？小结：是的，可以利用速度之间的等量关系设另一个未知数.问8:动车与火车的时间怎么表示?追问:你是如何得到它的?小结:当两个量表示出之后,第三个量可由三个量之间的数量关系得到.师引导:表格填写完整.观察表格:表格中是否将已知量表示出?是否将未知量表示出?是否表示出等量关系?问9：由此你能列出方程吗？问10：你是由哪个等量关系列出这个方程的？（师板书）追问：为什么不用等量关系1呢？总结：问题中有两个等量关系时，常用一个设未知数，另一个列方程问11：请同学们用最快的速度解出x（请一位同学回答，老师板书写出）问12：接下来做什么？（请一位同学回答）检验两点：①是否是原方程的解②是否符合实际问13：最后一步是？问14:我们用分式方程这个数学模型解决了这个实际问题。

2019-2020年八年级数学下册 分式全章学案 湘教版一、自主学习1、长方形的面积为10cm 2,长为7cm,宽应为 cm;，长方形的面积为S,长为a,宽应为 .2、把体积为200cm 2的水倒入底面积为33cm 2的圆柱形容器中,水面高度为 cm; 把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,水面高度为 .3、课本第22页引例.4、式子等式子的共同点有(1) ; (2)5、分式概念是什么？(一般地,A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

)6、自己写几个分式：7、分式中的分母应满足什么条件？二、合作交流8、列式表示下列各量：（1）某村有n 个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷。

（2）的面积为S ，边BC=a ，则高AD= .（3）一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/时；一辆火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时,它的平均车速为 千米/时9、下列式子中,哪些是分式?哪些是整式?两类式子的区别是什么? ()b a t x x x x n m n m y x x a b x x-+++-+---+3,1212,,,452,531,3,122222 10、下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？三、合作探究：11、求下列分式的值：（1），其中； （2），其中四、拓展延伸：12、当取什么值时，分式的值是正数 ？13、课本第28页A 组第3题。

14、取什么值时，分式（1）无意义；（2）有意义五、学习小结1、写出几个分式：2、如何判别一个代数式是分式？3、分式有、无意义的条件。

六、效果检测：1、下列式子中,哪些是分式?哪些是整式?（在分式式下面划线） ()nm n m x x y x b a b a c b m x a +-++++--,512,43,26.,3,3,1,12 2、x 取什么值时,分式有意义？,2.1 分式和它的基本性质（第二课时）一、自主学习1、分数的性质；如果分数的分子和分母都乘以(或除以）一个的数，那么分数的值。